宁夏回族自治区银川一中2021届高三上学期第一次月考数学（理）试题 Word版含答案 8页

- 1 - 银川一中 2021 届高三年级第一次月考 理 科 数 学 　　　　　 命题人： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合 ， ，则 的子集的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 2．函数 的定义域为 A． B． C． D． 3．下列有关命题的说法正确的是 A．命题“若 x2＝1，则 x＝1”的否命题为“若 x2＝1，则 x≠1” B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得 x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，均有 x2＋x－1>0” D．命题“若 x＝y，则 sin x＝sin y”的逆否命题为真命题 4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金 字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧 合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为 3.14159，这就是圆周 率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建 设完成后，底座边长大约 230 米．因年久风化，顶端剥落 10 米，则胡夫金字塔现高大约 为 A．128.5 米 B．132.5 米 C．136.5 米 D．110.5 米 5．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是 A． B． 2 2( , ) 14 yA x y x   = + =    1( , ) 4 x B x y y    = =      A B ( ) x xxf 2log 12 −= ( )+∞,0 ( )+∞,1 ( )1,0 ( ) ( )+∞,11,0  1ln | |y x = ( ) ln( 1) ln( 1)f x x x= − − + - 2 - C． D． 6．设函数 f(x)＝log3 x＋2 x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数 a 的取值范围是 A．(－1，－log32) B．(0，log32) C．(log32,1) D．(1，log34) 7．已知函数 （ 且 ），若 ，则 A． B． C． D． 8．函数 的图像大致为 A B C D 9．若 的反函数为 ，且 ，则 的最小值是 A． B． C． D． 10．设 ， ， ，则 的大小关系是 A． B． C． D． 11．已知定义在(0，+∞)上的函数 满足 ，且 ，则 的解集是 A． B． C． D． 12．已知函数 若方程 恰有三个不同的实数解 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．共 20 分, 13．若函数 称为“准奇函数”，则必存在常数 a，b，使得对定义域的任意 x 值，均有 e e( ) 2 x x f x −+= e 1( ) e 1 x xf x −= + ( ) , 1 log , 1 x a a xf x x x  ≤=  > 1a > 1a ≠ ( )1 2f = 1 2f f    =     1− 1 2 − 1 2 2 )1( 1)( − += x x ex exf xxf 2)( = )(1 xf − 4)()( 11 =+ −− bfaf ba 11 + 1 2 1 3 1 4 1 0.51( )2a = 0.50.3b＝ 0.3log 0.2c＝ a b c、 、 a b c> > a b c< < b a c< < a c b< < )(xf 0)()(' <− xfxxf 2)2( =f 0)( >− xx eef )2ln,(−∞ ),2(ln +∞ ),0( 2e ),( 2 +∞e 1 , 0,( ) ln 1. 0. x xf x x x  + ≤=  + > ( ) ( )f x m m= ∈R . .a b c ( )a b c< < ( )a b c+ ]2 5,2[ 22, e  − −   ]2 5,2( )2 5,2( ( )f x - 3 - ，已知 为准奇函数”，则 a＋b＝_________. 14．若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是________； 15．已知函数 的值域为 ,函数 , ,总 ,使得 成立,则实数 a 的取值范围为 ________________. 16．定义在实数集 上的函数 满足 ，且 ， 现有以下三种叙述：① 是函数 的一个周期；② 的图象关于直线 对称； ③ 是偶函数． 其中正确的序号是 ． 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分) 17．（本小题满分 12 分） 已知幂函数 （实数 ）的图像关于 轴对称，且 . （1）求 的值及函数 的解析式； （2）若 ，求实数 的取值范围. 18．（本题满分 12 分） 已知函数 满足 . (1)求常数 的值; (2)解不等式 . 19．（本小题满分 12 分） 已知函数 (a 为常数)是奇函数. (1)求 a 的值与函数 f(x)的定义域. (2)若当 x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m 恒成立.求实数 m 的取值范围. 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 . ( ) (2 ) 2f x f a x b+ − = 1)( −= x xxf 3 2( ) 3f x x tx x= − + [1,4] t )(xf [ ] [ ]0,4 ( 2,2 )x∈ − ( ) 1, [ 2,2]g x ax x= − ∈ − 1 [ 2,2]x∀ ∈ − 0 [ 2,2]x∃ ∈ − 0 1( ) ( )g x f x= R ( )f x ( ) ( )2 0f x f x+ + = ( ) ( )4f x f x− = 8 ( )f x ( )f x 2x = ( )f x ( ) 2 4−= m mf x x m Z∈ y ( ) ( )2 3f f> m ( )f x ( ) ( )2 1 2+ < −f a f a a 2 1 (0 ) ( ) 2 1 ( 1) x c cx x c f x c x − + < <=   + < ≤ 2 9( ) 8f c = c 2( ) 18f x > + 1 1log)( 2 − += x axxf 22 )1()22()( xaeaxxxf x ⋅−+⋅+−= - 4 - (1)求曲线 在（0,2）处的切线方程； (2)若 ，证明： . 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 . (1) 讨论函数 的单调性； （2）当 时，求函数 在区间 的最小值. (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第 一题记分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程] 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上 滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系 Ox 中，方程 ρ＝a(1－sinθ)(a>0) 表示的曲线 C1 就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴，极点 O 为坐标原点的 直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C2 的参数方程为 (t 为参数)。 (1)求曲线 C2 的极坐标方程； (2)若曲线 C1 与 C2 相交于 A、O、B 三点，求线段 AB 的长。 23．[选修 4－5：不等式选讲] 已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）正数 满足 ，证明： . axxxaxf ++−= 22 2 1ln2)( )( Ra∈ )(xf 0 (0, )+∞ 2 4 0m m− < 0 4m< < m Z∈ ( ) 2 4−= m mf x x m Z∈ y 2 4m m− 2m = ( ) 4f x x−= ( ) 4f x x−= y (0, )+∞ ( ) ( )2 1 2+ < −f a f a 1 2 2a a− < + 1 2 0, 2 0a a− ≠ + ≠ 1 1 3 2a− < < 1 32 a< < a 1 1 1( , ) ( ,3)3 2 2 −  0 1c< < 2c c< 2 9( ) 8f c = 3 91 8c + = ∴ 1 2c = 4 1 112 2( ) 2 1 1x x x f x x−   + 0 < <   =  1  + <  2  ， ， ≤ 2( ) 18f x > + 10 2x< < 2 1 4 2x< < 1 12 x <≤ 1 5 2 8x <≤ 2( ) 18f x > + 2 5 4 8x x   < <     - 6 - 即 log2 =log2 , 所以 a=1,令 >0,解得 x<-1 或 x>1, 所以函数的定义域为{x|x<-1 或 x>1}. (2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x), 当 x>1 时,所以 x+1>2,所以 log2(1+x)>log22=1. 因为 x∈(1,+∞),f(x)+log2(x-1)>m 恒成立,所以 m≤1,所以 m 的取值范围是 (-∞,1]. 20．（1）因为 ，所以 ， 由导数的几何意义可知：曲线 在 处的切线斜率 ， 曲线 在 处的切线方程 ，即 . （2）若 ，则 ， 由（1）可知， ， 设函数 ，则 ， 当 时， ，则 在 单调递减； 当 时， ，则 在 单调递增， 故 ，又 ， 故当 时， ，则 在 单调递减； 当 时， ，则 在 单调递增， 故 . 21.解：函数 的定义域为 ， (Ⅰ) ， （1）当 时， ，所以 在定义域为 上单调递增； （2）当 时，令 ，得 （舍去）， ， 当 变化时， ， 的变化情况如下： )(xf ),0( +∞ x axax x aaxxxf ))(2(2)( 22 −+=−+=′ 0=a 0)( >=′ xxf )(xf ),0( +∞ 0>a 0)( =′ xf ax 21 −= ax =2 x )(xf ′ )(xf ( ) ( )2[2( 1) ] e 2 1xf x a x ax a x′ = − + ⋅ + − ( )0 0f ′ = ( )y f x= ( )0,2 0k = ( )y f x= ( )0,2 ( )2 0 0y x− = × − 2y = 2 3a = ( ) 2 22 12 2 e3 3 xf x x x x = − + ⋅ +   ( ) 22 2 2 2e ( 1) e 13 3 3 3 x xf x x x x x x ′  = − + ⋅ + = − ⋅ +     ( ) ( 1) e 1xg x x= − ⋅ + ( ) exg x x′ = ⋅ ( ),0x∈ −∞ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ),0−∞ ( )0,x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,+∞ ( ) ( )0 0g x g≥ = ( ) ( )2 3f x x g x′ = ⋅ ( ),0x∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( ),0−∞ ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( )0 2f x f≥ = - 7 - 此时， 在区间 单调递减， 在区间 上单调递增； （3）当 时，令 ，得 ， （舍去）， 当 变化时， ， 的变化情况如下： 此时， 在区间 单调递减， 在区间 上单调递增. （Ⅱ）由(Ⅰ)知当 时， 在区间 单调递减，在区间 上单调递 增. （1）当 ，即 时， 在区间 单调递减， 所以， ； （2）当 ，即 时， 在区间 单调递减， 在区间 单调递增，所以 ， （3）当 ，即 时， 在区间 单调递增， 所以 . )(xf ),0( a ),( +∞a 0 ( ) 3 1 3 3 6 2 10f x x x x= − + + = + ≥ 4 3x ≥ 4 3x ≥ ( ) 10f x ≥ 4( , 2] [ , )3 −∞ − +∞ ,a b ( )f x a b≥ + ( ) 2f x a b ab≥ + + x∈R ( ) | 3 1| | 3 3| 4f x x x= − + + ≥ 2a b+ = 1ab ≤ 12 a bab +≤ = 1a b= = ( )f x a b≥ +