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- 2021-06-15 发布
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知识点
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坐标系
理解坐标系的作用.
了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.
参数方程
了解参数方程,了解参数的意义.
能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.
了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
第1讲 坐标系
[学生用书P213]
1.坐标系
(1)伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点(λx,μy),称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ,有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
2.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
3.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0;
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos__θ=a;
(3)直线过M且平行于极轴:ρsin__θ=b.
4.圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则该圆的方程为:
ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程:
(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos__θ;
(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asin__θ.
极坐标方程ρcos θ=2sin 2θ表示的曲线为( )
A.一条射线和一个圆
B.两条直线
C.一条直线和一个圆
D.一个圆
解析:选C.由ρcos θ=2sin 2θ=4sin θcos θ,得,cos θ=0或ρ=4sin θ.当cos θ=0时,θ=(ρ∈R),极坐标方程表示一条直线;当ρ=4sin θ时,极坐标方程表示一个圆.故选C.
若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=,0≤θ≤
B.ρ=,0≤θ≤
C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
解析:选A.y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρsin θ=1-ρcos θ,即ρ=,由0≤x≤1,得0≤y≤1,所以θ∈.故选A.
在极坐标系中,直线ρcos θ-ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A,B两点,则|AB|=________.
解析:将ρcos θ-ρsin θ-1=0化为直角坐标方程为x-y-1=0,将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,圆心坐标为(1,0),半径r=1,又(1,0)在直线x-y-1=0上,所以|AB|=2r=2.
答案:2
在极坐标系中,点到直线ρ(cos θ+sin θ)=6的距离为________.
解析:由知极坐标可化为(1,),直线ρ(cos θ+sin θ)=6可化为x+y-6=0.故所求距离为d===1.
答案:1
在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为、,求△AOB(其中O为极点)的面积.
解:由题意知A,B的极坐标分别为、,则△AOB的面积S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=×3×4×sin=3.
在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,求a的值.
解:由ρ=4sin θ,可得x2+y2=4y,
即x2+(y-2)2=4.
由ρsin θ=a,可得y=a.
设圆的圆心为O′,y=a与x2+(y-2)2=4的两交点A,B与O构成等边三角形,如图所示.
由对称性知∠O′OB=30°,OD=a.
在Rt△DOB中,易求DB=a,
所以B点的坐标为.
又因为B在圆x2+y2-4y=0上,所以+a2-4a=0,
即a2-4a=0,解得a=0(舍去)或a=3.故a的值为3.
平面直角坐标系中的伸缩变换
[学生用书P214]
[典例引领]
在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换,使得圆x2+y2=1变换为椭圆+=1.
【解】 设伸缩变换为
由题知+=1,
即x2+y2=1.
与x2+y2=1比较系数,
得故
所以伸缩变换为
即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍,得到椭圆+y2=1,再将该椭圆的点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的2倍,得到椭圆+=1.
求经伸缩变换后的曲线方程的方法
平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下的变换方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y′=h(x′),即为所求变换之后的方程.
[通关练习]
1.若函数y=f(x)的图象在伸缩变换φ:的作用下得到曲线的方程为y′=3sin,求函数y=f(x)的最小正周期.
解:由题意,把变换公式代入曲线
y′=3sin 得
3y=3sin,
整理得y=sin,
故f(x)=sin.
所以y=f(x)的最小正周期为=π.
2.在同一平面直角坐标系中,将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4,求满足图象变换的伸缩变换.
解:设变换为代入第二个方程,得2λx-μy=4,与x-2y=2比较系数得λ=1,μ=4,即因此,经过变换后,直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4.
极坐标与直角坐标的互化
[学生用书P215]
[典例引领]
在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
【解】 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得
ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.
故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
直角坐标与极坐标互化的方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需运用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可.
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.
[通关练习]
1.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin=.(ρ≥0,0≤θ<2π)
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.
解:(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
故圆O的直角坐标方程为:x2+y2-x-y=0,
直线l:ρsin=,
即ρsin θ-ρcos θ=1,
则直线l的直角坐标方程为:x-y+1=0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,
将两方程联立得解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),将(0,1)转化为极坐标为,即为所求.
2.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
解:(1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4.因为ρ2-2ρcos=2,
所以ρ2-2ρ=2.所以x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,
即ρsin=.
曲线极坐标方程的应用
[学生用书P215]
[典例引领]
(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
【解】 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·|sin(α-)|
=2|sin(2α-)-|≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
[通关练习]
1.(2016·高考全国卷Ⅰ改编)在直角坐标系xOy中,曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0(a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为直角坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解:(1)将C1的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.
所以a=1.
2.(2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.
(1)求出圆C的直角坐标方程;
(2)已知圆C与x轴相交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l′,若直线l′上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.
解:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,即x2+y2-4x=0,故圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.
(2)l:y=2x关于点M(0,m)对称的直线l′的方程为y=2x+2m,而AB为圆C的直径,
故直线l′上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点,故≤2,解得-2-≤m≤-2,于是,实数m的最大值为-2.
曲线的极坐标方程化成直角坐标方程
对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘以ρ等.
直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的步骤
(1)运用ρ=,tan θ=(x≠0).
(2)在[0,2π)内由tan θ=(x≠0)求θ时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置).
进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,应注意两点
(1)注意ρ,θ的取值范围及其影响.
(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.
[学生用书P347(单独成册)]
1.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求点M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解:(1)由ρcos=1,得ρ=1,
从而曲线C的直角坐标方程为x+y=1,
即x+y=2.
θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).
θ=时,ρ=,所以N.
(2)由(1)得点M的直角坐标为(2,0),点N的直角坐标为.
所以点P的直角坐标为,
则点P的极坐标为,
所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈(-∞,+∞).
2.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设⊙C的极坐标方程为ρ=2sin θ,点P为⊙C上一动点,点M的极坐标为,点Q为线段PM的中点.
(1)求点Q的轨迹C1的方程;
(2)试判定轨迹C1和⊙C的位置关系,并说明理由.
解:(1)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ,
所以⊙C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,
又点M的极坐标为,
所以点M的直角坐标为(0,4).
设点P(x0,y0),点Q(x,y),
则有x+(y0-1)2=1.(*)
因为点Q为线段PM的中点,
所以
代入(*)得轨迹C1的方程为
x2+=.
(2)因为⊙C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1,
而轨迹C1是圆心为,半径为的圆,
所以两圆的圆心距为,等于两圆半径和,所以两圆外切.
3.在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)求圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长.
解:法一:(1)设所求圆上任意一点M(ρ,θ),如图,
在Rt△OAM中,∠OMA=90°,
∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.
因为cos∠AOM=,
所以|OM|=|OA|·cos∠AOM,
即ρ=4cos=4cos,
验证可知,极点O与A的极坐标也满足方程,
故ρ=4cos 为所求.
(2)设l:θ=-(ρ∈R)交圆C于点P,
在Rt△OAP中,∠OPA=90°,
易得∠AOP=,
所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2.
法二:(1)圆C是将圆ρ=4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,
所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos.
(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos,得ρ=2,
所以圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长为2.
4.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cos θ,ρcos=1.
(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;
(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹,并指出轨迹是什么图形.
解:(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆.C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,
由于圆心到直线的距离为d==>1,
所以直线与圆相离,
即曲线C1和C2没有公共点.
(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则,
即①
因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,
所以ρ0cos=1.②
将①代入②,得cos=1,
即ρ=2cos为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为+=1,因此点P的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.
1.已知曲线C1的极坐标方程为ρcos=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos.以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.
解:(1)依题意得ρ=2cos=2,
即ρ2=2,
可得x2+y2-2x-2y=0,
故C2的直角坐标方程为+(y-1)2=2.
(2)曲线C1的极坐标方程为
ρcos=-1,
即ρ=-1,
化为直角坐标方程为x+y+2=0,
由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心,为半径的圆,且圆心到直线C1的距离d==>r=,
于是直线与圆相离,所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.
2.在直角坐标系xOy中,半圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ+cos θ)=5,射线OM:θ=与半圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以半圆C的极坐标方程是ρ=2cos θ,θ∈.
(2)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,
则有
解得
设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,
则有
解得
由于θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4,
所以线段PQ的长为4.
3.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的方程为y=(tan α)x,其中α为直线l的倾斜角,l与C交于A,B两点,|AB|=,求tan α的值.
解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得
ρ2+12ρcos α+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|==.
由|AB|=得cos2α=,tan α=±.
4.在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以原点O
为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=与曲线C2交于点D.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)已知极坐标系中两点A(ρ1,θ0),B,若A、B都在曲线C1上,求+的值.
解:(1)因为C1的参数方程为
所以C1的普通方程为+y2=1.
由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ=2a·cos θ(a为半径),将D代入,
得2=2a×,
所以a=2,
所以圆C2的圆心的直角坐标为(2,0),半径为2,
所以C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
(2)曲线C1的极坐标方程为+ρ2sin2θ=1,
即ρ2=.
所以ρ=,
ρ=
=.
所以+=+=.