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  • 2021-06-15 发布

高中数学第三章不等式3-4基本不等式:ab≤a+b2课时作业含解析新人教A版必修5

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课时作业24 基本不等式:≤ 时间:45分钟 ‎——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1.下列不等式中正确的是( D )‎ A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 解析:a<0,则a+≥4不成立,故A错;a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错;a=4,b=16,则<,故C错;由基本不等式可知D项正确.‎ ‎2.若lgx+lgy=2,则+的最小值为( D )‎ A.10 B. C.5 D. 解析:∵lgx+lgy=2,∴xy=100.且x>0,y>0.‎ +≥2=.‎ ‎3.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( C )‎ A.最大值为0 B.最小值为0‎ C.最大值为-4 D.最小值为-4‎ 解析:∵x<0,∴-x>0.∴x+-2=-[(-x)+]-2≤-2·-2=-4,等号成立的条件是-x=,即x=-1.‎ ‎4.已知m=a+(a>2),n=22-b2(b≠0),则m、n的大小关系是( A )‎ A.m>n B.m2,∴a-2>0,‎ 又∵m=a+ 6‎ ‎=(a-2)++2≥2+2=4,‎ 当且仅当a-2=,即a=3时取等号.‎ ‎∴m≥4.∵b≠0,∴b2>0,‎ ‎∵2-b2<2,∴22-b2<4,即n<4,∴m>n.‎ ‎5.某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站‎10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站( A )‎ A.‎5 km处 B.‎4 km处 C.‎3 km处 D.‎2 km处 解析:设仓库建在离车站x km处,则土地费用y1=(k1≠0),运输费用y2=k2x(k2≠0),把x=10,y1=2代入得k1=20,把x=10,y2=8代入得k2=,故总费用y=+x≥2=8,当且仅当=x,即x=5时等号成立.‎ ‎6.已知x>1,y>1且xy=16,则log2x·log2y( D )‎ A.有最大值2 B.等于4‎ C.有最小值3 D.有最大值4‎ 解析:因为x>1,y>1,‎ 所以log2x>0,log2y>0.‎ 所以log2x·log2y≤2=2=4,‎ 当且仅当x=y=4时取等号.‎ 故选D.‎ 二、填空题 ‎7.已知x、y都是正数,‎ ‎(1)如果xy=15,则x+y的最小值是2;‎ ‎(2)如果x+y=15,则xy的最大值是.‎ 解析:(1)x+y≥2=2,即x+y的最小值是2;当且仅当x=y=时取最小值.‎ ‎(2)xy≤2=2=,‎ 即xy的最大值是.‎ 当且仅当x=y=时xy取最大值.‎ ‎8.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.‎ 6‎ 解析:因为x>0,所以x+≥2.‎ 当且仅当x=1时取等号,所以有 =≤= 即的最大值为,故a≥.‎ ‎9.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④+≥2,对满足条件的a,b恒成立的是①③④.(填序号)‎ 解析:因为ab≤2=1,所以①正确;因为(+)2=a+b+2=2+2≤2+a+b=4,故②不正确;a2+b2≥=2,所以③正确;+==≥2,所以④正确.‎ 三、解答题 ‎10.(1)已知00.‎ y=·2x·(1-2x)≤2‎ ‎=×=.‎ ‎∴当且仅当2x=1-2x,即x=时,y最大值=.‎ ‎(2)∵x<3,∴x-3<0,‎ ‎∴f(x)=+x=+(x-3)+3‎ ‎=-+3‎ ‎≤-2+3=-1,‎ 当且仅当=3-x,即x=1时取等号,‎ ‎∴f(x)的最大值为-1.‎ ‎(3)法一:∵x,y∈R+,∴(x+y) ‎=4+≥4+2.‎ 6‎ 当且仅当=,即x=2(-1),‎ y=2(3-)时取“=”号.‎ 又x+y=4,∴+≥1+,‎ 故+的最小值为1+.‎ 法二:∵x,y∈R+,且x+y=4,‎ ‎∴+=+ ‎=1+≥1+2 ‎=1+.‎ 当且仅当=,‎ 即x=2(-1),y=2(3-)时取“=”号.‎ ‎∴+的最小值为1+.‎ ‎11.设a,b,c∈R+.求证:‎ ‎(1)ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc;‎ ‎(2)(a+b+c)≥4.‎ 证明:(1)∵a,b,c∈R+,‎ ‎∴左边=a2b+ab2+b‎2c+bc2+c‎2a+ca2‎ ‎=(a2b+bc2)+(b‎2c+ca2)+(c‎2a+ab2)‎ ‎≥2+2+2 ‎=6abc=右边,‎ 当且仅当a=b=c时,等号成立.‎ ‎(2)∵a,b,c∈R+,‎ ‎∴左边=[a+(b+c)] ‎≥2·2=4=右边,‎ 当且仅当a=b+c时,等号成立.‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12.若f(x)=x,a,b均为正数,P=f,G=f(),H=f,则( A )‎ A.P≤G≤H B.P≤H≤G 6‎ C.G≤H≤P D.H≤G≤P 解析:因为a,b均为正数,所以≥=≥=,当且仅当a=b时等号成立.‎ 又因为f(x)=x为减函数,‎ 所以f≤f()≤f,所以P≤G≤H.‎ ‎13.已知a>0,b>0,+=,若不等式‎2a+b≥‎9m恒成立,则m的最大值为( C )‎ A.8 B.7‎ C.6 D.5‎ 解析:由已知,可得6=1,‎ 所以‎2a+b=6·(‎2a+b)=6≥6×(5+4)=54,当且仅当=时等号成立,‎ 所以‎9m≤54,即m≤6,故选C.‎ ‎14.设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为3.‎ 解析:令t=+,则t2=a+1+b+3+2=9+2≤9+a+1+b+3=13+a+b=13+5=18,‎ 当且仅当a+1=b+3时取等号,‎ 此时a=,b=.∴tmax==3.‎ ‎15.如图,如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地,一边靠墙,另外三边用铁丝网围住,现有‎44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余),若利用x米墙,‎ ‎(1)求x的取值范围;‎ ‎(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到‎0.1米).‎ 解:(1)由于矩形草地的面积是‎144平方米,一边长是x米,则另一边长为米,‎ 则矩形草地所需铁丝网长度为y=x+2×.‎ 令y=x+2×≤44(x>0),‎ 解得8≤x≤36,‎ 则x的取值范围是[8,36].‎ ‎(2)由基本不等式,得y=x+≥24.‎ 6‎ 当且仅当x=,即x≈17.0时,等号成立,‎ 则y最小值=24≈34.0,‎ 即最少需要‎34.0米铁丝网.‎ 6‎