【数学】2019届一轮复习（理）北师大版推理与证明、算法、复数第2节学案 11页

第2节　综合法、分析法、反证法 最新考纲　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.‎ 知 识 梳 理 ‎1.直接证明 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法 实质 由因导果 执果索因 框图表示 →→…→ →→…→ 文字语言 因为……所以……‎ 或由……得……‎ 要证……只需证……‎ 即证……‎ ‎2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.‎ ‎(1)反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法.‎ ‎(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③‎ 结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(　　)‎ ‎(2)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“aab>b2‎ C.< D.> 解析　a2－ab＝a(a－b)，∵a0，∴a2>ab.①‎ 又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②‎ 由①②得a2>ab>b2.‎ 答案　B ‎3.要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)‎ A.2ab－1－a2b2≤0 ‎ B.a2＋b2－1－≤0‎ C.－1－a2b2≤0 ‎ D.(a2－1)(b2－1)≥0‎ 解析　a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.‎ 答案　D ‎4.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是(　　)‎ A.假设a，b，c都是偶数 B.假设a，b，c都不是偶数 C.假设a，b，c至多有一个偶数 D.假设a，b，c至多有两个偶数 解析　“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确.‎ 答案　B ‎5.(教材例题改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为 .‎ 解析　由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，‎ ‎∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，‎ ‎∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形.‎ 答案　等边三角形 考点一　综合法的应用 ‎【例1】 数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)(一题多解)求数列的前n项和Sn，并证明＋＋…＋>.‎ ‎(1)证明　∵an＋1＝，‎ ‎∴＝，化简得＝2＋，‎ 即－＝2，‎ 故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.‎ ‎(2)解　由(1)知＝2n－1，∴Sn＝＝n2.‎ 法一　＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.‎ 法二　＋＋…＋＝＋＋…＋>1，‎ 又∵1>，∴＋＋…＋>.‎ 规律方法　1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.‎ ‎2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.‎ ‎【训练1】 (2018·东北三省三校调研)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：‎ ‎(1)＋＋≤；‎ ‎(2)＋＋≥.‎ 证明　(1)∵(＋＋)2＝(a＋b＋c)＋2＋2＋2≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，‎ ‎∴＋＋≤.‎ ‎(2)∵a＞0，∴3a＋1＞0，‎ ‎∴＋(3a＋1)≥2＝4，‎ 当且仅当＝3a＋1，即a＝时取“＝”.‎ ‎∴≥3－3a，同理得≥3－3b，≥3－3c，‎ 以上三式相加得 ‎4≥9－3(a＋b＋c)＝6，‎ ‎∴＋＋≥，‎ 当且仅当a＝b＝c＝时取“＝”.‎ 考点二　分析法的应用 ‎【例2】 已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ 证明　要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，‎ 只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，‎ 即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，‎ 即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.‎ ‎∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，‎ 从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，‎ ‎∴2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ 规律方法　1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.‎ ‎2.证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.‎ ‎【训练2】 △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ 求证：＋＝.‎ 证明　要证＋＝，‎ 即证＋＝3也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立.‎ 于是原等式成立.‎ 考点三　反证法的应用 ‎【例3】 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N+)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.‎ ‎(1)解　由已知得解得d＝2，‎ 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋).‎ ‎(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N+，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.即(q＋)2＝(p＋)(r＋).‎ ‎∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ ‎∵p，q，r∈N+，∴ ‎∴＝q2＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r，与p≠r矛盾.‎ ‎∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.‎ 规律方法　1.当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.‎ ‎2.用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的.‎ ‎【训练3】 (2018·郑州一中月考)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图像的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.‎ 由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，‎ 则b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.‎ 因为b>1，所以b＝3.‎ ‎(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，‎ 因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，‎ 所以有即 解得a＝b，这与已知矛盾.‎ 故不存在常数a，b使函数h(x)＝是[a，b]上的“四维光军”函数.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)‎ A.三个内角都不大于60°‎ B.三个内角都大于60°‎ C.三个内角至多有一个大于60°‎ D.三个内角至多有两个大于60°‎ 解析　“至少有一个”的否定是“一个都没有”，故可以理解为都大于60°.‎ 答案　B ‎2.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是(　　)‎ A.a>b B.a＋＞0(m＞1)，‎ ‎∴<，即a0 B.a2＋b2≥2(a－b－1)‎ C.a2＋3ab>2b2 D.< 解析　在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，‎ ‎∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.‎ 答案　B ‎4.分析法又称“执果索因法”，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是(　　)‎ A.a－b＞0 B.a－c＞0‎ C.(a－b)(a－c)＞0 D.(a－b)(a－c)＜0‎ 解析　由题意知＜a⇐b2－ac＜3a2‎ ‎⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0‎ ‎⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0‎ ‎⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.‎ 答案　C ‎5.①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是(　　)‎ A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确；②的假设错误 D.①的假设错误；②的假设正确 解析　反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6.＋与2＋的大小关系为 .‎ 解析　要比较＋与2＋的大小，‎ 只需比较(＋)2与(2＋)2的大小，‎ 只需比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小，‎ 只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，‎ ‎∵42>40，∴＋>2＋.‎ 答案　＋>2＋ ‎7.用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是 .‎ 解析　“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”.‎ 答案　“a，b都不能被5整除”‎ ‎8.下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是 .‎ 解析　要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立.‎ 答案　①③④‎ 三、解答题 ‎9.若a，b，c是不全相等的正数，求证：‎ lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.‎ 证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，‎ ‎∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.‎ 又上述三个不等式中等号不能同时成立.‎ ‎∴··＞abc成立.‎ 上式两边同时取常用对数，‎ 得lg＞lg abc，‎ ‎∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.‎ ‎10.设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.‎ ‎(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；‎ ‎(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？‎ ‎(1)证明　假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，‎ 即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，‎ 因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，‎ 即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列.‎ ‎(2)解　当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；‎ 当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，‎ 即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，‎ 得q＝0，这与公比q≠0矛盾.‎ 综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.(2018·上饶开学考试)设x，y， >0，则三个数＋，＋，＋(　　)‎ A.都大于2 B.至少有一个大于2‎ C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2‎ 解析　因为＋＋ ‎＝＋＋≥6，‎ 当且仅当x＝y＝ 时等号成立.‎ 所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.‎ 答案　C ‎12.(2016·全国Ⅱ卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .‎ 解析　根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“‎ 我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.‎ 答案　1和3‎ ‎13.设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：‎ ‎(1)若ab>cd，则＋>＋；‎ ‎(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件.‎ 证明　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，‎ ‎(＋)2＝c＋d＋2，‎ 由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.‎ 因此＋>＋.‎ ‎(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，‎ 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.‎ 由(1)得＋>＋.‎ ‎②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，‎ 即a＋b＋2>c＋d＋2.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，于是 ‎(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.‎ 因此|a－b|<|c－d|.‎ 综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件.‎