【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：8-3-2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 7页

‎8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.(多选题)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是(　　)‎ A.圆柱的侧面积为2πR2‎ B.圆锥的侧面积为2πR2‎ C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2‎ 解析依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;‎ 圆锥的侧面积为πR×R=πR2,∴B错误;‎ 球的表面积为4πR2,∵圆柱的侧面积为4πR2,‎ ‎∴C正确;‎ ‎∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,‎ ‎∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,∴D正确.‎ 答案CD ‎2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于(　　)‎ ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ A.4 B.8 C.8 D.8‎ 解析设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,∴R=1.∵正方体内接于球,∴x=2R=2,‎ ‎∴x=,∴S正=6x2=6×=8.‎ 答案B ‎3.(2019广东高二期末)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为(　　)‎ A.12 B.18‎ C.24 D.54‎ 解析如图所示,‎ 点M为三角形ABC的中心,E为AC的中点,‎ 当DM⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积最大,‎ 此时,OD=OB=R=4.‎ ‎∵S△ABC=AB2=9,∴AB=6.‎ ‎∵点M为△ABC的中心,‎ ‎∴BM=BE=2.‎ ‎∴Rt△OMB中,有OM==2.‎ ‎∴DM=OD+OM=4+2=6.‎ ‎∴(VD-ABC)max=×9×6=18.‎ 故选B.‎ 答案B ‎4.‎ ‎《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 解析设底面圆半径为R,米堆高为h.‎ ‎∵米堆底部弧长为8尺,∴·2πR=8,∴R=.‎ ‎∴体积V=·πR2h=×π××5.‎ ‎∵π≈3,∴V≈(立方尺).‎ ‎∴堆放的米约为≈22(斛).‎ 答案B ‎5.圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为(　　)‎ A.18π B.9(1+2)π C.9π D.9(1+)π 解析∵圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,‎ ‎∴h=2r,又圆锥的体积V=18π,‎ 即πr2h==18π,解得r=3.‎ ‎∴h=6,母线长为l==3,‎ 则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×3+π×32=9(1+)π.‎ 答案D ‎6.‎ 圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是　　　　　. ‎ 解析设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.‎ 答案4‎ ‎7.‎ 如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为　　　　　. ‎ 解析作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32++42)×7=.‎ 答案 ‎8.(2019天津高考)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为　　　　. ‎ 解析由底面边长为,‎ 可得OC=1.设M为VC的中点,O1M=OC=,O1O=VO,‎ VO==2,‎ ‎∴O1O=1.‎ V柱=π·O1M2·O1O=π×2×1=.‎ 答案 ‎9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.‎ 解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.‎ ‎10.‎ 如图所示,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求该圆柱的体积及表面积.‎ 解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h==2.又h'=,∴h'=h,∴,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=π,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=2π+2π×=(2+2)π.‎ 能力提升练 ‎1.(2020青海西宁二中高二期末)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(　　)‎ A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2‎ 解析根据题意可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,上、下底面中心连线的中点就是球心,如图,‎ 则其外接球的半径为 R=,‎ 球的表面积为S球=4π×πa2.‎ 故选B.‎ 答案B ‎2.(多选题)如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,过点C作CD⊥AB,垂足为D.下列说法正确的是(　　)‎ A.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15π B.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36π C.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25π D.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π 解析以BC所在直线为轴旋转,所得旋转体为底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,‎ ‎∴侧面积为π×3×5=15π,体积为×π×32×4=12π,∴A正确,B错误;‎ 以AC所在直线为轴旋转,所得旋转体为底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥,‎ 侧面积为π×4×5=20π,体积为×π×42×3=16π,∴C错误,D正确.‎ 答案AD ‎3.(2020全国高一课时练习)设矩形边长分别为a,b(a>b),将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱(无底面),其体积分别为Va和Vb,则Va与Vb的大小关系是(　　)‎ A.Va>Vb B.Va=Vb C.Vab,所以,即Vb>Va,故选C.‎ 答案C ‎4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)(　　)‎ A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸 解析作出圆台的轴截面如图所示:由题意知,BF=14寸,OC=6寸,‎ OF=18寸,OG=9寸.‎ 即G是OF的中点,∴GE为梯形OCBF的中位线,‎ ‎∴GE==10(寸).‎ 即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆口的面积为142π=196π(平方寸),∴平均降雨量是=3(寸),即平均降雨量是3寸.‎ 答案A ‎5.(2020海南高二期末)如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”,那么母线长为2的“标准圆锥”的体积为　　　　　. ‎ 解析设圆锥底面半径为r,则=2,则r=2,‎ 所以圆锥的体积V=×πr2×2=.‎ 答案 ‎6.‎ 如图所示,半径为R的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,则该几何体的表面积为　　　　　,体积为　　　　　. ‎ 解析如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,‎ 又∠BAC=30°,AB=2R,‎ ‎∴AC=R,BC=R,CO1=R,‎ ‎∴=π×R×R=πR2,=π×R×R=πR2,‎ ‎∴S几何体表=S球+πR2,‎ 又V球=πR3,‎ ‎∴V几何体=V球-()=πR3-×AB×π×CπR3-πR3.‎ 答案πR2　πR3‎ ‎7.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.‎ 解取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.‎ 连接CO1,CE,如图.‎ 则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.‎ ‎∵AB=3,∴O1C=3.‎ 在Rt△SO1C中,SC=2,∴SO1=.‎ ‎∵Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE,‎ ‎∴SE==4.∴球半径R=2.‎ ‎∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π.‎ 素养培优练 ‎1.如图所示,在棱锥P-ABCD中,底面ABCD是长方形,底面周长为8,PD=3,且PD是四棱锥的高.设AB=x.‎ ‎(1)当x=3时,求三棱锥A-PBC的体积;‎ ‎(2)求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积的最小值.‎ 解(1)当x=3时,AB=3,BC=1,S△ABC=AB·BC=,因此VA-PBC=VP-ABC=PD·S△ABC=.‎ ‎(2)将四棱锥P-ABCD补成长方体ABCD-A1B1C1P,‎ 则四棱锥P-ABCD的外接球和长方体ABCD-A1B1C1P的外接球相同.‎ 因为AB=x,则BC=4-x,所以球的半径R=,当x=2时,R取得最小值.故四棱锥P-ABCD的外接球的表面积的最小值为4πR2=17π.‎ ‎2.如图,四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.‎ 解由题意知所求几何体的表面积等于圆台下底面面积、圆台的侧面积与半球面面积的和.‎ 又因为S半球面=×4π×22=8π(cm2),‎ S圆台侧=π×(2+5)×=35π(cm2),‎ S圆台下底=π×52=25π(cm2),所以所求几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又因为V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=×23=(cm3).所以所求几何体的体积为V圆台-V半球=52π-(cm3).‎