2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2-3函数的奇偶性对称性与周期性课件新人教B版 21页

第三节　 函数的奇偶性、 对称性与周期性 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x) 的定义域内任 意一个 x ，都有 ___________ ，那 么函数 f(x) 是偶函数 关于 ____ 对称 奇函数 如果对于函数 f(x) 的定义域内任 意一个 x ，都有 ____________ ，那 么函数 f(x) 是奇函数 关于 _____ 对称 f(-x)=f(x) y 轴 f(-x)=-f(x) 原点 2. 函数的周期性 (1) 周期函数：对于函数 y=f(x) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域 内的任何值时，都有 ____________ ，就称函数 y=f(x) 为周期函数，称 T 为这个 函数的周期 . (2) 最小正周期：如果在周期函数 f(x) 的所有周期中 _____________ 的正数，那 么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期 . f(x+T)=f(x) 存在一个最小 【常用结论】 1. 函数奇偶性常用结论 (1) 如果函数 f(x) 是偶函数，那么 f(x)=f(|x|). (2) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 . (3) 在公共定义域内有：奇 ± 奇 = 奇，偶 ± 偶 = 偶，奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇 . 2. 函数周期性常用结论 对 f(x) 定义域内任一自变量的值 x ： (1) 若 f(x+a)=-f(x) ，则 T=2a(a>0). (2) 若 f(x+a)= ，则 T=2a(a>0). (3) 若 f(x+a)= ，则 T=2a(a>0). 【知识点辨析】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 偶函数图象不一定过原点 , 奇函数的图象一定过原点 . ( 　　 ) (2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 . ( 　　 ) (3) 若 T 是函数的一个周期 , 则 nT(n∈Z,n≠0) 也是函数的周期 . ( 　　 ) (4) 若函数 y=f(x+a) 是偶函数 , 则函数 y=f(x) 关于直线 x=a 对称 . ( 　　 ) (5) 若函数 y=f(x+b) 是奇函数 , 则函数 y=f(x) 的图象关于点 (b,0) 中心对称 .( 　　 ) 提示 : (1)×. 奇函数只有在原点有定义时才过原点 , 而偶函数不管在原点有无定 义 , 都不一定过原点 . (2)√. 因为函数具有奇偶性 , 所以定义域一定关于原点对称 , 而定义域关于原点 对称的函数不一定具有奇偶性 . (3)√. 由周期函数的定义可知正确 . (4)√. 因为 y=f(x+a) 为偶函数 , 则 f(x+a)=f(-x+a)=f(a-x), 可知 x=a 为对称轴 . (5)√. 由于 y=f(x+b) 的图象关于 (0,0) 对称 , 根据图象平移变换 , 知 y=f(x) 的图 象关于 (b,0) 对称 , 正确 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 奇偶函数的定义域关于原点对称 考点一、 T1 2 忽略奇偶函数定义中任意一个自变量 考点一、 T4 3 周期性与轴对称所对应解析式的差别 考点二、 T3 4 分段函数奇偶性的解析式 考点三、角度 1 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 1 P48 例 1 改编 ) 下列函数为偶函数的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(x)=x-1 B.f(x)=x 2 +x C.f(x)=2 x -2 -x D.f(x)=2 x +2 -x 【解析】 选 D.D 中 ,f(-x)=2 -x +2 x =f(x), 所以 f(x) 为偶函数 . 其余 A 、 B 、 C 选项均不满足 f(-x)=f(x). 2.( 必修 1P49 练习 AT1 改编 ) 下列函数中为偶函数的是 ( 　　 ) A.y=x 2 sin x B.y=x 2 cos x C.y=|ln x| 　 D.y=2 -x 【解析】 选 B. 根据偶函数的定义知偶函数满足 f(-x)=f(x) 且定义域关于原点对称 ,A 选项为奇函数 ;B 选项为偶函数 ;C 选项定义域为 (0,+∞), 不具有奇偶性 ;D 选项既不是奇函数 , 也不是偶函数 . 3.( 必修 1 P43 练习 AT1 改编 ) 设 f(x) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数 , 当 x∈[-1,1) 时 ,f(x)= 则 f =________.  【解析】 f =f =-4× +2=1. 答案 : 1 4.( 必修 1 P53 习题 2-1AT9 改编 ) 已知定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0 时 ,f(x)=log 2 x-3x, 则 f(-1)=______.  【解析】 因为 f(1)= lo g 2 1-3=-3, 又 f(x) 为定义在 R 上的奇函数 , 所以 f(-1)=-f(1)=3. 答案 : 3 解题新思维　活用奇函数最值性质 , 抽象函数的对称性解题   【结论】 1. 奇函数的最值性质 已知函数 f(x) 是定义在区间 D 上的奇函数 , 则对任意的 x∈D, 都有 f(x)+f(-x)=0. 特别地 , 若奇函数 f(x) 在 D 上有最值 , 则 f(x) max +f(x) min =0, 且若 0∈D, 则 f(0)=0. 2. 抽象函数的对称性 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的函数 . (1) 若 f(a+x)=f(b-x) 恒成立 , 则 y=f(x) 的图象关于直线 x= 对称 , 特别地 , 若 f(a+x)=f(a-x) 恒成立 , 则 y=f(x) 的图象关于直线 x=a 对称 . (2) 若函数 y=f(x) 满足 f(a+x)+f(a-x)=0, 即 f(x)=-f(2a-x), 则 f(x) 的图象关于 点 (a,0) 对称 . (3) 若方程 y=f(x) 满足 f(a+x)+f(a-x)=2b, 则 f(x) 的图象关于 (a,b) 对称 . 典例 1. 设函数 f(x)= 的最大值为 M, 最小值为 m, 则 M+m=________.  【解析】 显然函数 f(x) 的定义域为 R, f(x)= =1+ , 设 g(x)= , 则 g(-x)=-g(x), 所以 g(x) 为奇函数 , 由奇函数图象的对称性知 g(x) max +g(x) min =0, 所以 M+m=[g(x)+1] max +[g(x)+1] min =2+g(x) max +g(x) min =2. 答案 : 2 2. 函数 y=f(x) 对任意 x∈R 都有 f(x+2)=f(-x) 成立 , 且函数 y=f(x-1) 的图象关于点 (1,0) 对称 ,f(1)=4, 则 f(2 020)+f(2 021)+f(2 022) 的值为 ________.  【解析】 因为函数 y=f(x-1) 的图象关于点 (1,0) 对称 , 所以函数 y=f(x) 的图象关于 (0,0) 对称 , 所以 f(x) 是 R 上的奇函数 , 所以 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 故 f(x) 的周期为 4. 所以 f(2 021)=f(505×4+1)=f(1)=4, 所以 f(2 020)+f(2 022)=-f(2 018)+f(2 018+4)=-f(2 018)+f(2 018)=0, 所以 f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=4. 答案 : 4 【迁移应用】 对于函数 f(x)=asin x+bx+c( 其中 a,b∈R,c∈Z), 选取 a,b,c 的一组值计算 f(1) 和 f(-1), 所得出结果一定不可能的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 和 6 　 B.3 和 1 　　 C.2 和 4 　　 D.1 和 2 【解析】 选 D. 因为 f(x)=asin x+bx+c, 所以 f(1)+f(-1)=2c, 又因为 c∈Z, 所以 f(1) 与 f(-1) 之和应为偶数 .