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- 2021-06-15 发布
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第三章 三角函数、解三角形
第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解任意角和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数的定义.
2017·北京卷,9
2016·四川卷,11
2015·福建卷,6
1.根据角的终边上的点的坐标求三角函数值.
2.根据三角函数值求参数值.
3.利用三角函数的定义判断三角函数的图象.
分值:5分
1.角的有关概念
(1)角的形成:角可以看成平面内__一条射线__绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的__图形__.
(2)从运动的角度看,角可分为正角、__负角__和__零角__.
(3)从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角.
(4)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为__β=2kπ+α,k∈Z__.
2.弧度制
(1)定义:长度等于__半径__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.
(2)角α的弧度数:如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=____.
(3)角度与弧度的换算:1°=____rad,1 rad=__°__.
(4)弧长、扇形面积的公式:设扇形的弧长为l,圆心角大小为α rad,半径为r,则l=__|α|r__,扇形的面积为S=lr=__|α|·r2__.
3.任意角的三角函数
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=__y__,cos
α=__x__,tan α=__(x≠0)__.
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的__正弦线__、__余弦线__和__正切线__.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)顺时针旋转得到的角是正角.( × )
(2)钝角是第二象限角.( √ )
(3)若两个角的终边相同,则这两个角相等.( × )
(4)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角.( × )
(5)终边在y轴上的角的正切值不存在.( √ )
解析 (1)错误.顺时针旋转得到的角是负角.
(2)正确.钝角的范围是,显然是第二象限角.
(3)错误.角180°的终边与角-180°的终边相同,显然它们不相等.
(4)错误.1弧度的角是单位圆中长度为1的弧所对的圆心角.
(5)正确.终边在y轴上的角与单位圆的交点坐标为(0,1),(0,-1).由三角函数的定义知,角的正切值不存在.
2.-870°的终边在第几象限( C )
A.一 B.二
C.三 D.四
解析 因为-870°=-2×360°-150°,-150°是第三象限角,所以-870°的终边在第三象限.
3.已知角α的终边经过点(,-1),则角α的最小正值是( B )
A. B.
C. D.
解析 ∵sin α==-,且α的终边在第四象限,∴α的最小正值为π.
4.若sin α<0且tan α>0,则α是( C )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析 由sin α<0,知α在第三或第四象限或α终边在y轴的负半轴上,由tan α>0,知α在第一或第三象限,因此α在第三象限.
5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为__4__,面积为__6π__.
解析 弧长l=3π,圆心角α=π,由弧长公式l=|α|·r,得r===4,面积S=lr=6π.
一 角及其表示
(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限,一般是先将角化为2kπ+α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式,然后再根据α所在的象限予以判断.
(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
【例1】 (1)写出终边在直线y=x上的角的集合.
(2)若角θ的终边与π角的终边相同,求在[0,2π]内终边与角的终边相同的角.
(3)已知角α是第一象限角,试确定2α,所在的象限.
解析 (1)终边在直线y=x上的角的集合为.
(2)与角终边相同的角的集合是,∴所有与角终边相同的角可表示为=π+kπ,k∈Z.∴在[0,2π]内终边与角终边相同的角有π,π,π.
(3)∵2kπ<α<2kπ+,k∈Z,
∴4kπ<2α<4kπ+π,kπ<0,∴=,即m=.
三 扇形的弧长及面积公式的应用
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积的最大值时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
【例3】 已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
(2)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?
(3)若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.
解析 (1)l=10×=(cm).
(2)由已知得l+2R=20,
所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以R=5时,S取得最大值25,此时l=10 cm,α=2 rad.
(3)设弓形面积为S弓,由题知l= cm,
S弓=S扇-S△=××2-×22×sin=-(cm2).
1.若sin α·tan α<0,且<0,则角α是( C )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析 由sin α·tan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二或第三象限角;由<0,可知cos α,tan α异号,从而α为第三或第四象限角.综上,α为第三象限角.
2.sin 2·cos 3·tan 4的值( A )
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.不存在
解析 ∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,∴sin 2·cos 3·tan 4<0.
3.若cos α=-,且角α的终边经过点P(x,2),则点P的横坐标x是( D )
A.2 B.±2
C.-2 D.-2
解析 r=,由题意得=-,解得x=-2.
4.已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;
(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解析 (1)在△AOB中,AB=OA=OB=10,
∴△AOB为等边三角形.∴弦AB所对的圆心角α=.
(2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得l=α·R=×10=,
S扇形=R·l=α·R2=.
又S△AOB=OA·OB·sin=25.
∴弓形的面积S=S扇形-S△AOB=50.
错因分析:用三角函数的定义求三角函数值时,不注意点的位置或对字母正负的讨论.
【例1】 已知α角的终边过点P(3a,-4a)(a≠0),求α角的三个三角函数值.
解析 根据任意角的三角函数的定义知
r===5|a|.
当a<0时,r=-5a,sin α==,cos α==-,
tan α==-;
当a>0时,r=5a,sin α==-,cos α==,
tan α==-.
【跟踪训练1】 已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tan θ=-x,求sin θ,cos θ.
解析 ∵θ的终边过点(x,-1),∴tan θ=-,
又∵tan θ=-x,∴x2=1,∴x=±1.
当x=1时,sin θ=-,cos θ=;
当x=-1时,sin θ=-,cos θ=-.
课时达标 第17讲
[解密考纲]本考点主要考查任意角、弧度制和三角函数的概念.
通常以选择题、填空题的形式呈现,安排在比较靠前的位置.
一、选择题
1.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( C )
A. B.
C.- D.-
解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故A,B项不正确.又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的,即为-×2π=-.故选C.
2.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为( A )
A. B.
C. D.
解析 由三角函数定义可知点Q的坐标(x,y)满足x=cos=-,y=sin=.
3.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( A )
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]
解析 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有解得-20,sin θ+cos θ<0,∴|sin θ|>|cos θ|,∴cos 2θ=|cos θ|2-|sin θ|2<0,∴cos 2θ=-.
9.设角α是第三象限角,且=-sin,则角是第__四__象限角.
解析 由α是第三象限角,知2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),kπ+<0.
(1)求α角的集合;
(2)求的终边所在的象限;
(3)试判断tansincos的符号.
解析 (1)由sin α<0,知α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上;由tan α>0,知α的终边在第一、三象限,
故α的终边在第三象限,其集合为α.
(2)由(2k+1)π<α<2kπ+,k∈Z,
得kπ+<0,cos<0,
所以tansincos取正号;
当在第四象限时,tan<0,sin<0,cos>0,
所以tansincos也取正号.
综上所述,tansincos取正号.