高考数学一轮复习第十二章计数原理、概率、随机变量及其分布12-6条件概率与独立事件、二项分布、正态分布练习理北师大版 11页

- 1 - 12.6 条件概率与独立事件、二项分布、正态分布 核心考点·精准研析 考点一　条件概率、事件的独立性 1.市场调查发现,大约 的人喜欢在网上购买家用小电器,其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工 商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为 ,而实体店里的家用小电器的合格率约为 .现 工商局 12315 电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可 能性是 (　　) A. B. C. D. 2.质检部门对某工厂甲车间生产的 8 个零件质量进行检测,零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零 件质量不超过 20 克的为合格. 质检部门从中随机抽取 4 件进行检测,若至少 2 件合格,检测即可通过,若至少 3 件合格,检测即为良好,则 甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率为 (　　) A. B. C. D. 3.如果{an}不是等差数列,但若∃k∈N*,使得 ak+ak+2=2ak+1,那么称{an}为“局部等差”数列.已知数列{xn}的 项数为 4,记事件 A:集合 ⊆ ,事件 B:{xn}为“局部等差”数列,则条件概率 P =(　　) A. B. C. D. - 2 - 4.甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投 2 次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束 游戏,已知甲每次投中的概率为 ,乙每次投中的概率为 ,求:乙投篮次数不超过 1 次的概率. 【解析】1.选 A.不合格小电器在网上购买的概率为 × = ,不合格小电器在实体店购买的概率为 × = ,所以这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是 = . 2.选 A.设事件 A 表示“2 件合格,2 件不合格”;事件 B 表示“3 件合格,1 件不合格”;事件 C 表示“4 件全 合格”,事件 D 表示“检测通过”,事件 E 表示“检测良好”, 则 P(D)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = . 所以 P(E )= = = = . 3.选 C.由题意知,事件 A 共有 · =120 个基本事件,事件 B:“局部等差”数列,共有以下 24 个基本事 件, (1)其中含 1,2,3 的局部等差的分别为 1,2,3,5 和 5,1,2,3 和 4,1,2,3 共 3 个, 含 3,2,1 的局部等差数列 的同理也有 3 个,共 6 个. (2)含 3,4,5 的和含 5,4,3 的与上述(1)相同,也有 6 个. (3)含 2,3,4 的有 5,2,3,4 和 2,3,4,1 共 2 个, (4)含 4,3,2 的同理也有 2 个. (5)含 1,3,5 的有 1,3,5,2 和 2,1,3,5 和 4,1,3,5 和 1,3,5,4 共 4 个, (6)含 5,3,1 的也有 4 个.所以 P(B|A)= = . 4.记“甲投篮投中”为事件 A,“乙投篮投中”为事件 B. - 3 - “乙投篮次数不超过 1 次”包括三种情况:一种是甲第 1 次投篮投中,另一种是甲第 1 次投篮未投中而乙第 1 次投篮投中,再一种是甲、乙第 1 次投篮均未投中而甲第 2 次投篮投中, 所求的概率是 P=P(A+ ·B+ · ·A)=P(A)+ P( ·B)+P( · ·A)=P(A)+P( )·P(B)+ P( )·P( )·P(A)= + × + × × = . 所以乙投篮次数不超过 1 次的概率为 . 1.条件概率的 3 种求法 定义法 先求 P(A)和 P(AB),再由 P(B|A)= 求 P(B|A) 基本 事件法 借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再求事件 AB 所包含的基本事 件数 n(AB),得 P(B|A)= 缩样法 缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它 能化繁为简 2.相互独立事件同时发生的概率的两种求法 (1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式. (2)间接法:从对立事件入手计算. 考点二　n 次独立重复试验、二项分布 【典例】1.种植某种树苗,成活率为 0.9.若种植这种树苗 5 棵,则恰好成活 4 棵的概率约为 (　　) A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45 2.某气象站天气预报的准确率为 80%,计算:(结果保留到小数点后 2 位) (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率. 【解题导思】 - 4 - 序号 联想解题 1 种 5 棵成活 4 棵联想到 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率公式 (1)联想到用公式 pk (2)由“至少 2 次”联想到对立事件“最多 1 次”,即 0 次,1 次2 (3)转化为 4 次独立重复试验恰好发生 1 次的试验模型 【解析】1.选 A.根据 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率公式得到种植这种树苗 5 棵,则恰 好成活 4 棵的概率为 0.94(1-0.9)≈0.33. 2.令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数,则 X～B 5, ,故其分布列为 P(X=k)= k 1- 5-k(k=0,1,2,3,4,5). (1)“5 次预报中恰有 2 次准确”的概率为 P(X=2)= 2× 1- 3=10× × ≈0.05. (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率为 P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1- × 0× 1- 5- × × 1- 4=1-0.000 32-0.006 4≈0.99. (3)“5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确”的概率为 × × 1- 3× ≈0.02. 1.熟记概率公式 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 pk(1-p)n-k. 2.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中,事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生. - 5 - 1.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向 上、向右移动的概率都是 ,质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选 B.如图, 由题可知,质点 P 必须向右移动 2 次,向上移动 3 次才能位于点(2,3),问题相当于 5 次重复试验向右恰好 发生 2 次的概率.所求概率为 P= × 2× 3= × 5= . 2.设随机变量 ξ～B(2,p),η～B(4,p),若 P(ξ≥1)= ,则 P(η≥1) =________________. 【解析】P (ξ≥1)=1-P(ξ<1)=1- p0·(1-p)2= ,所以 p= ,P(η≥1)=1-P(η=0) =1- 0 4=1- = . 答案: 3.在一次数学考试中,第 14 题和第 15 题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设 4 名考生 选做这两题的可能性均为 .设这 4 名考生中选做第 15 题的学生数为 ξ,求 ξ 的分布列. 【解析】随机变量ξ的可能取值为 0,1,2,3,4,且ξ～B 4, .所以 P(ξ=k)= k 1- 4-k= 4(k=0,1,2,3,4), 所以变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 - 6 - P 考点三　正态分布 命题 精解 读 1.考什么:(1)正态曲线的应用. (2)正态分布与统计的综合应用. 2.怎么考:正态分布作为考查数学应用意识的重要载体,在高考题中经常出现,试题常以 选择题、填空题形式出现. 学霸 好方 法 巧用正态曲线的性质解题 (1)正态曲线关于直线 x=μ 对称,用此性质可以进行灵活转化. (2)正态曲线与 x 轴之间的面积是 1. 正态曲线的应用 【典例】1.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ2),若 P(ξ>2)=0.023,则 P(-2≤ξ≤2)= (　　) A.0.447 B.0.628 C.0.954 D.0.977 2.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区 1 000 名年龄在 17.5 岁至 19 岁的高三男生的 体重情况,抽查结果表明他们的体重 X(kg)服从正态分布 N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重 大于 58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况,则这 1 000 名男生中属于正常情况的人数是 A.997 B.954 C.819 D.683 【解析】1.选 C.因为随机变量ξ服从标准正态分布 N(0,σ2), 所以正态曲线关于直线 x=0 对称. 又 P(ξ>2)=0.023,所以 P(ξ<-2)=0.023. 所以 P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954. 2.选 D.由题意,可知μ=60.5,σ=2,所以 P(58.55)=1-P(33)= . 2.随机变量 X 服从标准正态分布,则 X 的总体在区间(-3,3)内取值的概率 为 (　　) A.99.8% B.99.7% C.94.4% D.84.1% 【解析】选 B.标准正态分布 N(0,1),σ=1,区间(-3,3),即(-3σ,3σ),概率 P=99.7%. 1.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ2),则函数 f(x)=x2+2x+ξ 不存在零点的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选 C.函数 f(x)=x2+2x+ξ 不存在零点,则 Δ=4-4ξ<0,ξ>1,因为 ξ～N(1,σ2),所以 μ=1,P = . 2.“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020 年春节前夕, A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标, (1)求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表); (2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ2),利用该正态分布,求 Z 落 在(14.55,38.45)内的概率; - 10 - ②将频率视为概率,若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺,记这 4 包速冻水饺中这种质量指标 值位于(10,30)内的包数为 X,求 X 的分布列. 附:①计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标的标准差为 σ= ≈11.95; ②若 Z～N(μ,σ2), 则 P(μ-σ