【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量基本定理及坐标表示学案文 13页

‎§5.2　平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解平面向量基本定理及其意义．‎ ‎2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以选择题、填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.‎ ‎1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.‎ 知识拓展 ‎1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.‎ ‎2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　)‎ ‎(2)若a，b不共线，且λ‎1a＋μ1b＝λ‎2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)‎ ‎(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．(　√　)‎ ‎(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)‎ ‎(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　√　)‎ ‎(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．‎ 答案　(1,5)‎ 解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，‎ 即解得 ‎3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.‎ 答案　－ 解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，‎ 得ma＋nb＝(‎2m－n,‎3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．‎ 由ma＋nb与a－2b共线，‎ 得＝，所以＝－.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.‎ 答案　0‎ ‎5．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.‎ 答案　(－7，－4)‎ 解析　根据题意得＝(3,1)，‎ ‎∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．‎ ‎6．(2016·全国Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ 答案　－6‎ 解析　因为a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.‎ 题型一　平面向量基本定理的应用 ‎1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)‎ B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)‎ C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)‎ 答案　B 解析　方法一　设a＝k1e1＋k2e2，‎ A选项，∵(3,2)＝(k2,2k2)，∴无解；‎ B选项，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)，‎ ‎∴解得 故B中的e1，e2可以把a表示出来；‎ 同理，C，D选项同A选项，无解．‎ 方法二　只需判断e1与e2是否共线即可，不共线的就符合要求．‎ ‎2．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝＋，则实数m的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．3‎ 答案　A 解析　因为＝＋＝m＋，设＝t，而＝＋＝＋t(＋)‎ ‎＝＋t＝＋t ‎＝(1－t)＋t＝＋t，‎ 所以即m＝.故选A.‎ 思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路 ‎(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．‎ ‎(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ 题型二　平面向量的坐标运算 典例 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋‎3c＝0，则c等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由已知‎3c＝－a＋2b ‎＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．‎ 所以c＝.‎ ‎(2)(2017·北京西城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则等于(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 答案　D 解析　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，‎ 则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，‎ ‎∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．‎ ‎∵c＝λa＋μb，‎ ‎∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，‎ 即 解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.‎ 引申探究　‎ 在本例(2)中，试用a，c表示b.‎ 解　建立本例(2)解答中的平面直角坐标系，‎ 则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，设b＝xa＋yc，‎ 则(6,2)＝x(－1,1)＋y(－1，－3)．‎ 即解得 故b＝－‎4a－‎2c.‎ 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．‎ 跟踪训练 (1)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)‎ A. B. C．(3,2) D．(1,3)‎ 答案　A 解析　设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，‎ 又＝2，∴∴故选A.‎ ‎(2)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　　)‎ A．(－2，－1) B．(－2,1)‎ C．(－1,0) D．(－1,2)‎ 答案　D 解析　a＝，b＝，‎ 故a－b＝(－1,2)．‎ 题型三　向量共线的坐标表示 命题点1　利用向量共线求向量或点的坐标 典例 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．‎ 答案　(3,3)‎ 解析　方法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．‎ 又＝－＝(－2,6)，‎ 由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，‎ 解得λ＝，‎ 所以＝＝(3,3)，‎ 所以点P的坐标为(3,3)．‎ 方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.‎ 又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，‎ 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，‎ 所以点P的坐标为(3,3)．‎ 命题点2　利用向量共线求参数 典例 (2017·郑州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________.‎ 答案　45°‎ 解析　由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，‎ ‎∴cos2θ＝，∴cos θ＝或cos θ＝－，‎ 又θ为锐角，∴θ＝45°.‎ 思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 ‎(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y‎1”‎解题比较方便．‎ ‎(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．‎ 跟踪训练 (1)(2018届沈阳东北育才学校一模)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(－3,1)且(‎2a＋b)∥b，则实数m的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　‎2a＋b＝(－1,‎2m＋1)，由(‎2a＋b)∥b，‎ 可知－3(‎2m＋1)＝－1，可得m＝－，故选B.‎ ‎(2)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．‎ 答案　－ 解析　＝(a－1,3)，＝(－3,4)，‎ 根据题意∥，‎ ‎∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即‎4a＝－5，∴a＝－.‎ 解析法(坐标法)在向量中的应用 典例 (12分)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．‎ 思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征．‎ 规范解答 解　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则A(1,0)，B.[4分]‎ 设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)，‎ 由＝x＋y，得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，[8分]‎ 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，[10分]‎ 又α∈，‎ 所以当α＝时，x＋y取得最大值2.[12分]‎ ‎1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)‎ A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2‎ 答案　D ‎2．(2018·郑州质检)设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则‎2a－3b等于(　　)‎ A．(6,3) B．(－2，－6) C．(2,1) D．(7,2)‎ 答案　B 解析　‎2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．‎ ‎3．(2018·黄山模拟)若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为(　　)‎ A. B．－ C．－2 D．2‎ 答案　A 解析　＝(5，－5)，＝，‎ ‎∵A，B，C三点共线，∴和共线，‎ ‎∴5(m－3)＝－，解得m＝，故选A.‎ ‎4．(2017·安徽马鞍山模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ 答案　B 解析　由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，‎ λc＝(λ，λm)，据此有 解得λ＝5，m＝1，∴λ＋m＝6.‎ ‎5．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，‎3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，2) B．(2，＋∞)‎ C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)‎ 答案　D 解析　由题意知向量a，b不共线，故‎2m≠‎3m－2，即m≠2.‎ ‎6．(2018·厦门调研)已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)‎ A．2 B. C．3 D．4‎ 答案　C 解析　∵·＝0，∴⊥，‎ 以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，‎ ＝(1,0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)．‎ ‎∵tan 30°＝＝，∴m＝3n，即＝3，故选C.‎ ‎7．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为__________．‎ 答案　(－3，－5)‎ 解析　∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，‎ ‎∴＝－＝－＝(－3，－5)．‎ ‎8．(2018·雅安模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.‎ 答案　1‎ 解析　∵a－2b＝(，3)，且a－2b∥c，‎ ‎∴×－3k＝0，解得k＝1.‎ ‎9．(2017·福建四地六校联考)已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O为坐标原点，且＝(＋－)，则||＝________.‎ 答案　2 解析　由＝(＋－)＝(＋)知，点D是线段AC的中点，故D(2,2)，所以＝(－2,2)，‎ 故||＝＝2.‎ ‎10．(2018·洛阳质检)在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝__________.(用e1，e2表示)‎ 答案　－e1＋e2‎ 解析　如图，＝－ ‎＝＋2＝＋ ‎＝－＋(－)‎ ‎＝－e2＋(e2－e1)‎ ‎＝－e1＋e2.‎ ‎11．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．‎ ‎(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；‎ ‎(2)若＝2，求点C的坐标．‎ 解　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，‎ ‎∵A，B，C三点共线，∴∥.‎ ‎∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.‎ ‎(2)∵＝2，‎ ‎∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．‎ ‎∴解得 ‎∴点C的坐标为(5，－3)．‎ ‎12．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b.‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ 解　(1)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．‎ ‎∴‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)＝(5，－5)，‎ ‎∴　解得 ‎(3)设O为坐标原点，∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝‎3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，‎ ‎∴M(0,20)．‎ 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．‎ ‎13．(2018·河南三市联考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是__________．‎ 答案　 解析　＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，‎ ‎∴与同方向的单位向量为＝.‎ ‎14．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R ‎)，则λ＋μ的最大值为______．‎ 答案　 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，B(，0)，C(，)，D(0，)．‎ ‎∵AP＝，∴x2＋y2＝.‎ 点P满足的约束条件为 ‎∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)，‎ ‎∴(x，y)＝λ(，0)＋μ(0，)，‎ ‎∴　∴x＋y＝λ＋μ.‎ ‎∵x＋y≤＝ ＝，‎ 当且仅当x＝y时取等号，‎ ‎∴λ＋μ的最大值为.‎ ‎15．(2018·河北石家庄一模)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．‎ 答案　(－1,0)‎ 解析　由题意得，＝k(k＜0)，‎ 又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0.‎ 又∵B，A，D三点共线，∴＝λ＋(1－λ)，‎ ‎∴m＋n＝kλ＋k(1－λ)，‎ ‎∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，‎ ‎∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．‎ ‎16．(2018·开封调研)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是________．‎ 答案　 解析　建立平面直角坐标系如图所示，则易知B(－，0)，C(，0)，A(0,3)．‎ 设M(x，y)，P(a，b)，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴　‎ 解得 即P(2x－，2y)，又∵||＝1.‎ ‎∴P点在圆①x2＋(y－3)2＝1上，‎ 即(2x－)2＋(2y－3)2＝1，‎ 整理得2＋2＝(记为圆②)，‎ 即M点在该圆上，‎ 求||的最大值转化为B点到该圆②上的一点的最大距离，即B到圆心的距离再加上该圆的半径：‎ ‎||2＝ 2＝.‎