2020年高中数学第一章第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征优化练习 4页

1 第 2 课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征 [课时作业] [A 组　基础巩固] 1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(　　) A．一个圆台、两个圆锥　　 B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆柱、一个圆台 D．一个圆柱、两个圆锥 解析：如图所示： 答案：D 2．下列说法错误的是(　　) A．一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成 B．一个圆台可以由两个圆台拼合而成 C．一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成 D．一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成 解析：用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆 台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故 B，D 选项说法是正确的．若在 三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三 棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故选项 A 的 说法正确． 答案：C 3．下列命题中正确的是(　　) A．将正方形旋转不可能形成圆柱 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 解析：将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以 A 错误；B 中必须以垂直于底边 的腰为轴旋转才能得到圆台，所以 B 错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以 D 错 误，故选 C. 答案：C 4．将边长为 1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是 2 (　　) A．4π B．8π C．2π D．π 解析：边长为 1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径 为 1 的圆，其周长为 2π·1＝2π. 答案：C 5．一个直角三角形绕斜边旋转 360°形成的空间几何体是(　　) A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱 C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台 答案：C 6.如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的________组 成的． 解析：一个半球，一个圆柱和一个圆台组合而成． 答案：一个半球，一个圆柱和一个圆台 7．圆锥的高与底面半径相等，母线长等于 5 2，则底面半径等于________． 解析：设底面半径为 r，母线长为 l，则 l2＝r2＋h2＝2r2，代入可得 r＝5. 答案：5 8．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是 1∶4，截去小圆锥的母线长为 3 cm，则圆台的母线长为________ cm. 解析：如图所示，设圆台的母线长为 x cm，截得的圆台的上、下底半径分别为 r cm,4r cm， 根据三角形相似的性质，得 3 3＋x＝ r 4r，解得 x＝9. 答案：9 9.如图，在△ABC 中，∠ABC＝120°，它绕 AB 边所在直线旋转一周后形成的 几何体结构如何？ 解析：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆 锥． 10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于 441 cm2，母线与轴 的夹角是 45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径． 解析：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为 x cm 和 3x 3 cm，延长 AA1 交 OO1 的延长线于 S.在 Rt△SOA 中，∠ASO＝45°，则∠SA1O1＝∠SAO＝45°，所 以 SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以 OO1＝2x.又 1 2(6x＋2x)·2x＝441，解得 x＝ 21 2 4 ，所以圆台的 高 OO1＝ 21 2 2 (cm)，母线长 l＝ 2OO1＝21(cm)，两底面半径分别为 21 2 4 cm 和 63 2 4 cm. [B 组　能力提升] 1．有下列说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的． 其中正确的是(　　) A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．①③ D．②④ 解析：由圆柱、圆锥、圆台母线的定义可知②④正确，①③不正确． 答案：D 2．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的(　　) 解析：由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确 答案为 B. 答案： B 3．如果一个球恰好内切于一个棱长为 10 cm 的正方体盒子，那么这个球的半径为________cm. 解析：设球的半径为 R，则 2R＝10 cm，故 R＝5 cm. 答案：5 4．若母线长是 4 的圆锥的轴截面的面积是 8，则该圆锥的高是________． 解析：设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的高 h＝ 42－r2. 所以由题意可知 1 2·(2r)·h＝r 42－r2＝8， ∴r2＝8，∴h＝2 2. 答案：2 2 5．某地球仪上北纬 30°纬线圈的长度为 12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________ cm. 4 解析：如图所示，由题意知，北纬 30°所在小圆的周长为 12π，则该小 圆的半径 r＝6，其中∠ABO＝30°， 所以该地球仪的半径 R＝ 6 cos 30°＝4 3 cm. 答案：4 3 6．圆台的上、下底面半径分别为 5 cm,10 cm，母线长 AB＝20 cm，从圆台母线 AB 的中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点 A，求： (1)绳子的最短长度； (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 解析：(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图 中 AM 的长度，θ＝ 10－5 20 ×360°＝90°. 设 OB′＝L′，则 5 L′·360°＝90°，L′＝20. ∴OA＝40，OM＝30. ∴AM＝ OA2＋OM2＝50(cm)． 即绳子最短长度为 50 cm. (2)作 OQ⊥AM 于点 Q，交弧 BB′于点 P，则 PQ 为所求的最短距离． ∵OA·OM＝AM·OQ， ∴OQ＝24. 故 PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)， 即上底圆周上的点到绳子的最短距离为 4 cm.