北京北师特学校2013年高考考前演练文科数学试卷 15页

北师特学校2013年高考模拟演练 数学（文史类）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。考试时间120分钟。‎ 第I卷（选择题 共40分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答第I卷前，考生务必将第Ⅱ卷上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写清楚； ‎ ‎ 2．每小题选出答案后，将答案填在第Ⅱ卷答题卡对应的表格里。‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。‎ ‎1．如果复数的实部与虚部互为相反数，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 命题“”的否定是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．“”是“”的（ ）‎ A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4. 在等差数列中，已知，那么等于（ ）‎ A．3 B．‎4 ‎‎ ‎‎ C．5 D．6‎ ‎5．已知向量．若向量，则实数的值是（ ）‎ ‎ Ａ．3 Ｂ．—3 Ｃ． Ｄ． ‎ ‎6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）‎ 侧（左）视图 正（主）视图 俯视图 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7.设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）‎ A． B． C． D．w.w.w.k.s.5 u.c.o.m ‎8．在一张纸上画一个圆，圆心O，并在圆外设一定点F，折叠纸圆上某点落于F点，设该点为M，抹平纸片，折痕AB，连接MO（或者OM）并延长交AB于P，则P点轨迹 ‎ 为（ ）‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 第Ⅱ卷 （共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。‎ ‎9．已知幂函数的图象过（4，2）点，则 ‎ ‎10．在△中，若，，，则 ‎ ‎11. 设____________________。‎ 2．执行如图所示的程序框图,输出的值为 ‎ 开始 输出S 结束 是 否 ‎ ‎ ‎13.化简的结果是 ‎ ‎14. 若点在直线上，过点的直线与曲线相切于点，则的最小值为 ‎ 三、解答题: 本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.‎ ‎15．（本小题满分13分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的最大值，并写出相应的取值.‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱 底面，且，是侧棱上的动点.‎ ‎(Ⅰ) 求四棱锥的体积；‎ ‎(Ⅱ) 如果是的中点，求证∥平面；‎ ‎(Ⅲ) 是否不论点在侧棱的任何位置，都有？‎ 证明你的结论．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 联合国准备举办一次有关全球气候变化的会议，分组研讨时某组有名代表参加，、两名代表来自亚洲，、两名代表来自北美洲，、两名代表来自非洲，小组讨论后将随机选出两名代表发言．‎ ‎（Ⅰ）代表被选中的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）选出的两名代表“恰有名来自北美洲或名都来自非洲”的概率是多少？ ‎ ‎18.（本题满分13分）‎ 已知函数，‎ ‎（1）若，证明没有零点； （2）若恒成立，求a的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题共14分）‎ ‎ 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（，0），右顶点为（2，0）.‎ （1） 求椭圆C的方程；‎ （2） 若直线与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围.‎ ‎20.（本小题共14分）‎ 已知函数，又是.‎ ‎（1）求数列的通项公式； （2）求.‎ 数学答题纸 ‎（文史类）‎ 题 号 一 二 三 总 分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 分 数 一．选择题答案：本大题共8小题，每小题5分，共40分． ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 选项 二、填空题：（每小题5分，共30分。）‎ ‎9、 10、 11、 ‎ ‎12、 13、 14、 ‎ ‎ ‎ 三、解答题：（本大题满分80分。解答题应写出文字说明、证明或演算过程）‎ ‎15、（本题13分）‎ ‎16、（本题13分）‎ ‎17、（本题13分）‎ ‎18、（本题13分）‎ ‎19、（满分14分）‎ ‎20、（满分14分）‎ 数学（文史类）‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。‎ ‎1．如果复数的实部与虚部互为相反数，则的值等于（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 命题“”的否定是（ D ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．“”是“”的（ A ）‎ A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4. 在等差数列中，已知，那么等于（ B ）‎ A．3 B．‎4 ‎‎ ‎‎ C．5 D．6‎ ‎5．已知向量．若向量，则实数的值是（ B ）‎ ‎ Ａ．3 Ｂ．—3 Ｃ． Ｄ． ‎ ‎6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ C ）‎ 侧（左）视图 正（主）视图 俯视图 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7.设变量满足约束条件：，则的最小值（ D ）‎ A． B． C． D．w.w.w.k.s.5 u.c.o.m ‎8．在一张纸上画一个圆，圆心O，并在圆外设一定点F，折叠纸圆上某点落于F点，设该点为M，抹平纸片，折痕AB，连接MO（或者OM）并延长交AB于P，则P点轨迹 ‎ 为（ B ）‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 第Ⅱ卷 （共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。‎ ‎9．已知幂函数的图象过（4，2）点，则 ‎ ‎10．在△中，若，，，则 6 ‎ ‎11. 设_________1___________。‎ 2．执行如图所示的程序框图,输出的值为 102 ‎ 开始 输出S 结束 是 否 ‎ ‎ ‎13.化简的结果是 ‎ ‎14. 若点在直线上，过点的直线与曲线相切于点，则的最小值为 4 ‎ ‎14.已知点是左、右焦点分别为、的双曲线上的一点，且为等腰直角三角 ‎ 形，则双曲线的离心率是 ‎ 三、解答题: 本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.‎ ‎15．（本小题满分13分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的最大值，并写出相应的取值.‎ 解：（Ⅰ） ………4分 ‎ ………6分 ‎ 所以函数的最小正周期. …………………………8分 ‎（Ⅱ）， ， ………………………………9分 ‎ ∴当，即时，有最大值. ………13分 ‎16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱 底面，且，是侧棱上的动点.‎ ‎(Ⅰ) 求四棱锥的体积；‎ ‎(Ⅱ) 如果是的中点，求证∥平面；‎ ‎(Ⅲ) 是否不论点在侧棱的任何位置，‎ 都有？证明你的结论．‎ 解：（Ⅰ） ∵平面，‎ ‎∴ ……………………………2分 ‎ 即四棱锥的体积为. …………4分 ‎（Ⅱ） 连结交于，连结．∵四边形是正方形，∴是的中点．‎ 又∵是的中点，∴． …………………6分 平面平面 ∴平面．………9分 ‎（Ⅲ）不论点在何位置，都有. 　　　 ……………………10分 证明如下：∵四边形是正方形，∴． ‎ ‎∵底面，且平面，∴． 　 ……12分 又∵，∴平面． 　 ……………13分 ‎∵不论点在何位置，都有平面. ‎ ‎∴不论点在何位置，都有. ……14分 ‎ ‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 联合国准备举办一次有关全球气候变化的会议，‎ 分组研讨时某组有名代表参加，、两名 代表来自亚洲，、两名代表来自北美洲，‎ ‎、两名代表来自非洲，小组讨论后将随机选出两名代表发言．‎ ‎（Ⅰ）代表被选中的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）选出的两名代表“恰有名来自北美洲或名都来自非洲”的概率是多少？ ‎ 解：（Ⅰ）从这名代表中随机选出名，共有种不同的选法，分别为（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C）,（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），‎ ‎（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）． …………………2分 ‎ 其中代表被选中的选法有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F）共种，‎ ‎……………………………4分 则代表被选中的概率为． ……………………………6分 ‎（Ⅱ）解法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的结果有种，分别是（A，C），（A，D），（B，C）,（B，D），（C，E），（C，F），‎ ‎（D，E），（D，F），（E，F）． ……………………………9分 ‎“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为 ．‎ ‎……………………………13分 解法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲”的结果有8种，概率为 ；‎ ‎……………………………8分 随机选出的2名代表“都来自非洲”的结果有1种，概率为．…10分 ‎ “恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为 ．‎ ‎……………………………13分 ‎18.（本题满分13分）已知函数，‎ ‎（1）若，证明没有零点； （2）若恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（I）， ‎ 由，得，可得在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 ‎ 故的最小值，所以没有零点 ‎ ‎（II）方法一： ‎ ‎（i）若时，令，则，故在上单调递减，在 上单调递增，故在上的最小值为，‎ 要使解得恒成立，只需，得 ‎ ‎（ii）若，恒成立，在是单调递减，，‎ 故不可能恒成立　　　综上所述， . ‎ ‎19.（本小题共13分）‎ 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（，0），右顶点为（2，0）.‎ （1） 求椭圆C的方程；‎ （2） 若直线与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围.‎ 解：（1）由题意可得：‎ ‎ =1 所求的椭圆方程为：‎ ‎（2）设 由 得：‎ ‎（*）‎ ‎ 解得：‎ 由 可得：‎ 整理得：‎ 把（*）代入得：即：‎ 解得：‎ 综上：‎ ‎19． 在平面直角坐标系xOy中，经过点（0, ）且斜率为k的直线l与椭圆 有两个不同的交点P和Q.‎ ‎(Ⅰ)求k的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k，使得向量 与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎ 解：(Ⅰ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.‎ ‎ 整理，得. ①………………………… 3分 ‎ 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ‎ ，解得或.‎ ‎∴ 满足条件的k的取值范围为 ……… 6分 ‎ (Ⅱ)设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),‎ ‎ 由①得. ②‎ ‎ 又 ③‎ ‎ 因为，， 所以.………………………… 10分 ‎ 所以与共线等价于 .‎ ‎ 将②③代入上式，解得.‎ ‎ 所以不存在常数k，使得向量与共线. …………………… 13分 ‎20.（本小题共14分）‎ ‎ 已知函数，又是。‎ ‎（1）求数列的通项公式； （2）求。‎ 解：（1）令，则 ‎ 当 时， ；‎ ‎ 当时，‎ ‎ 满足上式， ‎ ‎（2）， （1）‎ ‎ （2‎ ‎（1）‎ ‎ ，‎ ‎ 故：。‎