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  • 2021-06-15 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-10圆锥曲线中的范围、最值问题学案

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第10讲 圆锥曲线中的范围、最值问题 ‎      范围问题 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2018·云南第一次统一检测)已知椭圆E的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,离心率等于,P是椭圆E上的点.以线段PF1为直径的圆经过F2,且9·=1.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M,N.如果线段MN被直线2x+1=0平分,求直线l的倾斜角的取值范围.‎ ‎【解】 (1)依题意,设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c.‎ 因为椭圆E的离心率等于,‎ 所以c=a,b2=a2-c2=.‎ 因为以线段PF1为直径的圆经过F2,‎ 所以PF2⊥F1F2.‎ 所以|PF2|=.‎ 因为9·=1,‎ 所以9||2==1.‎ 由,得,‎ 所以椭圆E的方程为+x2=1.‎ ‎(2)因为直线x=-与x轴垂直,且由已知得直线l与直线x=-相交,‎ 所以直线l不可能与x轴垂直,‎ 所以设直线l的方程为y=kx+m.‎ 由,得(k2+9)x2+2kmx+(m2-9)=0.‎ 因为直线l与椭圆E交于两个不同的点M,N,‎ 所以Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0,‎ 即m2-k2-9<0.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=.‎ 因为线段MN被直线2x+1=0平分,‎ 所以2×+1=0,‎ 即+1=0.‎ 由,得-(k2+9)<0.‎ 因为k2+9>0,‎ 所以-1<0,‎ 所以k2>3,解得k>或k<-.‎ 所以直线l的倾斜角的取值范围为∪.‎ 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 ‎(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;‎ ‎(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;‎ ‎(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;‎ ‎(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;‎ ‎(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.  ‎ ‎ 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,且长轴长为8,T为椭圆上任意一点,直线TA,TB的斜率之积为-.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P,Q两点,求·+·的取值范围.‎ 解:(1)设T(x,y),由题意知A(-4,0),B(4,0),设直线TA的斜率为k1,直线TB的斜率为k2,‎ 则k1=,k2=.‎ 由k1k2=-,得·=-,整理得+=1.‎ 故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+2,点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线PQ与椭圆方程联立,得,消去y,得(4k2+3)x2+16kx-32=0.‎ 所以x1+x2=-,x1x2=-.‎ 从而,·+·=x1x2+y1y2+[x1x2+(y1-2)(y2-2)]=2(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4==-20+.‎ 所以-20<·+·≤-.‎ 当直线PQ的斜率不存在时,·+·的值为-20.‎ 综上,·+·的取值范围为.‎ ‎      最值问题(高频考点)‎ 圆锥曲线中的最值问题是每年高考的热点,常涉及不等式,函数的值域问题,综合性比较强,解法灵活多变.主要命题角度有:‎ ‎(1)利用三角函数的有界性求最值;‎ ‎(2)数形结合利用几何性质求最值;‎ ‎(3)建立目标函数求最值;‎ ‎(4)利用基本不等式求最值.‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一 利用三角函数的有界性求最值 ‎ 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,则|AF|·|BF|的最小值是(  )‎ A.2           B. C.4 D.2 ‎【解析】 设直线AB的倾斜角为θ,可得|AF|=,|BF|=,则|AF|·|BF|=‎ eq f(2,1-cos θ)×=≥4.‎ ‎【答案】 C ‎ 角度二 数形结合利用几何性质求最值 ‎ 已知椭圆C:+=1的右焦点为F,P为椭圆C上一动点,定点A(2,4),则|PA|-|PF|的最小值为________.‎ ‎【解析】 如图,设椭圆的左焦点为F′,则|PF|+|PF′|=4,‎ 所以|PF|=4-|PF′|,所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF′|-4.当且仅当P,A,F′三点共线时,|PA|+|PF′|取最小值|AF′|==5,所以|PA|-|PF|的最小值为1.‎ ‎【答案】 1‎ ‎ 角度三 建立目标函数求最值 ‎ (2017·高考浙江卷)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.‎ ‎(1)求直线AP斜率的取值范围;‎ ‎(2)求|PA|·|PQ|的最大值.‎ ‎【解】 (1)设直线AP的斜率为k,‎ k==x-,‎ 因为-0)的一个焦点为F(-1,0),左、右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.‎ ‎(1)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;‎ ‎(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.‎ ‎【解】 (1)由题意,c=1,b2=3,‎ 所以a2=4,所以椭圆M的方程为+=1,‎ 易求直线方程为y=x+1,联立方程,得 消去y,得7x2+8x-8=0,Δ=288,‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2),x1+x2=-,x1x2=-,‎ 所以|CD|=|x1-x2|==.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1,‎ 此时△ABD与△ABC面积相等,|S1-S2|=0;‎ 当直线l的斜率存在时,‎ 设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),‎ 联立方程,得 消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,‎ Δ>0,且x1+x2=-,x1x2=,‎ 此时|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x1+x2)+2k|=,因为k≠0,上式=≤==,‎ 所以|S1-S2|的最大值为.‎ 圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.  ‎ ‎ 已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆,离心率e=,且椭圆过点.‎ ‎(1)求该椭圆的方程;‎ ‎(2)椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0).‎ 则 解得a2=4,b2=3.‎ 所以椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0,y2<0,设△F1AB的内切圆的半径为R,‎ 易知△F1AB的周长为4a=8,则S△F1AB=(|AB|+|F1A|+|F1B|)R=4R,‎ 所以当S△F1AB取得最大值时,R取得最大值,△F1AB的内切圆的面积取得最大值.‎ 由题知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+1,‎ 由得(3m2+4)y2+6my-9=0,‎ 所以y1+y2=,y1y2=-.‎ 则S△F1AB=|F1F2|·(y1-y2)=,‎ 令 =t,则m2=t2-1(t≥1),‎ 所以S△F1AB==(t≥1),‎ 令f(t)=3t+(t≥1),则f′(t)=3-,‎ 当t≥1时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,‎ 有f(t)≥f(1)=4,‎ 所以S△F1AB≤3,‎ 即当t=1,即m=0时,S△F1AB取得最大值,最大值为3,‎ 由S△F1AB=4R,得Rmax=,所以所求内切圆面积的最大值为π.‎ 故△F1AB的内切圆面积的最大值为π,此时直线l:x=1.‎ ‎ 求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围,要特别注意变量的取值范围.‎ ‎ 圆锥曲线中常见最值的解题方法 ‎(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;‎ ‎(2)代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.‎ ‎ 求解范围、最值问题的两个易错点 ‎(1)求范围问题要注意变量自身的范围;‎ ‎(2)利用几何意义求最值时,要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系,特殊位置的应用.                                         ‎ ‎1.如图,抛物线W:y2=4x与圆C:(x-1)2+y2=25交于A,B两点,点P为劣弧上不同于A,B的一个动点,与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q,则△PQC的周长的取值范围是(  )‎ A.(10,14)        B.(12,14)‎ C.(10,12) D.(9,11)‎ 解析:选C.抛物线的准线l:x=-1,焦点(1,0),‎ 由抛物线定义可得|QC|=xQ+1,‎ 圆(x-1)2+y2=25的圆心为C(1,0),半径为5,‎ 可得△PQC的周长=|QC|+|PQ|+|PC|=xQ+1+(xP-xQ)+5=6+xP,‎ 由抛物线y2=4x及圆(x-1)2+y2=25可得交点的横坐标为4,即有xP∈(4,6),‎ 可得6+xP∈(10,12),‎ 故△PQC的周长的取值范围是(10,12).故选C.‎ ‎2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,斜率为的直线交抛物线于A,B两点,若=λ(λ>1),则λ的值为________.‎ 解析:根据题意设A(x1,y1),B(x2,y2),由=λ,得=λ,故-y1=λy2,即λ=.设直线AB的方程为y=,联立直线与抛物线方程,消元得y2-py-p2=0.故y1+y2=p,y1·y2=-p2,=++2=-,即-λ-+2=-.又λ>1,故λ=4.‎ 答案:4‎ ‎3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4且过点(,-2).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E,F,求·的取值范围.‎ 解:(1)椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距是4,所以焦点坐标是(0,-2),(0,2),2a=+=4,所以a=2,b=2,‎ 即椭圆C的方程是+=1.‎ ‎(2)若直线l垂直于x轴,则点E(0,2),F(0,-2),‎ ·=-8.‎ 若直线l不垂直于x轴,不妨设l过该椭圆的上焦点,则l的方程为y=kx+2,设点E(x1,y1),F(x2,y2),‎ 将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2+k2)x2+4kx-4=0,‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=++4=-8,‎ 因为0<≤10,所以-8<·≤2,‎ 所以·的取值范围是[-8,2].‎ ‎4.设椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数,且椭圆的长轴长为4.‎ ‎(1)求椭圆M的方程;‎ ‎(2)若直线y=x+m交椭圆M于A,B两点,P(1,)为椭圆M上一点,求△PAB面积的最大值.‎ 解:(1)由题可知,双曲线的离心率为,则椭圆的离心率e==,由2a=4,=,b2=a2-c2,得a=2,c=,b=,故椭圆M的方程为+=1.‎ ‎(2)不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组,得4x2+2mx+m2-4=0,‎ 由Δ=(2m)2-16(m2-4)>0,得-2b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线+=1与椭圆E有且仅有一个交点M.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设直线+=1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B若λ|PM|2=|PA|·|PB|,求实数λ的取值范围.‎ 解:(1)由题意,得a=2c,b=c,则椭圆E为+=1.‎ 由,得x2-2x+4-3c2=0.‎ 因为直线+=1与椭圆E有且仅有一个交点M,‎ 所以Δ=4-4(4-3c2)=0⇒c2=1,‎ 所以椭圆E的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)得M(1,),‎ 因为直线+=1与y轴交于P(0,2),‎ 所以|PM|2=,‎ 当直线l与x轴垂直时,‎ ‎|PA|·|PB|=(2+)×(2-)=1,‎ 所以λ|PM|2=|PA|·|PB|⇒λ=,‎ 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由⇒(3+4k2)x2+16kx+4=0,‎ 依题意得,x1x2=,且Δ=48(4k2-1)>0,‎ 所以|PA|·|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)·=1+=λ,所以λ=(1+),‎ 因为k2>,所以<λ<1.‎ 综上所述,λ的取值范围是[,1).‎ ‎2.(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.‎ 解:(1)由椭圆的离心率为,得a2=2(a2-b2).‎ 又当y=1时,x2=a2-,得a2-=2,‎ 所以a2=4,b2=2,‎ 因此椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 联立方程 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,‎ 由Δ>0得m2<4k2+2. (*)‎ 且x1+x2=-,‎ 因此y1+y2=,‎ 所以D,‎ 又N(0,-m),‎ 所以|ND|2=+,‎ 整理得|ND|2=,‎ 因为|NF|=|m|,‎ 所以==1+.‎ 令t=8k2+3,t≥3.‎ 故2k2+1=,‎ 所以=1+=1+.‎ 令y=t+,所以y′=1-.‎ 当t≥3时,y′>0,‎ 从而y=t+在[3,+∞)上单调递增,‎ 因此t+≥,‎ 等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,‎ 所以≤1+3=4,‎ 由(*)得-