【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第九章平面解析几何9-1学案 15页

‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°).‎ ‎2.斜率公式 ‎(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y1＝k(x－x1)‎ 不含直线x＝x1‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0‎ ‎(A，B不全为0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(　√　)‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(　×　)‎ ‎(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　×　)‎ ‎(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　)‎ ‎(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　×　)‎ ‎(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　√　)‎ ‎1.(2016·常州模拟)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________.‎ 答案　－ 解析　设P(m,1)，Q(7，n)，‎ 由题意知　解得 所以P(－5,1)，Q(7，－3)，‎ 所以k＝＝－.‎ ‎2.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是______________.‎ 答案　[，π)‎ 解析　由直线方程可得该直线的斜率为－，‎ 又－1≤－<0，‎ 所以倾斜角的取值范围是[，π).‎ ‎3.如图所示，直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为__________.‎ 答案　(－∞，－]∪[5，＋∞)‎ 解析　设PA与PB的倾斜角分别为α、β，直线PA的斜率k1＝5，‎ 直线PB的斜率k2＝－.‎ 当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增到90°，斜率的变化范围为[5，＋∞)；‎ 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角为90°增至β，斜率的变化范围为(－∞，－]，‎ 故直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[5，＋∞).‎ ‎4.(教材改编)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.‎ 答案　1或－2‎ 解析　令x＝0，得直线l在y轴上的截距为2＋a；‎ 令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋.‎ 依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.‎ ‎5.过点A(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________.‎ 答案　3x＋2y＝0或x－y－5＝0‎ 解析　①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为－＝1，即x－y＝a，将点A(2，－3)代入，得a＝5，即直线方程为x－y－5＝0.故所求直线的方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.‎ 题型一　直线的倾斜角与斜率 例1　(1)(2016·镇江模拟)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________.‎ ‎(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________________.‎ 答案　(1)[0，]∪[，π)‎ ‎(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ 解析　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.‎ 因为sin α∈[－1,1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，‎ 所以0≤θ≤或≤θ<π.‎ ‎(2)如图，∵kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，‎ ‎∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞).‎ 引申探究 ‎1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.‎ 解　∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，‎ ‎∴kAP＝＝，‎ kBP＝＝.‎ 如图可知，直线l斜率的取值范围为.‎ ‎2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.‎ 解　如图，直线PA的倾斜角为45°，‎ 直线PB的倾斜角为135°，‎ 由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).‎ 思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈ 时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0).‎ ‎　(2016·南京模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角的大小为________.‎ 答案　150°‎ 解析　由y＝，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示.‎ 显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝，‎ 弦长AB＝2 ＝2 ，‎ 所以S△AOB＝××2 ‎≤＝1，‎ 当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，‎ 由图可得k＝－(k＝舍去)，故直线l的倾斜角为150°.‎ 题型二　求直线的方程 例2　根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(3)直线过点(5,10)，且直线到原点的距离为5.‎ 解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4).‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.‎ 若a＝0，即l过点(0,0)及(4,1)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(4,1)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，‎ ‎∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；‎ 当斜率存在时，设其为k，‎ 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋(10－5k)＝0.‎ 由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 思维升华　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.‎ ‎　求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；‎ ‎(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且AB＝5.‎ 解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，‎ 若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(3,2)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，‎ 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎(3)①过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.‎ 解方程组 求得B点坐标为(1,4)，此时AB＝5，即x＝1为所求.‎ ‎②设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为 y＋1＝k(x－1) (k≠－2)，‎ 解方程组 得两直线交点为 则B点坐标为(，).‎ ‎∴(－1)2＋(＋1)2＝52，‎ 解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，‎ 即3x＋4y＋1＝0.‎ 综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.‎ 题型三　直线方程的综合应用 命题点1　与基本不等式相结合求最值问题 例3　已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.‎ 解　方法一　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，‎ 把点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，‎ 从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.‎ 方法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.‎ 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，‎ 且有A，B(0,2－3k)，‎ ‎∴S△ABO＝(2－3k) ‎＝ ‎≥ ‎＝×(12＋12)＝12.‎ 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立.‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.‎ 命题点2　由直线方程解决参数问题 例4　已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.‎ 解　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，面积最小.‎ 思维升华　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.‎ ‎(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.‎ ‎(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.‎ ‎　(2016·盐城模拟)直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当OA＋OB最小时，求直线l的方程.‎ 解　依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，‎ 设直线l的斜率为k，‎ 则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0).‎ 令y＝0，可得A(1－，0)；‎ 令x＝0，可得B(0,4－k).‎ OA＋OB＝(1－)＋(4－k)‎ ‎＝5－(k＋)‎ ‎＝5＋(－k＋)≥5＋4＝9.‎ ‎∴当且仅当－k＝且k<0，‎ 即k＝－2时，OA＋OB取最小值.‎ 这时直线l的方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎9.求与截距有关的直线方程 典例　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).‎ ‎(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.‎ 错解展示 现场纠错 解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.‎ 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.‎ ‎∴＝a－2，即a＋1＝1.‎ ‎∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.‎ 综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)由＝－(a－2)得a－2＝0或a＋1＝－1，‎ ‎∴a＝2或a＝－2.‎ 纠错心得　在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.‎ ‎1.(2016·连云港模拟)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是__________.‎ 答案　(－6，－2)‎ 解析　解方程组得 因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，‎ 所以k＋6>0且k＋2<0，所以－6x0＋2，则的取值范围为____________.‎ 答案　(－，－)‎ 解析　设A(x1，y1)，＝k，则y0＝kx0，‎ ‎∵AB的中点为P(x0，y0)，∴B(2x0－x1,2y0－y1).‎ ‎∵A，B分别在直线x＋2y－1＝0和x＋2y＋3＝0上，‎ ‎∴x1＋2y1－1＝0,2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0，‎ ‎∴2x0＋4y0＋2＝0，即x0＋2y0＋1＝0.‎ ‎∵y0＝kx0，∴x0＋2kx0＋1＝0，即x0＝－.‎ 又y0>x0＋2，∴kx0>x0＋2，即(k－1)x0>2，‎ 即(k－1)(－)>2，即<0，‎ 解得－