【数学】2019届一轮复习北师大版 推理问题的常见求解策略 学案 13页

‎ ‎ 专题十一算法、推理与证明、复数 问题一：推理问题的常见求解策略 一、考情分析 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,它包括合情推理与演绎推理,合情推理又包括归纳推理和类比推理,归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,由部分到整体、归纳推理由个别到一般的推理类比；推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,它是由特殊到特殊的推理；演绎推理从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论．演绎推理是由一般到特殊的推理．高考中归纳推理和类比推理常以客观题形式出现,演绎推理常和其他知识交汇,以解答题形式出现,下面分别总结几类推理问题的求解策略,共同学们参考.‎ 二、经验分享 ‎1.归纳推理问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解．‎ ‎(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解．‎ ‎(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可．‎ ‎(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性．‎ ‎2.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．‎ ‎3.演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．‎ ‎4.合情推理在近年来的高考中,考查频率逐渐增大,题型多为选择、填空题,难度为中档．‎ 解决此类问题的注意事项与常用方法：‎ ‎(1)解决归纳推理问题,常因条件不足,了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．‎ ‎(2)解决类比问题,应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由,再去类比另一类问题．‎ 三、知识拓展 数学史上的著名推理问题 ‎1. 费马猜想：‎ 法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对,,,,的观察,发现其结果都是素数,于是提出猜想：对所有的自然数,任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉,发现不是素数,推翻费马猜想.学！ ‎ ‎2. 四色猜想：学 ‎ ‎1852年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家 研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用1200个小时,作了100亿逻辑判断,完成证明.‎ 四、题型分析 ‎（一）归纳推理的求解策略 ‎(1)归纳推理的一般步骤：‎ ‎①通过观察个别情况发现某些相同性质；‎ ‎②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．‎ ‎(2)归纳推理是一种重要的思维方法,但结果的正确性还需进一步证明,一般地,考查的个体越多,归纳的结论可靠性越大．因此在进行归纳推理时,当规律不明显时,要尽可能多地分析特殊情况,由此发现其中的规律,从而获得一般结论．　　‎ ‎(3)归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题和填空题,难度稍大,属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：①数值的归纳；②代数式的归纳；③图形的归纳．‎ ‎【例1】【2016届浙江省慈溪中学高三上学期期末】某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度相等,两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n级分形图．‎ n级分形图中共有________条线段．‎ ‎【分析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有3＝(3×2－3)条线段,二级分形图有9＝(3×22－3)条线段,三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段,按此规律n级分形图中的线段条数an ‎＝(3×2n－3)(n∈N )．‎ ‎【答案】an＝(3×2n－3)(n∈N )‎ ‎【点评】(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的；(3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和 学的发现很有用．‎ ‎【小试牛刀】【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】如图是 格工作者经常用来解释 络运作的蛇形模型：数字出现在第行；数字出现在第行,数字(从左至右) 出现在第行; 数字出现在第行,依此类推,则第行从左到右第个数字为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】前行共有第行最左端的数为第行从左到右第个数字为．‎ ‎（二）类比推理的求解策略 在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误．类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．‎ ‎(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解；‎ ‎(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键；‎ ‎(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.‎ ‎【例2】若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项的和为Sn,则数列为等差数列,且通项为＝a1＋(n－1)·.类似地,请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1,公比为q,前n项的积为Tn,则数列________为等比数列,通项为________．‎ ‎【分析】解题的关键是找出等差数列与等比数列性质的关联 ‎【点评】因为在等差数列{an}中前n项的和为Sn的通项,且写成了＝a1＋(n－1)·,所以在等比数列{bn}中应研究前n项的积为Tn的开n方的形式,等差数列中的求和类比等比数列中的乘积,类比可得：数列{}为等比数列,通项为＝b1·()n－1.‎ ‎【点评】等差数列与等比数列的类比,要注意运算的转换：和差积商,乘积乘方 ‎【小试牛刀】在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则＝,推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则＝________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1,‎ 故正四面体PABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则＝＝.‎ ‎（三）演绎推理的求解策略 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式,是一种必然性推理．演绎推理的模式为：‎ 三段论 学 ‎ 应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的．如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结论也是错误的．‎ ‎【例3】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1＝1,an＋1＝Sn(n∈N＋)．证明：‎ ‎(1)数列{}是等比数列；‎ ‎(2)Sn＋1＝4an.‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)可知＝4·(n≥2),‎ ‎∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2),(小前提)‎ 又a2＝3S1＝3,S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1,(小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n,都有Sn＋1＝4an.(结论)‎ ‎(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)‎ ‎【点评】“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论；常见易错点是对大前提“凭空想象、思维定势、想当然”,从而出错,‎ 或者小前提与大前提“不兼容”“不包容”“互补”而出错．‎ ‎【小试牛刀】【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考】学校艺术节对同一类的,‎ ‎,,四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品 预测如下：‎ 甲说：“是或作品获得一等奖”；‎ 乙说：“作品获得一等奖”；‎ 丙说：“,两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“是作品获得一等奖”．‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是 ．‎ ‎【答案】B ‎【解析】若甲同学说的话是对的,则丙、丁两位说的话也是对的；若丁同学说的话是对的,则甲、丙两位说的话也是对的,所以只有乙、丙两位说的话是对的,所以获得一等奖的作品是B．‎ 理过程且结论正确；对于C和D,均为大前提错误；故选B．‎ 五、迁移运用 ‎1．【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟】甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步,跳远,铅球比赛,每人参加一项,每项都要有人参加,他们的身高各不同．现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的,也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（ ）‎ A. 跑步比赛 B. 跳远比赛 C. 铅球比赛 D. 无法判断 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由（1）,（3）,（4）可知,乙参加了铅球,由（2）可知乙不是最高的,所以三人中乙身高居中；‎ 再由（1）可知,甲是最矮的,参加了跳远,所以丙最高,参加了跑步比赛.‎ 故选：A.‎ ‎2.在直角坐标系xOy中,一个质点从A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),…,按此规律一直运动下去,则a2 013＋a2 014＋a2 015＝(　　)‎ A．1 006 B．1 007 C．1 008 D．1 009‎ ‎【答案】　B　‎ ‎3.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r＝,类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为r,四面体SABC的体积为V,则r＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C　‎ ‎【解析】设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．‎ 则四面体的体积为V四面体SABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)r,‎ ‎∴r＝.‎ ‎4.【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”愿意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如6613用算筹表示就是,则9117用算筹可表示为（ ） ‎ ‎ ‎ A. B． ‎ C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由定义知: 千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式,选A ‎5.【2017河南省天一大联考高中毕业班阶段性测试（二）】对于正整数,记表示的最大奇数因数,例如,,．设．给出下列四个结论：①；②,都有；③；④,,．则其中所有正确结论的序号为（ ）‎ A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于①,,故①错；对于②,,都有正确；对于③,；；‎ ‎,,故③正确；对于④‎ ‎,于是,故④正确；故选B. 学 ！ ‎ ‎6.将正奇数按如图所示的规律排列,则第21行从左向右的第5个数为(　　)‎ ‎1‎ ‎3　5　7‎ ‎9　11　13　15　17‎ ‎19 21 23 25 27　29　31‎ ‎…　 　…　　　…‎ A．809　　　　　　　　 B．852‎ C．786 D．893‎ ‎【答案】A ‎【解析】前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个),则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数,所以这个数是2×405－1＝809.‎ ‎7．【2016届宁夏回族自治区银川一中高三上第四次月考】如图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,和是小圆的一条固定直径的两个端点．那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点在大圆内所绘出的图形大致是（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示,为小园的直径,在运动过程中,恒为,两个圆的连心线保持不变,故只能在大圆相互垂直的两条直径上,故选A．‎ ‎8．【2016届湖南省长沙市雅礼中学高三月考】一个二元码是由0和1组成的数字串,其中称为第 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1,或者由1变为0）‎ 已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：,其中运算⊕定义为：．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定 等于（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7 学 ‎ ‎【答案】B ‎ ‎9.【河南省广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一）,15】所有真约数（除本身之外的正约数）的和等 于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、完美数）.如：；；‎ ‎.此外,它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如 ‎,,……,按此规律,可表示为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,又由,解得．所以＝．‎ ‎10.设N＝2n(n∈N ,n≥2),将N个数x1,x2,…,xN依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN,将此操作称为C变换．将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到P2；当2≤i≤n－2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段作C变换,得到Pi＋1.例如,当N＝8时,P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置．‎ ‎(1)当N＝16时,x7位于P2中的第________个位置；‎ ‎(2)当N＝2n(n≥8)时,x173位于P4中的第________个位置．‎ ‎【答案】3×2n－4＋11‎ ‎【解析】　(1)当N＝16时,‎ P0＝x1x2x3x4x5x6…x16,‎ P1＝x1x3x5x7…x15x2x4x6…x16,‎ P2＝x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16,‎ 所以x7位于P2中的第6个位置．‎ ‎(2)根据题意可知P4将这2n个数分成24段,每段有2n－4个数,每段数下标分别构成公差为16的等差数列．第1段的首项下标为1,其通项公式为16n－15,当16n－15＝173时,n＝∉N ；第2段的首项下标为9,其通项公式为16n－7,当16n－7＝173时,n＝∉N ；第3段的首项下标为5,其通项公式为16n－11,当16n－11＝173时,n＝∉N ；第4段的首项为13,其通项公式为16n－3,当16n－3＝173时,n＝11∈N .故x173位于P4中的第3×2n－4＋11个位置．‎ ‎11.【山东省肥城市2018届高三适应性训练】如图所示,由若干个圆点组成形如三角形的图形,每条边（包括两个端点）有（,）个点,每个图形总的点数记为,则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】每个边有n个点,把每个边的点数相加得3n,这样角上的点数被重复计算了一次,故第n个图形的点数为3n-3,即an=3n-3,令Sn==‎ 故答案为 ‎12．【2016届宁夏回族自治区银川一中高三上第四次月考】如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,…,如此继续,若共得到1023个正方形,设初始正方形的边长为,则最小正方形的边长为 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设,即,解得．正方形边长构成数列,从而最小正方形的变长为．‎ ‎13.在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则得到类比的结论是________．‎ ‎【答案】＝ ‎【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.‎ ‎14.已知等差数列{an}中,有＝,则在等比数列{bn}中,会有类似的结论：________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20,∴＝.‎ ‎15.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个 边形数为N(n, )( ≥3),以下列出了部分 边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数　N(n,3)＝n2＋n,‎ 正方形数　N(n,4)＝n2,‎ 五边形数　N(n,5)＝n2－n,‎ 六边形数　N(n,6)＝2n2－n,‎ ‎……‎ 可以推测N(n, )的表达式,由此计算N(10,24)＝________．‎ ‎【答案】　(1)F＋V－E＝2　(2)1 000‎ ‎【解析】　(1)∵5＋6－9＝2,6＋6－10＝2,6＋8－12＝2,‎ ‎∴F,V,E满足等式F＋V－E＝2.‎ ‎16.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知函数,.‎ ‎（1）若函数有且只有一个极值点,求实数的取值范围；‎ ‎（2）对于函数,,,若对于区间上的任意一个,都有,则称函数是函数,在区间上的一个“分界函数”.已知,,问是否存在实数,使得函数是函数,在区间上的一个“分界函数”？若存在,求实数的取值范围；若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（1）,‎ 记,‎ 依题意,在区间上有且只有一个零点,‎ ‎∴,得实数的取值范围是； ‎ ‎（Ⅱ）若函数是函数,在区间上的一个“分界函数”,‎ 则当时,恒成立,‎ 且恒成立, 学= ‎ 记,‎ 则,‎ 若,即：‎ 当时,,单调递减,且,‎ ‎∴,解得； ‎ 若,即：‎ 的图象是开口向上的抛物线,‎ 存在,使得,‎ 从而,在区间上不会恒成立, ‎ 记,‎ 则,‎ ‎∴在区间上单调递增, 学 ‎ 由恒成立,得,得.‎