高中数学第三章不等式3-4基本不等式：ab≤a＋b2课时作业含解析新人教A版必修5 6页

课时作业24　基本不等式：≤ 时间：45分钟 ‎——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1．下列不等式中正确的是(　D　)‎ A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．‎ ‎2．若lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为(　D　)‎ A．10 B. C．5 D. 解析：∵lgx＋lgy＝2，∴xy＝100.且x>0，y>0.‎ ＋≥2＝.‎ ‎3．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　C　)‎ A．最大值为0 B．最小值为0‎ C．最大值为－4 D．最小值为－4‎ 解析：∵x<0，∴－x>0.∴x＋－2＝－[(－x)＋]－2≤－2·－2＝－4，等号成立的条件是－x＝，即x＝－1.‎ ‎4．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m、n的大小关系是(　A　)‎ A．m>n B．m2，∴a－2>0，‎ 又∵m＝a＋ 6‎ ‎＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，‎ 当且仅当a－2＝，即a＝3时取等号．‎ ‎∴m≥4.∵b≠0，∴b2>0，‎ ‎∵2－b2<2，∴22－b2<4，即n<4，∴m>n.‎ ‎5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站‎10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　A　)‎ A．‎5 km处 B．‎4 km处 C．‎3 km处 D．‎2 km处 解析：设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．‎ ‎6．已知x>1，y>1且xy＝16，则log2x·log2y(　D　)‎ A．有最大值2 B．等于4‎ C．有最小值3 D．有最大值4‎ 解析：因为x>1，y>1，‎ 所以log2x>0，log2y>0.‎ 所以log2x·log2y≤2＝2＝4，‎ 当且仅当x＝y＝4时取等号．‎ 故选D.‎ 二、填空题 ‎7．已知x、y都是正数，‎ ‎(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是2；‎ ‎(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是.‎ 解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．‎ ‎(2)xy≤2＝2＝，‎ 即xy的最大值是.‎ 当且仅当x＝y＝时xy取最大值．‎ ‎8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是.‎ 6‎ 解析：因为x>0，所以x＋≥2.‎ 当且仅当x＝1时取等号，所以有 ＝≤＝ 即的最大值为，故a≥.‎ ‎9．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是①③④.(填序号)‎ 解析：因为ab≤2＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确．‎ 三、解答题 ‎10．(1)已知00.‎ y＝·2x·(1－2x)≤2‎ ‎＝×＝.‎ ‎∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，y最大值＝.‎ ‎(2)∵x<3，∴x－3<0，‎ ‎∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3‎ ‎＝－＋3‎ ‎≤－2＋3＝－1，‎ 当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，‎ ‎∴f(x)的最大值为－1.‎ ‎(3)法一：∵x，y∈R＋，∴(x＋y) ‎＝4＋≥4＋2.‎ 6‎ 当且仅当＝，即x＝2(－1)，‎ y＝2(3－)时取“＝”号．‎ 又x＋y＝4，∴＋≥1＋，‎ 故＋的最小值为1＋.‎ 法二：∵x，y∈R＋，且x＋y＝4，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝1＋≥1＋2 ‎＝1＋.‎ 当且仅当＝，‎ 即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．‎ ‎∴＋的最小值为1＋.‎ ‎11．设a，b，c∈R＋.求证：‎ ‎(1)ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc；‎ ‎(2)(a＋b＋c)≥4.‎ 证明：(1)∵a，b，c∈R＋，‎ ‎∴左边＝a2b＋ab2＋b‎2c＋bc2＋c‎2a＋ca2‎ ‎＝(a2b＋bc2)＋(b‎2c＋ca2)＋(c‎2a＋ab2)‎ ‎≥2＋2＋2 ‎＝6abc＝右边，‎ 当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ ‎(2)∵a，b，c∈R＋，‎ ‎∴左边＝[a＋(b＋c)] ‎≥2·2＝4＝右边，‎ 当且仅当a＝b＋c时，等号成立．‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12．若f(x)＝x，a，b均为正数，P＝f，G＝f()，H＝f，则(　A　)‎ A．P≤G≤H B．P≤H≤G 6‎ C．G≤H≤P D．H≤G≤P 解析：因为a，b均为正数，所以≥＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立．‎ 又因为f(x)＝x为减函数，‎ 所以f≤f()≤f，所以P≤G≤H.‎ ‎13．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式‎2a＋b≥‎9m恒成立，则m的最大值为(　C　)‎ A．8 B．7‎ C．6 D．5‎ 解析：由已知，可得6＝1，‎ 所以‎2a＋b＝6·(‎2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，‎ 所以‎9m≤54，即m≤6，故选C.‎ ‎14．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为3.‎ 解析：令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，‎ 当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，‎ 此时a＝，b＝.∴tmax＝＝3.‎ ‎15．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有‎44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，‎ ‎(1)求x的取值范围；‎ ‎(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到‎0.1米)．‎ 解：(1)由于矩形草地的面积是‎144平方米，一边长是x米，则另一边长为米，‎ 则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×.‎ 令y＝x＋2×≤44(x>0)，‎ 解得8≤x≤36，‎ 则x的取值范围是[8,36]．‎ ‎(2)由基本不等式，得y＝x＋≥24.‎ 6‎ 当且仅当x＝，即x≈17.0时，等号成立，‎ 则y最小值＝24≈34.0，‎ 即最少需要‎34.0米铁丝网．‎ 6‎