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  • 2021-06-15 发布

二00八年高中数学联赛四川赛区初赛试题

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二00八年高中数学联赛四川赛区初赛试题 一、选择题 ‎1、 在公差为4的正项等差数列中,与2的算术平均值等于与2的几何平均值,其中表示数列的前三项和,则为 ( )‎ ‎(A)38 (B) 40 (C) 42 (D) 44‎ ‎2、 某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生,要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛,则代表队包含男女各2人的概率为 ( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎3、 设有一个体积为54的正四面体,若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体,则所作四面体的体积为 ( )‎ ‎(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ ‎4、 已知椭圆的左顶点为,右焦点为,点为椭圆上的一点,则当取最小值的时候,的值为 ( )‎ ‎(A) (B)3 (C) 5 (D) ‎ ‎5、 设则的最小值为 ( )‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D)‎ ‎6、 设集合,则集合的非空真子集的个数为 ( )‎ ‎(A)13 (B) 14 (C) 15 (D) 16‎ 二、填空题 ‎7、 设数列满足:,则的最大公约数为 ‎________________ .‎ ‎8、 函数对任意的满足,且,则=__________.‎ ‎9、 已知正实数满足,则的最小值为__________________ .‎ ‎10、 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为 的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边的)‎ 小正方形所涂颜色都不相同,且“3、5、‎7”‎号数字涂相同 的颜色,则符合条件的所有涂法共有 _______ 种。‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11、 数列、满足:,且,则=_________. ‎ ‎12、 函数的最小值为__________________ . ‎ 三、解答题 ‎13、 已知,,其中正整数.‎ ‎(1)求证:对于一切的正整数,都;‎ ‎(2)求的最小值,其中约定.‎ ‎14、 是否存在一个二次函数,使得对任意的正整数,当时,都有成立?请给出结论,并加以证明.‎ ‎15、 设是抛物线的焦点,为抛物线上异于原点的两点,且满足.延长分别交抛物线于点 ‎(如图).求四边形面积的最小值.‎ ‎16、 已知⊙与的边分别相切于和,与外接圆相切于,是的中点(如图).求证:.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A ‎ ‎2、C ‎3、B ‎4、B ‎5、C ‎6、B ‎ 二、填空题 ‎7、3 ‎ ‎8、 ‎ ‎9、‎ ‎10、108‎ ‎11、‎ ‎12、8 ‎ 三、解答题 ‎13、‎ ‎(1)证明:对于一切的正整数,‎ ‎.5分 ‎(2)由不等式知 ‎ ‎ ‎ 当时,等于成立,所以有最小值.‎ ‎14、‎ 解:存在符合条件的二次函数. ‎ 设,则当时有: ①;‎ ‎ ②;③.‎ 联立①、②、③,解得.于是,.10分 下面证明:二次函数符合条件.‎ 因为,‎ 同理:; ‎ ‎.‎ 所以,所求的二次函数符合条件. ‎ ‎15、 解:设,由题设知,直线的斜率存在,设为.‎ 因直线过焦点,所以,直线的方程为.‎ 联立方程组,消得 由根与系数的关系知:, ‎ 于是 ‎ ‎      ‎ 又因为,所以直线的斜率为,‎ 从而直线的方程为:,同理可得 .‎ 故 当时等号成立.所以,四边形的最小面积为32. ‎ ‎16、 ‎ 证明:如图,连结.‎ ‎∵ 分别与⊙相切于 ‎∴ ‎ ‎∵和都是⊙的半径,‎ ‎ ‎ ‎∴ 由对称性知,且于. ‎ ‎∴ ,即 ‎ 又∵,∴∽‎ ‎∴ ‎ 过作两圆的公切线,则 又∵,即 ‎∴ ‎ ‎ ‎ 故. ‎