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  • 2021-06-15 发布

【数学】2018届一轮复习北师大版绝对值不等式(理)教案

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选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式 ‎[考纲传真] 1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R),|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b,c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.‎ ‎1.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.‎ 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ ‎2.绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解法:‎ 不等式 a>0‎ a=0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<-a}‎ ‎{x∈R|x≠0}‎ R ‎(2)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:‎ ‎①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;‎ ‎②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.‎ ‎(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解;‎ ‎②利用零点分段法求解;‎ ‎③构造函数,利用函数的图像求解.‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.(  )‎ ‎(2)不等式|a|-|b|≤|a+b|等号成立的条件是ab≤0. (  )‎ ‎(3)不等式|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件是ab≤0. (  )‎ ‎(4)当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|成立. (  )‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.(教材改编)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为,则实数a=________.‎ ‎-3 [依题意,知a≠0.‎ 又|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3,‎ ‎∴-1<ax<5.‎ 由于|ax-2|<3的解集为,‎ ‎∴a<0,=-且-=,则a=-3.]‎ ‎3.(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(-∞,-3]∪[3,+∞) [由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,‎ ‎∴|x+1|+|x-2|的最小值为3,‎ 要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,‎ 只需|a|≥3,∴a≥3或a≤-3.]‎ ‎4.解不等式x+|2x+3|≥2.‎ ‎[解] 当x≥-时,原不等式化为3x+3≥2, 3分 解得x≥-. 6分 当x<-时,原不等式化为-x-3≥2,‎ 解得x≤-5. 8分 综上,原不等式的解集是. 10分 ‎5.(2016·江苏高考)设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|1的解集.‎ 图‎ ‎[解] (1)由题意得f(x)= ‎ 3分 故y=f(x)的图像如图所示.‎ ‎ 6分 ‎(2)由f(x)的函数表达式及图像可知,‎ 当f(x)=1时,可得x=1或x=3;‎ 当f(x)=-1时,可得x=或x=5. 8分 故f(x)>1的解集为{x|1<x<3},‎ f(x)<-1的解集为.‎ 所以|f(x)|>1的解集为. 10分 ‎[规律方法] 1.本题用零点分段法画出分段函数的图像,结合图像的直观性求出不等式的解集,体现数形结合思想的应用.‎ ‎2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,零点分段法操作程序是:找零点,分区间,分段讨论.此外还常利用绝对值的几何意义求解.‎ ‎[变式训练1] (2016·吉林实验中学模拟)设函数f(x)=|x-a|.‎ ‎(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4-|x-1|;‎ ‎(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥4.‎ ‎【导学号:57962488】‎ ‎[解] (1)当a=2时,不等式为|x-2|+|x-1|≥4,‎ ‎①当x≥2时,不等式可化为x-2+x-1≥4,解得x≥;‎ ‎②当<x<时,不等式可化为2-x+x-1≥4,‎ 不等式的解集为∅;‎ ‎③当x≤时,不等式可化为2-x+1-x≥4,‎ 解得x≤-.‎ 综上可得,不等式的解集为∪.‎ ‎(2)证明:因为f(x)≤1,即|x-a|≤1,‎ 解得a-1≤x≤a+1,而f(x)≤1的解集是[0,2].‎ 所以解得a=1,‎ 所以+=1(m>0,n>0),‎ 所以m+2n=(m+2n) ‎=2++≥2+2=4,‎ 当且仅当m=2,n=1时取等号.‎ 绝对值三角不等式性质的应用 ‎ ‎ ‎ 对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,记实数M的最大值是m.‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)解不等式|x-1|+|x-2|≤m.‎ ‎[解] (1)不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,‎ 即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值. 2分 因为|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,‎ 当且仅当(a-b)(a+b)≥0时等号成立,‎ ‎|a|≥|b|时,≥2成立,‎ 也就是的最小值是2,即m=2. 5分 ‎(2)|x-1|+|x-2|≤2.‎ 法一:利用绝对值的意义得:≤x≤. 10分 法二:①当x<1时,不等式为-(x-1)-(x-2)≤2,‎ 解得x≥,所以x的取值范围是≤x<1.‎ ‎②当1≤x≤2时,不等式为(x-1)-(x-2)≤2,‎ 得x的取值范围是1≤x≤2. 8分 ‎③当x>2时,原不等式为(x-1)+(x-2)≤2,2<x≤.‎ 综上可知,不等式的解集是. 10分 ‎[规律方法] 1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件:当 ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|;当(a-b)(b-c)≥0时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.‎ ‎(2)对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.‎ ‎2.第(2)问易出现解集不全或错误.对于含绝对值的不等式,不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义,都要不重不漏.‎ ‎[变式训练2] 对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] 因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,‎ 所以|3a-3b|≤3,≤, 4分 所以|4a-3b+2|= ‎≤|3a-3b|++≤3++=6, 8分 则|4a-3b+2|的最大值为6,‎ 所以m≥|4a-3b+2|max=6,m的取值范围是[6,+∞). 10分 绝对值不等式的综合应用 ‎ (2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ ‎[解] (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.‎ 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;‎ 当-10,解得0,解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为. 4分 ‎(2)由题设可得f(x)= 所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B ‎(2a+1,0),C(a,a+1).因此△ABC的面积S=|AB|·(a+1)=(a+1)2. 8分 由题设得(a+1)2>6,故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2,+∞). 10分 ‎[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决是常用的思维方法.‎ ‎2.第(2)问求解要抓住三点:(1)分段讨论,去绝对值符号,化f(x)为分段函数;(2)数形结合求△ABC的三个顶点坐标,进而得出△ABC的面积;(3)解不等式求a的取值范围.‎ ‎[变式训练3] (2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|2x-a|+a.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;‎ ‎(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,恒有f(x)+g(x)≥3,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.‎ 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}. 4分 ‎(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|(2x-a)+(1-2x)|+a=|1-a|+a, 6分 当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3. ①‎ ‎ 8分 当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.‎ 当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2,+∞). 10分 ‎[思想与方法]‎ ‎1.绝对值不等式的三种常用解法:零点分段法,几何法(利用绝对值几何意义),构造函数法.前者体现了分类讨论思想,后者体现了数形结合思想的应用.‎ ‎2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.利用绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求函数最值,要注意其中等号成立的条件.‎ ‎2.形如|x-a|+|x-b|≥c(c>0)的不等式,在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断,若c≤0,则不等式解集为R.‎