【数学】2019届一轮复习北师大版概率（文）学案 11页

‎ 透析高考数 23题对对碰【 精品】第二篇 ‎ ‎ 主题13 概率（文） ‎ ‎【主题考法】本主题考题形式为选择题或填空题，与函数、不等式、统计等知识结合考查古典概型、几何概型及互斥事件、对立事件的概率求法，考查应用意识、运算求解能力，难度为容易题或中档试题，分值为5至10分.‎ ‎【主题考前回扣】‎ ‎1.古典概型的概率 ‎(1)公式P(A)＝＝.‎ ‎(2)古典概型的两个特点 所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.‎ ‎2.几何概型的概率 ‎(1)P(A)＝.‎ ‎(2)几何概型应满足两个条件 ①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等.‎ ‎3.概率的性质及互斥事件的概率 ‎(1)概率的取值范围 0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率 P(A)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率 P(A)＝0.‎ ‎(4)若A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，特别地P(A)＋P()＝1.‎ ‎【易错点提醒】‎ ‎1.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.‎ ‎2.几何概型的概率计算中，几何“测度”确定不准而导致计算错误 ‎3.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数，两点注意 (1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏.‎ ‎(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率.‎ ‎4..利用古典概型计算事件A的概率应注意的问题 ①本试验是否是等可能的；②本试验的基本事件有多少个；③事件A是什么，它包含的基本事件有多少个，回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.‎ ‎【主题考向】‎ 考向一 古典概型 ‎【解决法宝】1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.‎ ‎2..基本事件数的探求方法 ‎ ①列举法 适合于较简单的试验；‎ ②树状图法 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．‎ ‎③列表法 适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ 例1．【福建省泉州市 3月质检】用种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【分析】列出所有基本事件，找出两个小球颜色不同所包含的基本事件数，利用古典概型公式即可求出概率.‎ 考向二 几何概型 ‎【解决法宝】1.当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；‎ ‎2.利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.‎ 例2【山东省烟台市 诊断测】七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【分析】设小正方形边长为1，计算出各等腰梯形的边长和大正方形的边长，计算出各自面积，算出非阴影部分面积，根据几何概型公式即可求出所求事件的概率.‎ ‎【解析】不妨设小正方形的边长为1，则两个等腰直角三角形的边长为,一个等腰直角三角形的边长为，两个等腰直角三角形的边长为2，2， ，即最大正方形边长为，P=,选B.‎ 考向三 互斥事件和对立事件 ‎【解决法宝】1.注意区分互斥事件和对立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的两个或多个事件，对立事件是同一试验中不可能同时发生的两个事件，且其和事件为必然事件；‎ 2. 一个事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”、“至多”等问题往往用这种方法求解；‎ 例3．【河北沧州市 一模】甲、乙两位同 下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下和棋的概率为，则乙获胜的概率为 .‎ ‎【分析】利用互斥事件的概率公式进行求解.‎ ‎【解析】因为甲获胜的概率，甲、乙下和棋的概率以及乙获胜的概率三者之和为1，所以乙获胜的概率为.‎ ‎【主题集训】‎ ‎1.【江西省上饶市 二模】欧阳修的《卖油翁》中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆面，中间有边长为的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎2‎ ‎. 【河南百校联盟2017届9月质检，6】从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数之和能被3整除的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，共有10种取法，其中所取两个数之和能被3整除包含四种取法，所以概率为，选A. ‎ ‎3.【山西省 一模】甲、乙二人约定7 10在某处会面，甲在7 00～7 20内某一时刻随机到达，乙在7 05～7 20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙分钟的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立直角坐标系如图，分别表示甲，乙二人到达的时刻，则坐标系中每个点可对应甲，乙二人到达时刻的可能性，则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是，其构成的区域为如图阴影部分，则所求的概率为，故选C ‎4. 【广西桂林、贺州、崇左三市 第二次联】若，则成立的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,由于,所以, ,故概率为,选C.‎ ‎5.【四川省凉山州 第二次诊断】在区间上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图 不妨设两个数为，故，如图所示，其概率为，故选 ‎6.【福建省厦门市 一质检】甲乙两名同 分别从“象棋”、“文 ”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同 加入同一个社团的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，甲乙两名同 各自等可能地从“象棋”、“文 ”、“摄影” 三个社团中选取一个社团加入，共有种不同的结果，这两名同 加入同一个社团的有3种情况，则这两名同 加入同一个社团的概率是，故选B.‎ ‎7.【河南省濮阳市 二模】在内任取一个实数，设，则函数的图象与轴有公共点的概率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】的图象与轴有公共点，或在内取一个实数，函数的图象与轴有公共点的概率等于，故选D.‎ ‎8.【河北邯郸市2017届高三9月联考，7】满足不等式的实数使关于的一元二次方程有实数根的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】. ‎ ‎9.【湖南省衡阳市 一模】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日,中国人民银行为此发行了以此为主题的金质纪念币,如图所示,该圆形金质纪念币,直径22mm.为了测算图中军旗部分的面积,现用1粒芝麻(将芝麻近似看作一个点)向硬币内随机投掷220次,其中恰有60次落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是 A. 32 B. 33 C. 132 D. 133‎ ‎【答案】B ‎【解析】设军旗的面积为s，由题知，圆的半径为11mm，由几何概型公式知，，解得，故选B.‎ ‎10.【湖南郴州市2017届高三第二次教 质量监测，3】从标有数字，，的三个红球和标有数字，的两个白球中任取两个球，则取得两球的数字和颜色都不相同的概率为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎11.【广东省 一模】下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是，故选A.‎ ‎12.【湖北省黄冈、黄石等八市 3月联考】天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数 产生随机数。依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。得到的10组随机数如下 613，265，114，236，561，435，443，251，154，353。则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，每天下雨概率，由十组数据可得三天中有两天下雨的概率，故选 ‎13.【内蒙古包头市一中 一模】在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 14.【湖南百所重点中 2017届高三阶段性诊断，14】若是集合 中任意选取的一个元素，则圆与圆内含的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】数形结合可得，只能是圆在圆内部，则有即，则圆与圆内含的概率为.‎ ‎15.【云南省师范大 附属中 第七次月考】双曲线其中，且a， b取到其中每个数都是等可能的，则直线l 与双曲线C左右支各有一个交点的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线与双曲线左右支各有一个交点，则，总基本事件数为，满足条件的的情况有 ，共6个，概率为，故选B．‎ ‎16.【福建省厦门外国语 校 一模】关于圆周率，数 发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验 估计的值 先请120名同 每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】正实数对，且 ，所在区域面积为1，能够成钝角三角形的条件为且，其区域面积为，根据概率 得，故选B. ‎ ‎17.【新疆哈密市 一模】为了估计今年 昆明的红嘴鸥数量，随机对500只红嘴鸥做上记号后放回，现有2只标有记号，今年 昆明的红嘴鸥总数最可能为________只.‎ ‎【答案】125000‎ ‎【解析】，故红嘴鸥总数为125000．故答案为 125000.‎ ‎18.【江西省赣州市 一模】在区间和上分别取一个数，记为，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的离心率小于，即，得，又，由数形结合法，如图所示，根据几何概型概率公式得，所求概率为.‎ ‎19．【河南省 调研联考】一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 20. 【四川省绵阳南山中 二诊】为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】根据题意，可设阴影部分的面积为，则正方形的面积为，向正方形内随机投掷个点，已知恰有 个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率，而，则，解得 ‎ 21.【江苏省南通市如皋中 2028届第二次阶段测试】已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则四棱锥M ABCD的体积小于的概率为______． = ‎ ‎【答案】‎ ‎ 22.【江西省南昌市 一模】在圆上任取一点，则该点到直线的距离的概率为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆心到直线的距离为 ，‎ 则直线与圆相切，‎ 设直线与直线的距离为1，‎ 则 或，‎ 如图所示，设直线与圆交于两点，‎ 由题意可得 ，‎ 则，则为满足题意的点，‎ 由角度型几何概型公式可得满足题意的概率值 .‎ ‎23.【广东省江门市 一模】两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位正整数，且十位数字都是5，则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2 的概率为___．‎ ‎【答案】‎ 综上可得两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2 的情况有44种，由古典概型概率公式可得所求概率为.‎