2013年高考数学（理科）真题分类汇编L单元 算法初步与复数 14页

L 单元　算法初步与复数 L1　算法与程序框图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图 1－1 5．L1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图 1－1 所示的程序框图，如果输入的 t∈[－1，3]， 则输出的 s 属于(　　) A．[－3，4] B．[－5，2] C．[－4，3] D．[－2，5] 5．A　[解析] 由框图可知，当 t∈[－1，1)时，s＝3t，故此时 s∈[－3，3)；当 t∈[1，3] 时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，故此时 s∈[3，4]，综上，s∈[－3，4]． 5．L1、L2[2013·安徽卷] 某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询 问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86，94， 88，92，90，五名女生的成绩分别为 88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　) A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 5．C　[解析] 分层抽样是按照比例的抽样，由于男女生人数不同，抽取的人数相同；系 统抽样是按照一定规则的分段抽样，故题中抽样方法即不是分层抽样也不是系统抽样．又五 名男生的成绩的平均数为 90，方差为 8，五名女生成绩的平均数是 91，方差为 6，但该班所 有男生成绩的平均数未必小于该班所有女生成绩的平均数．故选项 C 中的结论正确，选项 D 中的结论不正确． 2．L1[2013·安徽卷] 如图 1－1 所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　) 图 1－1 A.1 6 B.25 24 C.3 4 D.11 12 2．D　[解析] 依次运算的结果是 s＝1 2，n＝4；s＝1 2＋1 4，n＝6；s＝1 2＋1 4＋1 6，n＝8，此 时输出 s，故输出结果是1 2＋1 4＋1 6＝11 12. 4．L1[2013·北京卷] 执行如图 1－1 所示的程序框图，输出的 S 的值为(　　) 图 1－1 A．1 B.2 3 C.13 21 D.610 987 4．C　[解析] 执行第一次循环时 S＝ 12＋1 2 × 1＋1＝2 3，i＝1；第二次循环 S＝ 2 3 2＋1 2 × 2 3＋1 ＝ 13 21，i＝2，此时退出循环，故选 C. 6．L1[2013·福建卷] 阅读如图 1－2 所示的程序框图，若输入的 k＝10，则该算法的功能 是(　　) 图 1－2 A．计算数列{2n－1}的前 10 项和 B．计算数列{2n－1}的前 9 项和 C．计算数列{2n－1}的前 10 项和 D．计算数列{2n－1}的前 9 项和 6．A　[解析] S＝0，i＝1→S＝1，i＝2→S＝1＋2，i＝3→S＝1＋2＋22，i＝4→…→S＝1 ＋2＋22＋…＋29，i＝11>10，故选 A. 17．L1[2013·广东卷] 某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的 茎叶图如图 1－4 所示，其中茎为十位数，叶为个位数． (1)根据茎叶图计算样本均值： (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间 12 名工人 中有几名优秀工人？ (3)从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率． 　　 1 7 9 2 0 1 5 3 0 图 1－4 17．解： 18．L1[2013·广东卷] 如图 1－5(1)，在等腰直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，BC＝6， D，E 分别是 AC，AB 上的点，CD＝BE＝ 2，O 为 BC 的中点，将△ADE 沿 DE 折起，得 到如图 1－5(2)所示的四棱锥 A′－BCDE，其中 A′O＝ 3. (1)证明：A′O⊥平面 BCDE； (2)求二面角 A′－CD－B 的平面角的余弦值． 图 1－5 18．解： 19．L1[2013·广东卷] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，2Sn n ＝an＋1－1 3n2－n－2 3， n∈N*. (1)求 a2 的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数 n，有 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 an <7 4. 19．解： 20．L1[2013·广东卷] 已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F(0，c)(c>0)到直线 l：x－y－ 2＝0 的距离为3 2 2 ，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A， B 为切点． (1)求抛物线 C 的方程； (2)当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3)当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 20．解： 21．L1[2013·广东卷] 设函数 f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)． (1)当 k＝1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 k∈(1 2，1 ]时，求函数 f(x)在[0，k]上的最大值 M. 21．解： 16．L1[2013·广东卷] 已知函数 f(x)＝ 2cos(x－ π 12)，x∈R. (1)求 f (－π 6 )的值； (2)若 cosθ＝3 5，θ∈(3π 2 ，2π)，求 f(2θ＋π 3). 16．解： 11．L1[2013·广东卷] 执行如图 1－2 所示的程序框图，若输入 n 的值为 4，则输出 s 的 值为________． 图 1－2 11．7　[解析] 1≤4，s＝1＋0＝1，i＝2；2≤4，s＝1＋1＝2，i＝3；3≤4，s＝2＋2＝4， i＝4；4≤4，s＝4＋3＝7，i＝5；5>4，故输出 s＝7. 12．L1[2013·湖北卷] 阅读如图 1－4 所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 i＝ ________. 图 1－4 12．5　[解析] 逐次运算结果是 a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5，满 足条件，输出 i＝5. 13．L1[2013·湖南卷] 执行如图 1－3 所示的程序框图，如果输入 a＝1，b＝2，则输出的 a 的值为________． 图 1－3 13．9　[解析] 根据程序框图所给流程依次可得，a＝1，b＝2，①a＝3，②a＝5，③a＝ 7，④a＝9，满足条件输出 a＝9. 5．L1[2013·江苏卷] 如图 1－1 是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是________． 图 1－1 5．3　[解析] 逐一代入可得 n 1 2 3 a 2 8 26 a<20 Y Y N 当 a＝26>20 时，n＝3，故最后输出 3. 7．L1[2013·江西卷] 阅读如图 1－1 所示的程序框图，如果输出 i＝5，那么在空白矩形 框中应填入的语句为(　　) 图 1－1 A．S＝2*i－2 B．S＝2*i－1 C．S＝2*i D．S＝2*i＋4 7．C　[解析] 依次检验可知选 C. 13．L1[2013·山东卷] 图 1－3 执 行 如 图 1 － 3 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 ε 的 值 为 0.25 ， 则 输 出 的 n 的 值 为 ________． 13．3　[解析] 第一次执行循环体时，F1＝3，F0＝2，n＝1＋1＝2， 1 F1 ＝1 3>0.25；第二次 执行循环体时，F1＝2＋3＝5，F0＝3，n＝2＋1＝3， 1 F1 ＝1 5<0.25，满足条件，输出 n＝3. 18．L1，K6[2013·四川卷] 某算法的程序框图如图 1－6 所示，其中输入的变量 x 在 1， 2，3，…，24 这 24 个整数中等可能随机产生． 图 1－6 (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i＝1，2，3)； (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 n 次后，统计记录 了输出 y 的值为 i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表(部分) 运行 次数 n 输出 y 的值 为 1 的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 输出 y 的值 为 3 的频数 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行 次数 n 输出 y 的值 为 1 的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 输出 y 的值 为 3 的频数 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 当 n＝2 100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i＝1， 2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； (3)按程序框图正确编写的程序运行 3 次，求输出 y 的值为 2 的次数 ξ 的分布列及数学期 望． 18．解：(1)变量 x 是在 1，2，3，…，24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种 可能． 当 x 从 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23 这 12 个数中产生时，输出 y 的值 为 1，故 P1＝1 2； 当 x 从 2，4，8，10，14，16，20，22 这 8 个数中产生时，输出 y 的值为 2，故 P2＝1 3； 当 x 从 6，12，18，24 这 4 个数中产生时，输出 y 的值为 3，故 P3＝1 6， 所以，输出 y 的值为 1 的概率为1 2，输出 y 的值为 2 的概率为1 3，输出 y 的值为 3 的概率 为1 6. (2)当 n＝2 100 时，甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i＝1，2，3)的频率如下： 输出 y 的值 为 1 的频率 输出 y 的值 为 2 的频率 输出 y 的值 为 3 的频率 甲 1 027 2 100 376 2 100 697 2 100 乙 1 051 2 100 696 2 100 353 2 100 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量 ξ 可能的取值为 0，1，2，3. P(ξ＝0)＝C03×(1 3 )0 ×(2 3 )3 ＝ 8 27， P(ξ＝1)＝C13×(1 3 )1 ×(2 3 )2 ＝4 9， P(ξ＝2)＝C23×(1 3 )2 ×(2 3 )1 ＝2 9， P(ξ＝3)＝C33×(1 3 )3 ×(2 3 )0 ＝ 1 27， 故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 8 27 4 9 2 9 1 27 所以，Eξ＝0× 8 27＋1×4 9＋2×2 9＋3× 1 27＝1. 即 ξ 的数学期望为 1. 3．L1[2013·天津卷] 阅读如图 1－1 所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值 为 1，则输出 S 的值为(　　) 图 1－1 A．64 B．73 C．512 D．585 3．B　[解析] 当 x＝1 时，S＝0＋1＝1；当 x＝2 时，S＝1＋23＝9；当 x＝4 时，S＝9＋ 43＝73 满足题意输出． 图 1－1 6．L1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 执行如图 1－1 所示的程序框图，如果输入的 N＝10，那 么输出的 S＝(　　) A．1＋1 2＋1 3＋…＋ 1 10 B．1＋ 1 2！＋ 1 3！＋…＋ 1 10！ C．1＋1 2＋1 3＋…＋ 1 11 D．1＋ 1 2！＋ 1 3！＋…＋ 1 11！ 6．B　[解析] k＝1，T＝1，S＝1；k＝2，T＝1 2，S＝1＋1 2；k＝3，T＝ 1 2 × 3，S＝1＋1 2＋ 1 2 × 3； k＝4，T＝ 1 2 × 3 × 4，S＝1＋ 1 2！＋ 1 3！＋ 1 4！，…，10>10 不成立，继续循环．答案为 B. 5．L1[2013·浙江卷] 某程序框图如图 1－1 所示，若该程序运行后输出的值是9 5，则(　　) 图 1－1 A．a＝4 B．a＝5 C．a＝6 D．a＝7 5．A　[解析] S＝1＋ 1 1 × 2＋ 1 2 × 3＋…＋ 1 k（k＋1）＝1＋1－1 2＋1 2－1 3＋…＋1 k－ 1 k＋1＝ 1＋1－ 1 k＋1＝2－ 1 k＋1＝9 5，故 k＝4，k＝k＋1＝5，满足 k>a 时，即 5>a 时，输出 S，所以 a＝ 4，选择 A. 8．L1，L2[2013·重庆卷] 执行如图 1－4 所示的程序框图，如果输出 s＝3，那么判断框 内应填入的条件是(　　) 图 1－4 A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9 8．B　[解析] 第一次输入得 s＝log23，k＝3；第二次得 s＝log23·log34＝2，k＝4；第三 次得 s＝2log45，k＝5；第四次得 s＝2log45·log56＝2 log46，k＝6；第五次得 s＝2log46·log67 ＝2log47，k＝7；第六次得 s＝2log47·log78＝2log48＝2log44 3 2 ＝3，k＝8，输出，故选 B. L2　基本算法语句　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．L1、L2[2013·安徽卷] 某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询 问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86，94， 88，92，90，五名女生的成绩分别为 88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　) A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 5．C　[解析] 分层抽样是按照比例的抽样，由于男女生人数不同，抽取的人数相同；系 统抽样是按照一定规则的分段抽样，故题中抽样方法即不是分层抽样也不是系统抽样．又五 名男生的成绩的平均数为 90，方差为 8，五名女生成绩的平均数是 91，方差为 6，但该班所 有男生成绩的平均数未必小于该班所有女生成绩的平均数．故选项 C 中的结论正确，选项 D 中的结论不正确． 2．L2[2013·陕西卷] 根据下列算法语句，当输入 x 为 60 时，输出 y 的值为(　　) 输入 x； If x≤50　Then y＝0.5*x Else y＝25＋0.6*(x－50) End If 输出 y. A．25 B．30 C．31 D．61 2．C　[解析] 算法语言给出的是分段函数 y＝{0.5x，x ≤ 50， 25＋0.6（x－50），x > 50，输入 x＝60 时，y＝25＋0.6(60－50)＝31. 8．L1，L2[2013·重庆卷] 执行如图 1－4 所示的程序框图，如果输出 s＝3，那么判断框 内应填入的条件是(　　) 图 1－4 A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9 8．B　[解析] 第一次输入得 s＝log23，k＝3；第二次得 s＝log23·log34＝2，k＝4；第三 次得 s＝2log45，k＝5；第四次得 s＝2log45·log56＝2 log46，k＝6；第五次得 s＝2log46·log67 ＝2log47，k＝7；第六次得 s＝2log47·log78＝2log48＝2log44 3 2 ＝3，k＝8，输出，故选 B. L3　算法案例　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 L4　复数的基本概念与运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．L4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为(　　) A．－4 B．－4 5 C．4 D.4 5 2．D　[解析] z＝|4＋3i| 3－4i ＝ 5 3－4i ＝5（3＋4i） 25 ＝3 5＋4 5i，故 z 的虚部是4 5. 1．L4[2013·安徽卷] 设 i 是虚数单位，z 是复数 z 的共轭复数，若 z·zi＋2＝2z，则 z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 1．A　[解析] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z＝a－bi，所以 z·zi＋2＝2z，即 2＋(a2＋b2)i＝ 2a＋2bi，根据复数相等的充要条件得 2＝2a，a2＋b2＝2b，解得 a＝1，b＝1，故 z＝1＋i. 2．L4[2013·北京卷] 在复平面内，复数(2－i)2 对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．D　[解析] (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的复平面内点的坐标为(3，－4)，所以选 D. 1．L4[2013·福建卷] 已知复数 z 的共轭复数 z＝1＋2i(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内对 应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．D　[解析] z＝1－2i，对应的点为 P(1，－2)，故选 D. 3．L4[2013·广东卷] 若复数 iz＝2＋4i，则在复平面内，z 对应的点的坐标是(　　) A．(2，4) B．(2，－4) C．(4，－2) D．(4，2) 3．C　[解析] 设复数 z＝a＋bi，a，b∈R，则 iz＝i(a＋bi)＝－b＋ai＝2＋4i，解得 b＝－ 2，a＝4.故在复平面内，z 对应的点的坐标是(4，－2)，选 C. 1．L4[2013·湖北卷] 在复平面内，复数 z＝ 2i 1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．D　[解析] z＝ 2i 1＋i ＝ 2i（1－i） （1＋i）（1－i）＝i(1－i)＝1＋i，z＝1－i，z 对应的点在第四象 限，选 D. 1．L4[2013·湖南卷] 复数 z＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．B　[解析] 由题 z＝i·(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，在复平面上对应的点坐标为(－1，1)， 即位于第二象限，选 B. 2．L4[2013·江苏卷] 设 z＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为________． 2．5　[解析] 因为 z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，所以复数 z 的模为 5. 1．A1，L4[2013·江西卷] 已知集合 M＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N ＝{4}，则复数 z＝(　　) A．－2i B．2i C．－4i D．4i 1．C　[解析] zi＝4z＝－4i，故选 C. 1．L4[2013·辽宁卷] 复数 z＝ 1 i－1 的模为(　　) A.1 2 B. 2 2 C. 2 D．2 1．B　[解析] 复数 z＝ 1 i－1 ＝－1＋i 2 ，所以|z|＝－1＋i 2 ＝ 2 2 ，故选 B. 2．L4[2013·全国卷] (1＋ 3i)3＝(　　) A．－8 B．8 C．－8i D．8i 2．A　[解析] (1＋ 3i)3＝13＋3×12( 3i)＋3×1×( 3i)2＋( 3i)3＝1＋3 3i－9－3 3i＝－8. 1．L4[2013·山东卷] 复数 z 满足(z－3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 为(　　) A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i 1．D　[解析] 设 z＝a＋bi，(a，b∈R)，由题意得(a＋bi－3)(2－i)＝(2a＋b－6)＋(2b－a＋ 3)i＝5，即{2a＋b－6＝5， 2b－a＋3＝0，解之得{a＝5， b＝1，∴z＝5－i. 6．L4[2013·陕西卷] 设 z1，z2 是复数，则下列命题中的假命题是(　　) A．若|z1－z2|＝0，则 z1＝z2 B．若 z1＝z2，则 z1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则 z1·z1＝z2·z2 D．若|z1|＝|z2|，则 z21＝z22 6．D　[解析] 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若|z1－z2|＝0，则 z1－z2＝(a－c) ＋(b－d)i＝0a＝c，b＝d，故 A 正确．若 z 1＝z2，则 a＝c，b＝－d，所以 z1＝z2，故 B 正 确．若|z1|＝|z2|，则 a2＋b2＝c2＋d2，所以 z1·z1＝z2·z2，故 C 正确．又 z21＝(a2－b2)＋2abi， z22＝(c2－d2)＋2cdi，由 a2＋b2＝c2＋d2 不能推出 z21＝z 22成立，故 D 错． 2．L4[2013·四川卷] 如图 1－1 所示，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图 1－1 中表示 z 的共轭复数的点是(　　) 图 1－1 A．A 　B．B 　C．C 　D．D 2．B　[解析] 复数与共轭复数的几何关系是其表示的点关于 x 轴对称． 9．L4[2013·天津卷] 已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(a＋i)(1＋i)＝bi，则 a＋bi＝ ________. 9．1＋2i　[解析] (a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi， ∴{a－1＝0， a＋1＝b，解得 a＝1，b＝2.故 a＋bi＝1＋2i. 2．L4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设复数 z 满足(1－i)z＝2i，则 z＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 2．A　[解析] (1－i)z＝2i，则 z＝ 2i 1－i ＝i(1＋i)＝－1＋i.故选 A. 1．L4[2013·浙江卷] 已知 i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i 1．B　[解析] (－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选择 B. 11．L4[2013·重庆卷] 已知复数 z＝ 5i 1＋2i (i 是虚数单位)，则|z|＝________． 11. 5　[解析] 因为 z＝ 5i（1－2i） （1＋2i）（1－2i）＝2＋i，所以|z|＝ 22＋12＝ 5. L5　单元综合