【数学】2020届一轮复习北师大版命题及其关系、充分条件与必要条件学案 12页

‎§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解命题的概念．‎ ‎2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．‎ ‎3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.‎ 命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.‎ ‎1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 概念方法微思考 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．‎ 提示　若AB，则p是q的充分不必要条件；‎ 若A⊇B，则p是q的必要条件；‎ 若AB，则p是q的必要不充分条件；‎ 若A＝B，则p是q的充要条件；‎ 若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“对顶角相等”是命题．(　√　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　×　)‎ ‎(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)‎ ‎(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P8T3]下列命题是真命题的是(　　)‎ A．矩形的对角线相等 B．若a>b，c>d，则ac>bd C．若整数a是素数，则a是奇数 D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题 答案　A ‎3．[P5引例]命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________．‎ 答案　两直线不平行，同位角不相等 ‎4．[P12T3]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案　充分不必要 题组三　易错自纠 ‎5．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　x>y⇏x>|y|(如x＝1，y＝－2)，‎ 但当x>|y|时，能有x>y.‎ ‎∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．‎ ‎6．已知p：x>a是q：2a}，∴a≤2.‎ 题型一　命题及其关系 ‎1．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)‎ A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有 C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福 答案　D ‎2．已知下列三个命题：‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；‎ ‎②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；‎ ‎③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．‎ 其中真命题的序号是________．‎ 答案　①③‎ ‎3．有下列四个命题：‎ ‎①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“面积相等的三角形全等”的否命题；‎ ‎③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；‎ ‎④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．‎ 其中真命题为________．(填写所有真命题的序号)‎ 答案　①②③‎ 解析　①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．‎ ‎4．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是_________．‎ 答案　若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：‎ ‎①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．‎ ‎(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．‎ ‎(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．‎ 题型二　充分、必要条件的判定 例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　D 解析　取α＝，β＝，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．‎ ‎∴充分性不成立；‎ 取α＝，β＝，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．‎ 故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．‎ ‎(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由5x－6>x2，得20，所以p对应的集合为(0，＋∞)，由log2x<0知00)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．‎ 答案　(0,2]‎ 解析　由|2x＋1|0)，得－m<2x＋10，得x<或x>1.‎ ‎∵p是q的充分不必要条件，又m>0，‎ ‎∴≤，∴0a＋1或x1，∴命题p为假命题，‎ ‎∴A不正确；‎ 命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，‎ ‎∴B正确；‎ 命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴C不正确；‎ 命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴D不正确．‎ 故选B.‎ ‎2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)‎ A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．否定 答案　B 解析　命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．‎ ‎3．(2018·天津)设x∈R，则“<”是“x3<1”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由<，得00，则x>0且y>0”的否命题；‎ ‎②“矩形的对角线相等”的否命题；‎ ‎③“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；‎ ‎④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①②③ B．②③④‎ C．①③④ D．①④‎ 答案　C 解析　①的逆命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；‎ ‎②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；‎ ‎③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m>1”．‎ 因为当m＝0时，解集不是R，‎ 所以应有即m>1.所以③是真命题；‎ ‎④原命题为真，逆否命题也为真．‎ ‎6．若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　设f(x)＝x＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ ‎∵a>b，∴f(a)>f(b)，‎ ‎∴a＋ln a>b＋ln b，故充分性成立；‎ ‎∵a＋ln a>b＋ln b，‎ ‎∴f(a)>f(b)，∴a>b，故必要性成立，‎ 故“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的充要条件，故选C.‎ ‎7．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　方法一　∵数列{an}是公差为d的等差数列，‎ ‎∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，‎ ‎∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.‎ 若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，‎ 即S4＋S6>2S5.‎ 若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，‎ 即21d>20d，‎ ‎∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．‎ 故选C.‎ 方法二　∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0.‎ ‎∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．‎ 故选C.‎ ‎8．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]‎ 答案　B 解析　由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.‎ ‎9．有下列几个命题：‎ ‎①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2sin B”是“△ABC为钝角三角形”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案　充要 解析　因为cos A>sin B，所以cos A>cos，‎ 因为角A，B均为锐角，所以－B为锐角，‎ 又因为余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，‎ 所以A<－B，所以A＋B<，‎ 在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C>，‎ 所以△ABC为钝角三角形；‎ 若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，‎ 则C>，所以A＋B<，‎ 所以A<－B，所以cos A>cos，‎ 即cos A>sin B.‎ 故“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．‎ ‎12．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.‎ ‎13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<”是“sin(α＋β)<”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案　充分不必要 解析　因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．‎ 答案　 解析　由2－m>m－1>0，解得1