【数学】2019届一轮复习北师大版复数学案 15页

13.5　复　数 最新考纲 考情考向分析 1.理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 3.了解复数的代数表示及其几何意义． 4.能进行复数代数形式的四则运算． 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、 虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的 充要条件，考查复数的代数形式的四则运算， 重点考查复数的除法运算，与向量结合考查 复数及其加法、减法的几何意义，突出考查 运算能力与数形结合思想．一般以选择题、 填空题形式出现，难度为低档. 1．复数的有关概念 (1)定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中 a 叫作复数 的实部，b 叫作复数 的虚部 (i 为虚数单位)． (2)分类： 满足条件(a，b 为实数) a＋bi 为实数⇔b＝0 a＋bi 为虚数⇔b≠0复数的分类 a＋bi 为纯虚数⇔a＝0 且 b≠0 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)模：向量OZ → 的模叫作复数 ＝a＋bi 的模，记作|a＋bi|或| |，即| |＝|a＋bi|＝ a2＋b2(a，b∈ R)． 2．复数的几何意义 复数 ＝a＋bi 与复平面内的点 (a，b)及平面向量OZ → ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设 1＝a＋bi， 2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形 O 1 2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ → ＝OZ1→ ＋ OZ2→ ，Z1Z2→ ＝OZ2→ －OZ1→ . 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程 x2＋x＋1＝0 没有解．(　×　) (2)复数 ＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.(　×　) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　) (4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的 模．(　√　) 题组二　教材改编 2．设复数 满足1＋z 1－z＝i，则| |等于(　　) A．1 B. 2 C. 3 D．2 答案　A 解析　1＋ ＝i(1－ )， (1＋i)＝i－1， ＝i－1 1＋i＝ －(1－i)2 2 ＝i， ∴| |＝|i|＝1. 3．在复平面内，向量AB → 对应的复数是 2＋i，向量CB → 对应的复数是－1－3i，则向量CA → 对应 的复数是(　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 答案　D 解析　CA → ＝CB → ＋BA → ＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数 ＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1 或 1 答案　A 解析　∵ 为纯虚数，∴Error!∴x＝－1. 题组三　易错自纠 5．设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋b i为纯虚数”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 答案　C 解析　∵复数 a＋b i＝a－bi 为纯虚数，∴a＝0 且－b≠0，即 a＝0 且 b≠0，∴“ab＝0”是 “复数 a＋b i为纯虚数”的必要不充分条件．故选 C. 6．设 i 是虚数单位，若 ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则 θ 位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　∵ ＝cos θ＋isin θ 对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴ Error! ∴θ 为第二象限角，故选 B. 7．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________. 答案　1 解析　原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1. 题型一　复数的概念 1．(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题： p1：若复数 满足1 z∈R，则 ∈R； p2：若复数 满足 2∈R，则 ∈R； p3：若复数 1， 2 满足 1 2∈R，则 1＝ z － 2； p4：若复数 ∈R，则 z － ∈R. 其中的真命题为(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 答案　B 解析　设 ＝a＋bi(a，b∈R)， 1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)， 2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． 对于 p1，若1 z∈R，即 1 a＋bi＝ a－bi a2＋b2∈R，则 b＝0， 故 ＝a＋bi＝a∈R，所以 p1 为真命题； 对于 p2，若 2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则 ab＝0.当 a＝0，b≠0 时， ＝a＋bi＝bi ∉R，所以 p2 为假命题； 对于 p3，若 1 2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则 a1b2＋a2b1＝0. 而 1＝z2，即 a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为 a1b2＋a2b1＝0⇏a1＝a2，b1＝－b2，所 以 p3 为假命题； 对于 p4，若 ∈R，即 a＋bi∈R，则 b＝0， 故z＝a－bi＝a∈R，所以 p4 为真命题．故选 B. 2．(2018·长春模拟)若复数 满足 i( －3)＝－1＋3i(其中 i 是虚数单位)，则 的实部为(　　) A．6 B．1 C．－1 D．－6 答案　A 解析　∵i －3i＝－1＋3i，∴i ＝－1＋6i， ∴ ＝6＋i，故 的实部为 6. 3．(2017·河南六市联考)如果复数2－bi 1＋2i(其中 i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反 数，则 b＝______. 答案　－2 3 解析　由2－bi 1＋2i＝ (2－bi)(1－2i) 5 ＝2－2b－(b＋4)i 5 ， 得 2－2b＝b＋4，得 b＝－2 3. 4．已知复数 满足 2＝－4，若 的虚部大于 0，则 ＝________. 答案　2i 解析　设 ＝a＋bi(a，b∈R，b>0)， 则 2＝a2－b2＋2abi＝－4， 因此 a＝0，－b2＝－4，b＝±2， 又 b>0，∴b＝2，∴ ＝2i. 思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需 把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 题型二　复数的运算 命题点 1　复数的乘法运算 典例 (1)(2018·长春质检)设复数 1， 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 1＝2＋i，则 1 2 等于(　　) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 答案　A 解析　∵ 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)， 又 1 与 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则 2 的对应点的坐标为(－2,1)， 即 2＝－2＋i， ∴ 1 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5. (2)复数 i(2－i)等于(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 答案　A 解析　i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i. (3)(2017·江苏)已知复数 ＝(1＋i)(1＋2i)，其中 i 是虚数单位，则 的模是________． 答案　 10 解析　方法一　∵ ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2 ＝－1＋3i， ∴| |＝ (－1)2＋32＝ 10. 方法二　| |＝|1＋i||1＋2i|＝ 2× 5＝ 10. 命题点 2　复数的除法运算 典例 (1)(2017·全国Ⅱ)3＋i 1＋i等于(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 答案　D 解析　3＋i 1＋i＝ (3＋i)(1－i) (1＋i)(1－i)＝3－3i＋i＋1 2 ＝2－i. (2)(2016·全国Ⅲ)若 ＝1＋2i，则 4i zz－1等于(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案　C 解析　 ＝1＋2i， z＝5， 4i zz－1＝i. (3)( 1＋i 1－i )6＋ 2＋ 3i 3－ 2i ＝________. 答案　－1＋i 解析　原式＝[ (1＋i)2 2 ]6＋ ( 2＋ 3i)( 3＋ 2i) ( 3)2＋( 2)2 ＝i6＋ 6＋2i＋3i－ 6 5 ＝－1＋i. 命题点 3　复数的综合运算 典例 (1)(2017·全国Ⅲ)设复数 满足(1＋i) ＝2i，则| |等于(　　) A.1 2 B. 2 2 C. 2 D．2 答案　C 解析　方法一　由(1＋i) ＝2i，得 ＝ 2i 1＋i＝1＋i， ∴| |＝ 2. 故选 C. 方法二　∵2i＝(1＋i)2， ∴由(1＋i) ＝2i＝(1＋i)2，得 ＝1＋i， ∴| |＝ 2. 故选 C. (2)(2016·山东)若复数 满足 2 ＋z＝3－2i，其中 i 为虚数单位，则 等于(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 答案　B 解析　设 ＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得 3a＋bi＝3－ 2i， ∴Error!解得Error!∴ ＝1－2i，故选 B. (3)(2016·全国Ⅲ)若 ＝4＋3i，则 z |z|等于(　　) A．1 B．－1 C.4 5＋3 5i D.4 5－3 5i 答案　D 解析　 ＝4＋3i，| |＝5， z |z|＝4 5－3 5i. 思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类 项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成 最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为 a＋bi(a，b∈R) 的形式，再结合相关定义解答． (4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为 a＋bi(a，b ∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答． (5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算 乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的． 跟踪训练 (1) (1＋i)3 (1－i)2 等于(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案　D 解析　方法一　 (1＋i)3 (1－i)2 ＝ (1＋i)(1＋i)2 －2i ＝ (1＋i)(1＋i2＋2i) －2i ＝ －2＋2i －2i ＝1－i i ＝－1－i.故选 D. 方法二　 (1＋i)3 (1－i)2 ＝( 1＋i 1－i )2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)． (2)已知 (1－i)2 z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 等于(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案　D 解析　由 (1－i)2 z ＝1＋i，知 ＝ (1－i)2 1＋i ＝－ 2i 1＋i＝－1－i，故选 D. (3) －2 3＋i 1＋2 3i ＋( 2 1－i )2 017＝________. 答案　 2 2 ＋( 2 2 ＋1)i 解析　 －2 3＋i 1＋2 3i ＋( 2 1－i )2 017 ＝i(1＋2 3i) 1＋2 3i ＋( 2 1－i )[( 2 1－i )2 ]1 008 ＝i＋i1 008· 2 2 (1＋i)＝ 2 2 ＋( 2 2 ＋1)i. 题型三　复数的几何意义 典例 (1)(2017·北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范 围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案　B 解析　∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i， 又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限， ∴Error!解得 a<－1. 故选 B. (2)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为 1， 2， 3，若复数 满足| － 1|＝| － 2|＝| － 3|， 则 对应的点为△ABC 的(　　) A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 答案　D 解析　由几何意义知，复数 对应的点到△ABC 三个顶点的距离都相等， 对应的点是△ABC 的外心． (3)如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示 0，3＋2i，－2＋4i，试求： ①AO → ，BC → 所表示的复数； ②对角线CA → 所表示的复数； ③B 点对应的复数． 解　①∵AO → ＝－OA → ，∴AO → 所表示的复数为－3－2i. ∵BC → ＝AO → ，∴BC → 所表示的复数为－3－2i. ②∵CA → ＝OA → －OC → ，∴CA → 所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB → ＝OA → ＋AB → ＝OA → ＋OC → ， ∴OB → 所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即 B 点对应的复数为 1＋6i. 思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复 数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可． 跟踪训练已知 是复数， ＋2i， z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数( ＋ai)2 在复平面内对 应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围． 解　设 ＝x＋yi(x，y∈R)， ∴ ＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得 y＝－2. ∵ z 2－i＝x－2i 2－i ＝1 5(x－2i)(2＋i) ＝1 5(2x＋2)＋1 5(x－4)i， 由题意得 x＝4.∴ ＝4－2i. ∵( ＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 根据条件，可知Error! 解得 20.∴“复数 ＝3－ai i 在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的充分 不必要条件．故选 A. 5．(2017·河北省三市联考)若复数 ＝a＋3i i ＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数 a 可 以是(　　) A．－4 B．－3 C．1 D．2 答案　A 解析　因为 ＝a＋3i i ＋a＝(3＋a)－ai 在复平面上对应的点在第二象限，所以Error!解得 a<－ 3，故选 A. 6．(2018·枣庄模拟)设 1， 2 是复数，则下列命题中的假命题是(　　) A．若| 1－ 2|＝0，则 z1＝z2 B．若 1＝z2，则 z1＝ 2 C．若| 1|＝| 2|，则 1·z1＝ 2·z2 D．若| 1|＝| 2|，则 21＝ 22 答案　D 解析　A 中，| 1－ 2|＝0，则 1＝ 2，故 z1＝z2，成立．B 中， 1＝z2，则 z1＝ 2 成立．C 中， | 1|＝| 2|，则| 1|2＝| 2|2，即 1z1＝ 2z2，C 正确．D 不一定成立，如 1＝1＋ 3i， 2＝2，则| 1|＝ 2＝| 2|，但 21＝－2＋2 3i， 22＝4， 21≠ 22. 7．(2017·天津)已知 a∈R，i 为虚数单位，若a－i 2＋i为实数，则 a 的值为________． 答案　－2 解析　∵a∈R， a－i 2＋i＝ (a－i)(2－i) (2＋i)(2－i)＝2a－1－(a＋2)i 5 ＝2a－1 5 －a＋2 5 i 为实数，∴－a＋2 5 ＝0，∴a＝－2. 8．(2017·浙江)已知 a，b∈R，(a＋bi) 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则 a2＋b2＝________，ab＝ ________. 答案　5　2 解析　(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi. 由(a＋bi)2＝3＋4i. 得Error! 解得 a2＝4，b2＝1. 所以 a2＋b2＝5，ab＝2. 9．已知集合 M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若 M∩N＝{3}，则实数 m 的值为 ________． 答案　3 或 6 解析　∵M∩N＝{3}，∴3∈M 且－1∉M， ∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3 或 m＝3， ∴m2－5m－6＝0 且 m≠－1 或 m＝3， 解得 m＝6 或 m＝3，经检验符合题意． 10．(2018·唐山质检)若 1＋ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2＋bx＋c＝0 的一个复数根，则 b＝ ______，c＝______. 答案　－2　3 解析　∵实系数一元二次方程 x2＋bx＋c＝0 的一个虚根为 1＋ 2i，∴其共轭复数 1－ 2i 也 是方程的根． 由根与系数的关系知，Error! ∴b＝－2，c＝3. 11．若3＋bi 1－i ＝a＋bi(a，b 为实数，i 为虚数单位)，则 a＋b＝________. 答案　3 解析　3＋bi 1－i ＝ (3＋bi)(1＋i) 2 ＝1 2[(3－b)＋(3＋b)i] ＝3－b 2 ＋3＋b 2 i. ∴Error!解得Error! ∴a＋b＝3. 12．已知复数 ＝x＋yi(x，y∈R)，且| －2|＝ 3，则y x的最大值为________． 答案　 3 解析　∵| －2|＝ (x－2)2＋y2＝ 3， ∴(x－2)2＋y2＝3. 由图可知 ( y x )max＝ 3 1 ＝ 3. 13．(2016·天津)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－bi)＝a，则 a b的值为________． 答案　2 解析　因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a， 又 a，b∈R，所以 1＋b＝a,1－b＝0， 得 a＝2，b＝1，所以a b＝2. 14．(2017·辽宁朝阳三校协作体联考)已知复数 ＝ 3＋i (1－ 3i)2 ，z是 的共轭复数，则 · z＝ ________. 答案　1 4 解析　由 ＝ 3＋i －2(1＋ 3i)＝－ 3 4 ＋1 4i， 得z＝－ 3 4 －1 4i， 所以 ·z＝(－ 3 4 ＋1 4i)·(－ 3 4 －1 4i) ＝ 3 16＋ 1 16＝1 4. 15．已知复数 1＝－1＋2i， 2＝1－i， 3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为 A，B， C.若OC → ＝λOA → ＋μOB → (λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值是________． 答案　1 解析　由条件得OC → ＝(3，－4)，OA → ＝(－1,2)，OB → ＝(1，－1)，根据OC → ＝λOA → ＋μOB → ， 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴Error!　解得Error! ∴λ＋μ＝1. 16．(2018·广州质检)已知复数 ＝bi(b∈R)，z－2 1＋i是实数，i 是虚数单位． (1)求复数 ； (2)若复数(m＋ )2 所表示的点在第一象限，求实数 m 的取值范围． 解　(1)因为 ＝bi(b∈R)， 所以z－2 1＋i＝bi－2 1＋i ＝ (bi－2)(1－i) (1＋i)(1－i) ＝ (b－2)＋(b＋2)i 2 ＝b－2 2 ＋b＋2 2 i. 又因为z－2 1＋i是实数，所以b＋2 2 ＝0， 所以 b＝－2，即 ＝－2i. (2)因为 ＝－2i，m∈R，所以(m＋ )2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi， 又因为复数(m＋ )2 所表示的点在第一象限， 所以Error!解得 m<－2， 即 m∈(－∞，－2)． 17．若 a 1－i＝1－bi，其中 a，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a＋bi|＝________. 答案　 5 解析　∵a，b∈R，且 a 1－i＝1－bi， 则 a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i， ∴Error!　∴Error! ∴|a＋bi|＝|2－i|＝ 22＋(－1)2＝ 5. 18．定义运算| a　b c　d |＝ad－bc.若复数 x＝1－i 1＋i，y＝| 4i　xi 2　x＋i|，则 y＝________. 答案　－2 解析　因为 x＝1－i 1＋i＝ (1－i)2 2 ＝－i， 所以 y＝| 4i　xi 2　x＋i|＝| 4i　1 2　0 |＝－2. 19．设 f(n)＝( 1＋i 1－i )n＋( 1－i 1＋i )n(n∈N＋)，则集合{f(n)}中元素的个数为________． 答案　3 解析　f(n)＝( 1＋i 1－i )n＋( 1－i 1＋i )n＝in＋(－i)n， f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…， ∴集合{f(n)}中共有 3 个元素． 20．(2018·济南调研)若虚数 同时满足下列两个条件： ① ＋5 z是实数；② ＋3 的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由． 解　这样的虚数存在， ＝－1－2i 或 ＝－2－i. 设 ＝a＋bi(a，b∈R 且 b≠0)， ＋5 z＝a＋bi＋ 5 a＋bi＝a＋bi＋5(a－bi) a2＋b2 ＝(a＋ 5a a2＋b2)＋(b－ 5b a2＋b2)i. ∵ ＋5 z是实数，∴b－ 5b a2＋b2＝0. 又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.① 又 ＋3＝(a＋3)＋bi 的实部与虚部互为相反数， ∴a＋3＋b＝0.② 由Error!解得Error!或Error! 故存在虚数 ， ＝－1－2i 或 ＝－2－i.