【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第四章第8讲　解三角形的应用举例学案 15页

第8讲　解三角形的应用举例 ‎1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．‎ ‎2．方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．‎ ‎3．方向角 相对于某一正方向的角(如图③)．‎ ‎(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．‎ ‎(2)东北方向：指北偏东45°.‎ ‎(3)其他方向角类似．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)‎ ‎(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)‎ ‎(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)‎ ‎(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎ 在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于(　　)‎ A．10°　　　　　　　 B．50°‎ C．120° D．130°‎ 答案：D ‎ 若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A．北偏东15° B．北偏西15°‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ 解析：选B．如图所示，∠ACB＝90°，‎ 又AC＝BC，‎ 所以∠CBA＝45°，‎ 而β＝30°，‎ 所以α＝90°－45°－30°＝15°.‎ 所以点A在点B的北偏西15°.‎ ‎ 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)(　　)‎ A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 解析：选B．因为AB＝1 000×＝(km)．‎ 所以BC＝·sin 30°＝(km)．‎ 所以航线离山顶h＝×sin 75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．‎ 所以山高为18－11.4＝6.6(km)．‎ ‎ 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为________．‎ 解析：由正弦定理得AB＝＝＝50(m)．‎ 答案：50 m ‎ (教材习题改编)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 n mile，则此船的航速是_______________n mile/h.‎ 解析：设航速为v n mile/h，‎ 在△ABS中AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，由正弦定理得＝，则v＝32.‎ 答案：32‎ 测量距离问题(高频考点)‎ 研究测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．主要命题角度有：‎ ‎(1)两点都不可到达；‎ ‎(2)两点不相通的距离；‎ ‎(3)两点间可视但有一点不可到达．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　两点都不可到达 ‎ 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠‎ ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB．‎ 若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.‎ ‎【解析】　因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，‎ ‎∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，‎ 所以AC＝DC＝(km)．‎ 在△BCD中，∠DBC＝45°，‎ 由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理，‎ 得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.‎ 所以AB＝(km)．‎ 所以A，B两点间的距离为 km.‎ ‎【答案】　 ‎ 角度二　两点不相通的距离 ‎ 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为________m.‎ ‎【解析】　由题可得，在△ABC中，‎ AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB，‎ 所以AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.‎ 所以AB＝200 m．即A，B两点间的距离为200 m.‎ ‎【答案】　200 ‎ 角度三　两点间可视但有一点不可到达 ‎ 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法为：在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB．‎ 若测出AC＝60 m，A＝75°，C＝45°，则A，B两点间的距离为________m.‎ ‎【解析】　B＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，＝，‎ 所以AB＝＝＝20(m)，‎ 即A，B两点间的距离为20 m.‎ ‎【答案】　20 求距离问题的2个注意事项 ‎(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距 km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．‎ 解：在△ACD中，‎ ‎∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，‎ 所以AC＝CD＝ km.‎ 在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.‎ 所以BC＝＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理，‎ 得AB2＝()2＋－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，‎ 所以AB＝(km)，‎ 所以A，B之间的距离为 km.‎ 测量高度问题 ‎[典例引领]‎ ‎ 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.‎ ‎【解析】　在△PAB中，∠PAB＝30°，‎ ‎∠APB＝15°，AB＝60 m，‎ sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以PB＝＝30(＋)，‎ 所以树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)．‎ ‎【答案】　30＋30 求解高度问题应注意的3个问题 ‎(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．‎ ‎(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．‎ ‎(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎(2018·福州综合测试)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为______ m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.‎ 解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.‎ 答案：22.6‎ 测量角度问题 ‎[典例引领]‎ ‎ 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．‎ ‎【解析】　如题图所示，在△ABC中，‎ AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.‎ 由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.‎ 由正弦定理得，＝⇒‎ sin∠ACB＝sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，‎ 知∠ACB为锐角，‎ 则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，‎ 得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.‎ ‎【答案】　 解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义；‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎(2018·惠州第三次调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________．‎ 解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cos θ＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎ 利用解三角形知识解决实际问题的方法 ‎(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；‎ ‎(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；‎ ‎(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义．‎ ‎ 注意两个易错点 ‎(1)不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混．‎ ‎(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．　　　 ‎ ‎1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东10°　　　　　　 B．北偏西10°‎ C．南偏东80° D．南偏西80°‎ 解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎2．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)‎ A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：‎ AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，‎ 所以AC＝10(km)．‎ ‎3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．75°‎ 解析：选B．依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝＝＝＝，‎ 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ ‎4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B．已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)‎ A．8 km/h B．6 km/h C．2 km/h D．10 km/h 解析：选B．设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.‎ ‎5．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)‎ A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析：选A．设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.‎ ‎6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．‎ 解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，所以海轮航行的速度为＝(海里/分)．‎ 答案： ‎7. (2018·河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．‎ 解析：由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，所以∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，所以AB＝1 000，所以BC＝＝1 000.‎ 答案：1 000‎ ‎8．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.‎ 解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ MN＝ ＝＝10(m)．‎ 答案：10 ‎9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．‎ ‎(1)求渔船甲的速度；‎ ‎(2)求sin α的值．‎ 解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，‎ 由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.‎ 所以渔船甲的速度为＝14海里/时．‎ ‎(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 即sin α＝＝＝.‎ ‎10．在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．‎ 解：设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，‎ 所以a＝3.‎ 又由正弦定理，得sin B＝＝，‎ 由题设知0