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  • 2021-06-15 发布

【数学】2020届一轮复习苏教版三角函数的图象与性质学案

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‎§4.3 三角函数的图象与性质 考情考向分析 以考查三角函数的图象和性质为主,题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点.考查三角函数性质时,常与三角恒等变换结合,加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识.题型既有填空题,又有解答题,中档难度.‎ ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).‎ ‎(2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).‎ ‎2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R ‎{x|x∈R,且x≠kπ+}‎ 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ‎[2kπ-π,2kπ]‎ 递减区间 ‎[2kπ,2kπ+π]‎ 无 对称中心 ‎(kπ,0)‎ 对称轴方程 x=kπ+ x=kπ 无 概念方法微思考 ‎1.正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少?相邻两个对称中心的距离呢?‎ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期;相邻两个对称中心的距离也为半个周期.‎ ‎2.思考函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)是奇函数,偶函数的充要条件?‎ 提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);‎ ‎(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y=sin x在第一、第四象限是增函数.( × )‎ ‎(2)由sin=sin 知,是正弦函数y=sin x(x∈R)的一个周期.( × )‎ ‎(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( × )‎ ‎(4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( × )‎ ‎(5)y=sin|x|是偶函数.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P44T1]函数f(x)=cos的最小正周期是________.‎ 答案 π ‎3.[P45T4]y=3sin在区间上的值域是________.‎ 答案  解析 当x∈时,2x-∈,‎ sin∈,‎ 故3sin∈,‎ 即y=3sin的值域为.‎ ‎4.[P33例4]函数y=tan的定义域为________.‎ 答案  题组三 易错自纠 ‎5.函数y=tan的图象的对称中心是________.‎ 答案 ,k∈Z 解析 由x+=,k∈Z,得x=kπ-,k∈Z,‎ 所以对称中心是,k∈Z.‎ ‎6.函数f(x)=4sin的单调递减区间是______________________.‎ 答案 (k∈Z)‎ 解析 f(x)=4sin=-4sin.‎ 所以要求f(x)的单调递减区间,‎ 只需求y=4sin的单调递增区间.‎ 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤π+kπ(k∈Z).‎ 所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z).‎ ‎7.cos 23°,sin 68°,cos 97°的大小关系是________________.‎ 答案 sin 68°>cos 23°>cos 97°‎ 解析 sin 68°=cos 22°,‎ 又y=cos x在[0°,180°]上是减函数,‎ ‎∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.‎ 题型一 三角函数的定义域 ‎1.函数f(x)=-2tan的定义域是____________.‎ 答案  解析 由正切函数的定义域,得2x+≠kπ+,k∈Z,即x≠+(k∈Z).‎ ‎2.函数y=的定义域为________________.‎ 答案 (k∈Z)‎ 解析 方法一 要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示.‎ 在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为.‎ 方法二 利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示).‎ 所以定义域为.‎ ‎3.函数y=lg(sin x)+ 的定义域为________.‎ 答案  解析 要使函数有意义,则 即 解得 所以2kπ0)的最小正周期为4,则ω=________.‎ 答案  解析 f(x)=cos(ω>0),‎ 由周期计算公式,可得T==4,解得ω=.‎ ‎(2)已知函数f(x)=sin(ωx-ωπ)(ω>0)的最小正周期为π,则f =________.‎ 答案  解析 ∵T=π,∴ω===2,‎ ‎∴f(x)=sin=sin 2x,‎ ‎∴f =sin =.‎ ‎(3)(2018·无锡市梅材高中期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ),ω>0,0<φ<π为偶函数,且其图象的两条相邻对称轴的距离为,则f的值为________.‎ 答案  解析 因为函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin为偶函数,‎ 所以φ-=kπ+,k∈Z,令k=0,可得φ=,‎ 根据其图象的两条相邻对称轴间的距离为,‎ 可得·=,所以w=2,‎ 所以f(x)=2sin=2cos 2x,‎ 所以f =2cos=2cos=.‎ 思维升华 (1)对于函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点.‎ ‎(2)求三角函数周期的方法 ‎①利用周期函数的定义.‎ ‎②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.‎ 跟踪训练2 (1)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且∀x∈R,有f(x)≤f 成立,则f(x)图象的对称中心是________________.‎ 答案 ,k∈Z 解析 由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,‎ 得ω=.‎ 因为f(x)≤f 恒成立,‎ 所以f(x)max=f ,‎ 即×+φ=+2kπ(k∈Z),‎ 又|φ|<,所以φ=,故f(x)=sin.‎ 令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),‎ 故f(x)图象的对称中心为(k∈Z).‎ ‎(2)若直线x=π和x=π是函数y=cos(ωx+φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴,则φ=______________.‎ 答案 kπ-π,k∈Z 解析 由题意,函数的周期T=2×=2π,∴ω==1,∴y=cos(x+φ),当x=π时,函数取得最大值或最小值,即cos=±1,可得π+φ=kπ,k∈Z,‎ ‎∴φ=kπ-π,k∈Z.‎ 题型四 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间 例3 (1)若点P(1,-1)在角φ(-π<φ<0)终边上,则函数y=3cos(x+φ),x∈[0,π]的单调递减区间为________.‎ 答案  解析 因为点P(1,-1)在角φ(-π<φ<0)终边上,‎ 所以tan φ=-1,φ=-,‎ 即函数为y=3cos,‎ 令00,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.‎ 答案  解析 由0,得+<ωx+<ωπ+,‎ 又y=sin x的单调递减区间为,k∈Z,‎ 所以k∈Z,‎ 解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.‎ 又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈.‎ 引申探究 本例中,若已知ω>0,函数f(x)=cos在上单调递增,则ω的取值范围是_______.‎ 答案  解析 函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,‎ 则k∈Z,‎ 解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,‎ 又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z,‎ 得k=1,所以ω∈.‎ 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.‎ ‎(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.‎ 跟踪训练3 (1)已知函数f(x)=2sin,则函数f(x)的单调递减区间为________________.‎ 答案 (k∈Z)‎ 解析 函数的解析式可化为f(x)=-2sin.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),‎ 即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)(2018·盐城模拟)若函数g(x)=sin在区间和上均单调递增,则实数a的取值范围是________.‎ 答案  解析 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),可得 kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ ‎∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ 又∵函数g(x)在区间和上均单调递增,‎ ‎∴解得≤a<.‎ 三角函数的图象与性质 纵观近年高考中三角函数的试题,其有关性质几乎每年必考,题目较为简单,综合性的知识多数为三角函数本章内的知识,通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破,并在高考中拿全分.‎ 例 (1)(2018·连云港市灌南华侨高级中学月考)为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值,则ω的最小值为________.‎ 答案 π 解析 为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值,‎ 则49×T≤1,即×≤1.‎ 解得ω≥π,所以ω的最小值为π.‎ ‎(2)设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是________.(填序号)‎ ‎①f(x)的一个周期为-2π;‎ ‎②y=f(x)的图象关于直线x=对称;‎ ‎③f(x+π)的一个零点为x=;‎ ‎④f(x)在上单调递减.‎ 答案 ①②③‎ 解析 ①中,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z),所以f(x)的一个周期为-2π,①正确;‎ ‎②中,因为f(x)=cos的图象的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,②正确;‎ ‎③中,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),当k=1时,x=,‎ 所以f(x+π)的一个零点为x=,③正确;‎ ‎④中,因为f(x)=cos的单调递减区间为(k∈Z),‎ 单调递增区间为(k∈Z),‎ 所以是f(x)的单调递减区间,是f(x)的单调递增区间,④错误.故正确的结论是①②③.‎ ‎(3)函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为____________.‎ 答案 ,k∈Z 解析 由图象知,周期T=2×=2,‎ ‎∴=2,∴ω=π.‎ 由π×+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,‎ ‎∴f(x)=cos.‎ 由2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,‎ 得2k-0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f =f =-f ,则f(x)的最小正周期为________.‎ 答案 π 解析 记f(x)的最小正周期为T.‎ 由题意知≥-=,‎ 又f =f =-f ,且-=,‎ 可作出示意图如图所示(一种情况):‎ ‎∴x1=×=,‎ x2=×=,‎ ‎∴=x2-x1=-=,∴T=π.‎ ‎1.若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f 的值是________.‎ 答案  解析 由题意,得=π,‎ 所以ω=2,f(x)=sin.‎ 因此f =sin=sin =.‎ ‎2.函数f(x)=sin在区间上的最小值为________.‎ 答案 - 解析 由已知x∈,‎ 得2x-∈,‎ 所以sin∈,‎ 故函数f(x)=sin在区间上的最小值为-.‎ ‎3.若函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 (-π,0]‎ 解析 因为y=cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,‎ 所以只有当-π0,‎ 当x∈时,f′(x)<0,‎ ‎∴函数f(x)的单调增区间为.‎ ‎5.函数y=cos2x-2sin x的最小值为________.‎ 答案 -2‎ 解析 y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x ‎=-sin2x-2sin x+1,‎ 令t=sin x,‎ 则t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,‎ 所以ymin=-2.‎ ‎6.设函数f(x)=3sin,若存在这样的实数x1,x2,对任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为________.‎ 答案 2‎ 解析 |x1-x2|的最小值为函数f(x)的半个周期,‎ 又T=4,∴|x1-x2|的最小值为2.‎ ‎7.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则f(x)图象的对称中心是_______.‎ 答案 (k∈Z)‎ 解析 函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则f(0)=2sin φ=,‎ ‎∴sin φ=,又|φ|<,∴φ=,‎ 则f(x)=2sin,令2x+=kπ(k∈Z),‎ 则x=-(k∈Z),‎ ‎∴函数f(x)图象的对称中心是(k∈Z).‎ ‎8.已知函数f(x)=2sin+1(x∈R)图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为________.‎ 答案  解析 由函数f(x)=2sin+1(x∈R)图象的一条对称轴为x=π,‎ 可得ωπ-=kπ+,k∈Z,‎ ‎∴ω=k+,又ω∈(1,2),∴ω=,‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为=.‎ ‎9.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对任意x∈R恒成立,且f >0,则f(x)的单调递减区间是________________.‎ 答案 (k∈Z)‎ 解析 由题意可得函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,故有2×+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ,k∈Z.‎ 又f =sin>0,所以φ=2nπ,n∈Z,所以f(x)=sin(2x+2nπ)=sin 2x.‎ 令2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,求得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,‎ 故函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.‎ ‎10.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是________.(填序号)‎ ‎①f(x)的周期是;‎ ‎②f(x)的值域是{y|y∈R,且y≠0};‎ ‎③直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴;‎ ‎④f(x)的单调递减区间是,k∈Z.‎ 答案 ④‎ 解析 函数f(x)的周期为2π,①错;f(x)的值域为[0,+∞),②错;当x=时,x-=≠,k∈Z,∴x=不是f(x)的对称轴,③错;令kπ-0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性.‎ 解 (1)∵f(x)=sin ωx-cos ωx=sin(ω>0),且T=π,‎ ‎∴ω=2,f(x)=sin.‎ 令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),‎ 即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).‎ ‎(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ 因为x∈,所以令k=0,得函数f(x)在上的单调递增区间为;‎ 令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z),‎ 令k=0,得f(x)在上的单调递减区间为.‎ ‎13.定义运算:a*b=例如1*2=1,则函数f(x)=sin x*cos x的值域为 .‎ 答案  解析 根据三角函数的周期性,我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可,‎ 设x∈[0,2π],当≤x≤时,sin x≥cos x,此时f(x)=cos x,f(x)∈,‎ 当0≤x<或sin x,此时f(x)=sin x,f(x)∈∪[-1,0].‎ 综上知f(x)的值域为.‎ ‎14.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+1,其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为,若f(x)>1对任意x∈恒成立,则φ的取值范围是________.‎ 答案  解析 由题意可得函数f(x)=2cos(ωx+φ)+1的最大值为3.∵f(x)的图象与直线y=3相邻两个交点的距离为,‎ ‎∴f(x)的周期T=,∴=,解得ω=3,∴f(x)=2cos(3x+φ)+1.‎ ‎∵f(x)>1对任意x∈恒成立,‎ ‎∴2cos(3x+φ)+1>1,即cos(3x+φ)>0对任意x∈恒成立,‎ ‎∴-+φ≥2kπ-且+φ≤2kπ+,k∈Z,解得φ≥2kπ-且φ≤2kπ,k∈Z,‎ 即2kπ-≤φ≤2kπ,k∈Z.‎ 结合|φ|<,可得当k=0时,φ的取值范围为.‎ ‎15.已知函数f(x)=cos(2x+θ)在上单调递增,若f ≤m恒成立,则实数m的取值范围为________.‎ 答案 [0,+∞)‎ 解析 f(x)=cos(2x+θ),‎ 当x∈时,-+θ≤2x+θ≤-+θ,‎ 由函数f(x)在上是增函数得 k∈Z,‎ 则2kπ-≤θ≤2kπ+(k∈Z).‎ 又0≤θ≤,‎ ‎∴0≤θ≤,‎ ‎∵f =cos,又≤θ+≤,‎ ‎∴f max=0,‎ ‎∴m≥0.‎ ‎16.设函数f(x)=2sin+m的图象关于直线x=π对称,其中0<ω<.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若函数y=f(x)的图象过点(π,0),求函数f(x)在上的值域.‎ 解 (1)由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,‎ 可得sin=±1,‎ ‎∴2ωπ-=kπ+(k∈Z),‎ 即ω=+(k∈Z).‎ 又0<ω<,‎ ‎∴ω=,‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为3π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=2sin+m,‎ ‎∵f(π)=0,‎ ‎∴2sin+m=0,‎ ‎∴m=-2,‎ ‎∴f(x)=2sin-2,‎ 当0≤x≤时,-≤x-≤,‎ ‎-≤sin≤1.‎ ‎∴-3≤f(x)≤0,‎ 故函数f(x)在上的值域为[-3,0].‎