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- 2021-06-15 发布
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课时作业(三十七)B [第37讲 基本不等式]
[时间：35分钟 分值：80分]
1．已知a，b∈R，下列不等式中不正确的是( )
A．a2＋b2≥2ab B.≥ C．a2＋4≥4a D.＋b2≥4
2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
3．设x，y∈R，且x＋y＝4，则5x＋5y的最小值是( )
A．9 B．25 C．50 D．162
4．已知00，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4 C. D.
7．若logx＋logy＝8，则3x＋2y的最小值为( )
A．4 B．8 C．4 D．8
8．设f(x)＝|2－x2|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是( )
A．(0,2) B．(0,2) C．(0,4) D．(0，)
9．已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．
10．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
11．设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．
12．(13分)(1)已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求证：＋≥，指出等号成立的条件；
(2)利用(1)的结论求函数f(x)＝＋的最小值，指出取最小值时x的值．
13．(12分)如图K37－1，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
(1)设AD＝x(x≥0)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；
(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．
图K37－1
课时作业(三十七)B
【基础热身】
1．B [解析] 对于基本不等式成立的前提条件是a、b必须都非负．
2．C [解析] ∵x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－－2≤－2·－2＝－4，等号成立的条件是－x＝，即x＝－1.
3．C [解析] 5x＋5y≥2＝2＝50，当且仅当x＝y＝2时，5x＋5y得最小值是50.
4. [解析] 因为00，y>0，所以3x＋2y≥2＝8，当且仅当3x＝2y，xy＝16时，取得最小值8.故选D.
8．B [解析] 若0＜a＜b＜，则有f(a)＞f(b)，与f(a)＝f(b)矛盾；若＜a＜b，则有f(a)＜f(b)，与f(a)＝f(b)矛盾，故必有0＜a＜＜b，因此由|2－a2|＝|2－b2|得2－a2＝b2－2，
∴a2＋b2＝4，故≤＝(a＝b时取等号)，
∴0＜a＋b＜2.
9. [解析] 由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时取等号，则2＋1＝4，解得p＝.
10．18 [解析] 由基本不等式得xy≥2＋6，令＝t得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)，或者t≥3，故xy的最小值为18.
11．－4 [解析] 由＋＋≥0，得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.
12．[解答] (1)证明：(x＋y)＝a2＋b2＋a2＋b2≥a2＋b2＋2＝(a＋b)2，
故＋≥，
当且仅当a2＝b2，即＝时上式取等号．
(2)由(1)得f(x)＝＋≥＝25，
当且仅当＝，即x＝时上式取最小值，
即f(x)min＝25.
【难点突破】
13．[解答] (1)在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°⇒y2＝x2＋AE2－x·AE.①
又S△ADE＝S△ABC⇒＝x·AE·sin60°⇒x·AE＝2.②
将②代入①得y2＝x2＋2－2(y＞0)，
∴y＝(1≤x≤2)．
(2)如果DE是水管y＝≥＝，
当且仅当x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝.
如果DE是参观线路，记f(x)＝x2＋，可知
函数f(x)在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，
故f(x)max＝f(1)＝f(2)＝5，∴ymax＝＝.
即DE为AB边中线或AC边中线时，DE最长．
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