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- 2021-06-15 发布
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2019届一轮复习苏教版 恒等变换 伸压变换 反射变换 学案
1.掌握恒等、伸压、反射变换的特点,熟知常用的恒等、伸压、反射变换矩阵的特点.
2.了解恒等、伸压、反射变换的矩阵表示及其几何意义.
3.能用矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点).
[基础·初探]
1.恒等变换
对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换,都能把自身变成自身.因此,我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵,所实施的对应变换称为恒等变换.我们把矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵,可记为E.
2.伸压变换
矩阵M1=把平面上每一个点P都沿y轴方向垂直压缩为原来的一半,只有x轴上的点没变;
矩阵M2=把平面上每一个点P都沿x轴方向伸长为原来的2倍,只有y轴上的点没变.
像矩阵,这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称为沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵,对应变换为垂直伸压变换,简称伸压变换.
3.反射变换
(1)反射变换的概念
像,,这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点
对称的平面图形F′的变换矩阵,我们称之为反射变换矩阵,对应的变换叫做反射变换.关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射,其中定直线称为反射轴,定点称做反射点.
(2)反射变换的分类
与矩阵M1=对应的变换是关于x轴的轴反射变换.
与矩阵M2=对应的变换是关于y轴的轴反射变换.
与矩阵M3=对应的变换是关于原点的中心反射变换.
与矩阵M4=对应的变换是关于直线y=x的轴反射变换.
4.线性变换
一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线,这种把直线变为直线的变换,通常叫做线性变换.
[思考·探究]
1.设单位向量i=(0,1),j=(1,0),以i,j为邻边的正方形称为单位正方形,则单位矩阵对单位正方形作用后得到一个什么样的图形?
【提示】 由于Ei==,
Ej==.所以单位矩阵对单位正方形作用后的图形仍为单位正方形.
2.如何理解伸压变换?
【提示】 伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换,我们不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压,或者向上拉伸.以矩阵为例,它所对应的变换是将坐标平面上的点的横坐标保持不变,x轴上方的点垂直向x轴压缩,纵坐标压缩为原来的一半,而x轴下方的点也垂直向x轴压缩,纵坐标压缩为原来的一半,又因为x轴上的点的纵坐标都为0,所以“原地不动”.
类似地,对应的变换则是将平面上点的纵坐标保持不变,将y轴左边的点的横坐标向左拉伸为原来的2倍,y轴右边的横坐标向右拉伸为原来的2倍,而
y轴上的点的横坐标都为0,所以“原地不动”.
3.反射变换的作用是什么?
【提示】 根据反射变换的定义知,其作用就是把一个点(向量)或平面图形变为它的轴对称或中心对称图形.
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
解惑:
疑问3:
解惑:
伸压变换的应用
求直线y=4x在矩阵对应的变换作用下所得的图形.
【导学号:30650011】
【精彩点拨】 矩阵对应的是沿y轴方向的伸压变换,它使得平面上的点变换前后横坐标保持不变,而纵坐标变为原来的一半,从而可用求轨迹方程的代入法(相关点法)求其轨迹.
【自主解答】 任意选取直线y=4x上的一点P(x0,y0),它在矩阵对应的变换作用下变为P′(x0′,y0′),则有==.
则有:故
又因为点P在直线y=4x上,
所以y0=4x0,即有2y0′=4x0′.
因此y0′=2x0′,从而直线y=4x在矩阵作用下变成直线y=2x.
利用伸压变换解决问题的类型及方法:
(1)已知曲线C与变换矩阵,求曲线C在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C′的表达式,常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法)求解.
(2)已知曲线C′是曲线C在伸压变换作用下得到的,求与伸压变换对应的变换矩阵,常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵,构建方程(组)求解.
(1)若将本例变为:一直线l在矩阵对应的变换作用下变成直线y=2x,求该直线的方程.
(2)若本例变为:直线y=4x在二阶矩阵M对应的沿y轴方向伸压变换作用下变成了另一条直线y=2x,试求矩阵M.
【解】 (1)任意选取直线l上的一点P(x0,y0),它在矩阵对应的变换作用下变为P(x0′,y0′),则有
==则有.
又因为点P′(x0′,y0′)在直线y=2x上,
所以y0′=2x0′,即有y0=2x0,
因此y0=4x0,从而求得该直线为y=4x.
(2)设P(x0,y0)为直线y=4x上的任意一点,P′(x0′,y0′)是P(x0,y0)在矩阵M对应的伸压变换作用下得到的点,则此点在直线y=2x上.设伸压变换矩阵为(k≠0),
则有==,
即所以将其代入y=4x中,得4x0′=y0′,即y0′=4kx0′.又y0′=2x0′,∴4k=2,得k=,所以所求矩阵为.
反射变换的应用
求直线y=6x在矩阵对应的变换作用下所得的图形的表达式.
【精彩点拨】 先求出y=6x上任意一点P(x0,y0)在矩阵对应的变换作用下得到点P′(x0′,y0′)的坐标,再用代入法求解.
【自主解答】 任意选取直线y=6x上的一点P(x0,y0),设它在矩阵对应的变换作用下得到的点为P′(x′0,y′0),
则有=,所以
又因为点P(x0,y0)在直线y=6x上,所以y0=6x0,则有x′0=6y′0.
所以y′0=,
从而可知直线y=6x在矩阵对应的变换作用下变成直线y=.
求曲线C(或点)在反射变换下得到的曲线C′的表达式(或点的坐标)同伸压变换,使用代入法(相关点法).
在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx在矩阵
对应的变换下得到的直线过点P(4,1),求实数k的值.
【导学号:30650012】
【解】 设变换T:→,则
==,即
代入直线y=kx,得x′=ky′.将点P(4,1)代入上式,得k=4.
[真题链接赏析]
(教材第16页例2)验证圆C:x2+y2=1在矩阵A=对应的伸压变换下变为一个椭圆,并求此椭圆的方程.
已知圆C:x2+y2=1在矩阵A=(a>0,b>0)对应的伸压变换下变为椭圆x2+=1,试求a,b的值.
【命题意图】 本题主要考查求伸压变换T作用下得到的曲线的方程,同时考查了函数方程思想、转化与化归思想.
【解】 设P(x0,y0)为圆C上的任意一点,在伸压变换下变为另一个点P′(x′0,y′0),
则=,
所以即
又点P(x0,y0)在圆C:x2+y2=1上,
所以x+y=1,
所以+=1,即+=1.
由已知条件可知,椭圆方程为x2+=1.
所以a2=1,b2=4.因为a>0,b>0,所以a=1,b=2.
1.恒等变换将直线x+2y-1=0变换为________.
【解析】 恒等变换保持原图形不变.
【答案】 x+2y-1=0
2.如图221,把△ABC变成△A′B′C′的变换矩阵可能是________.(其中A(0,-1),B(1,0),C(0,1),A′(0,-1),B′(2,0),C′(0,1))
图221
【解析】 注意到变换后三角形上的每个点的横坐标变为原来的2倍,而纵坐标保持不变,它可能对应的是沿x轴方向的伸压变换,对应的变换矩阵为M=.
【答案】
3.函数y=x2在矩阵M=变换作用下的结果为________.
【导学号:30650013】
【解析】 ==⇒代入y=x2,得:y′=x′2.把x′,y′换为x,y,即得y=x2.
【答案】 y=x2
4.已知双曲线-=1,矩阵对应的反射变换把双曲线变成的曲线是________.
【解析】 设双曲线上任意一点P(x,y)在反射变换下对应点P′(x′,y′),
则==,
∴∴
代入双曲线方程,得-=1,
∴双曲线-=1在矩阵对应的反射变换下所得图形仍是它本身.
【答案】 -=1
我还有这些不足:
(1)
(2)
我的课下提升方案:
(1)
(2)