2020年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析) 15页

2020 年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷(3 月份) 一、单项选择题（本大题共 10小题，共 40.0分） 1. 已知集合 ൌ ሼ ݔ ȁݔ ሼ ， ൌ ሼݔሼ ݔ ሺݔሼ െሺ ȁ ，则 ൌ ሺݔ A. ݔ ݔ െJሺ B. ݔ ݔ Jሺ C. Jሺݔ D. ݔ Jሺ . 设 ，若复数 ൌ 㐱ݔ 㐱 㐱是虚数单位ሺ的实部为ݔ 1 ，则 a的值为ݔሺ A. B. െ C. ݔ D. 2 . 已知 x，y满足约束条件 1 ሼ ሼ ݔ ，则 ൌ ሼ 的最小值是ݔ ሺ A. ݔ B. ݔ C. ݔ D. 3 . 设 ሼ ，则“1 ȁ ሼ ȁ െ”是“ݔ ȁ ሼ ȁ ”的ݔሺ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 െ. 函数 ሼሺݔ ൌ ሼݔ 1 ሼ ሺcosሼ在 ݔ Jሺ ݔJ上的大致图象为ݔ ሺ A. B. C. D. . 若线段 AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为其中点，则直线 BD与平面 MNP的位置关系是 ݔ ሺ A. 平行 B. 直线在平面内 C. 相交 D. 以上均有可能 7. 设的分布列为 1 2 3 4 P 1 1 1 1 又设 ൌ െ，则 ሺݔሺ等于ݔ A. 7 B. 17 C. 17 D. 8. 若函数 ሼ ൌ ln ሼ 1 ݔ ሼJሼ J ሼ ሼJሼ ȁ J 则函数 ሼ 的零点个数为ݔ ሺ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 斜三棱柱 棱 ݔ 11棱1中，底面 ABC是正三角形，侧面 11是矩形，且 1 ൌ ，M 是 AB的中点，记直线1与直线 BC所成的角为，直线1与平面 ABC所成的角为，二面 角1 ݔ 棱ݔ 的平面角为，则ݔሺ A. ȁ ， ȁ B. ȁ ， ȁ C. ȁ ， ȁ D. ȁ ， ȁ 10. 已知数列满足：1 ൌ ，1 ൌ ݔ ݔ 1 1ሺ 1，则1 ൌ ሺݔ A. 101 B. 122 C. 145 D. 170 二、填空题（本大题共 7小题，共 36.0分） 11. 双曲线 ݔ ሼ ൌ 1的渐近线方程是______，离心率为______． 12. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是______ ． 13. 二项式 ሼ ሼ 的展开式中第 െ项或第 项的二项式系数最大，则展开式中含ሼ项的系数为 __________ 14. 棱的内角A，B，C的对边分别为 a，b，.已知 ൌ ݔ棱݋ ，㐱棱݋ ൌ ， ൌ 1，则角棱 ൌ______． 15. 已知椭圆 ሼ ൌ 1的离心率是 ，过椭圆上一点 M作直线 MA，MB交椭圆于 A，B两点，且 斜率分别为1，，若点 A，B关于原点对称，则1 的值为______． 16. 已知平面向量、满足 ൌ 1，则 的最大值为______ ． 17. 若函数 ሼሺݔ ൌ ሼݔሼ ሼ ݔ െ在区间1ݔJሺ上单调递增，则 a的范围为__________． 三、解答题（本大题共 5小题，共 74.0分） 18. 已知 tanݔ ሺ ൌݔ ， Jݔ ሺ. 1ሺ求ݔ 的值； ሺ求ݔ sinݔ ݔ ሺ的值． 19. 如图，设 棱是边长为 2的正三角形，棱 平面 ABC，䁡䁡棱， 若 EA：AB：棱 ൌ ：2：1，F是 BE的中点． ：1ሺ证明ݔ 平面 ABE； ሺ求ݔ CE与平面 EAB所成角的正弦值． 20. 已知等差数列的前 n项和为， ൌ 1 ，且 ൌ 1 ， െ ൌ 1． ；1ሺ求数列的通项公式ݔ ሺ求1ݔ ． 21. 已知抛物线 ൌ ሼ的焦点为 F，过点 F的直线交抛物线于 A，B两点． 1ሺ若ݔ ൌ ，求直线 AB的斜率； ሺ设点ݔ M在线段 AB上运动，原点 O关于点 M的对称点为 C，求四边形 OACB面积的最小值． 22. 已知 ，函数 ሼሺݔ ൌ ሼ ݈ሼ ݔ 1.求当 ȁ ȁ 时．ݔሼሺ在区间ݔJ上的最小值． 【答案与解析】 1.答案：D 解析：解： ൌ ሼ ݔ ሼ ȁ ， ൌ ሼ ݔ െ ȁ ሼ ȁ ； ൌ ሼ ݔ ሼ ȁ ൌ ݔ Jሺ． 故选：D． 先求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算． 2.答案：D 解析：解： ，复数 ൌ 㐱ݔ 㐱 ൌ 㐱ሺݔݔ㐱ሺݔݔ 㐱ሺݔݔ㐱ሺݔ ൌ 1ݔ 1 ݔݔ 1 㐱的实部为 1 ， 1ݔ 1 ൌ 1 ，解得 ൌ ． 故选：D． 利用复数的运算法则、实部的定义即可得出． 本题考查了复数的运算法则、实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.答案：B 解析： 本题主要考查线性规划的应用，利用 z的几何意义，通过数 形结合是解决本题的关键． 作出不等式组对应的平面区域，设 ൌ ሼ 得 ൌݔ 1 ሼ 1 ，利用数形结合即可的得到结论． 解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得 ݔ，1J1ሺݔ ݔ J ݔ ሺ，棱ݔ ݔ െJ1ሺ， ൌ ሼ ，则 ൌݔ 1 ሼ 1 ， 当直线 ൌݔ 1 ሼ 1 过点 ݔ ݔ J ݔ ሺ时 z取到最小值， 所以 ൌ ሼ 的最小值是ݔ ݔ ݔ ሺ ൌݔ ， 故选：B． 4.答案：A 解析：解：根据充分必要条件的定义可得出：“1 ȁ ሼ ȁ െ”是“ݔ ȁ ሼ ȁ ”的充分不必要条件． 故选：A． 直接根据定义即可判断． 本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题． 5.答案：C 解析： 本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题． 判断函数的奇偶性，利用特殊位置的函数值符号判断选项即可． 解：由题意得 ሼሺ的定义域ݔ ሼሼ ， 因为 ， 所以函数 ሼሺ为奇函数，则排除ݔ A． 又 ， 则排除 B，D， 故选 C． 6.答案：A 解析：本题考查的是立体几何中直线与平面的位置关系，属于基础题． 在空间中 J棱J围成一个三角形，其中 J࡫分别为 棱J棱的中点， 䁡䁡࡫ 又 ࡫ 平面 ，࡫ 平面 MNP， 䁡䁡平面࡫． 7.答案：D 解析： 本题考查离散型随机变量数学期望，属于基础题． 直接代入公式得 ሺݔ ൌ 17 ，即可得 ሺݔ ൌ 17 െ ൌ ． 解：ݔሺ ൌ 1 1 1 1 1 ൌ 17 ， ሺݔ ൌ ݔ െሺ ൌ ሺݔ െ ൌ 17 െ ൌ ． 8.答案：C 解析： 本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础 题． 解：根据函数可做出如下图像： 当 ሼ 时，ݔሼሺ ൌ lnݔሼ 1ሺ ݔ ሼ，െݔሼሺ ൌ 1 ሼ1 ݔ 1， 令 െݔሼሺ ൌ ，得 ሼ ൌ ， 且 െݔሼሺ在 ሼ 恒小于零， Jݔሼሺ在ݔ ሺ单调递减， 可知 ሼሺ在ݔ ሼ ൌ 处取得最大值，最大值为 ሺݔ ൌ ， ሼ ൌ 是一个零点； 当 ሼ ȁ 时，ݔሼሺ ൌ ሼ ሼ，是简单的一元二次方程， 令 ሼሺݔ ൌ ，解得 ሼ ൌݔ 1或 ሼ ൌ ，舍去ሺݔ 综上可知 ሼሺ的零点有ݔ ሼ ൌݔ 1和 ሼ ൌ 两个零点， 故选 C． 9.答案：B 解析： 本题考查空间角的大小比较，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于中档题． 由最小角定理可得 ȁ ，找出及，通过中间量侧棱与底面所成的角比较大小即可得出答案． 解：由最小角定理可得 ȁ ，设 ൌ ，则 1 ൌ ， 侧面 11是矩形，M是 AB的中点， 1 ൌ ， 设侧棱与底面所成的角为，斜三棱柱的高为 ൌ 1 㐱݋ ൌ ，㐱݋ 㐱݋ ൌ 㐱݋ ， 取11的中点 N，并连接 MN，棱1，可得平面棱1棱 底面 ABC， 过点棱1作棱1 棱于点 O， 于点 G，连接棱1， 则 ൌ 棱1，可得 ൌ ，݋ 棱1 ൌ 棱1 ൌ cos 㐱݋ ൌ sin ȁ ， 㐱݋ ൌ 棱1 棱1 棱1 ൌ 㐱݋ ൌ ，㐱݋ 又，均为锐角，所以 ． 故选：B． 10.答案：C 解析：解： 1 ൌ ݔ ݔ 1 1ሺ 1 ， 则ݔ 1 ݔ 1ሺ ൌ ݔ ݔ 1 1ሺ， 1 ݔ 1 ݔ ݔ 1 ൌ 1， 数列 ݔ 1是等差数列，公差为 1． ݔ 1 ൌ 1 ݔ ݔ 1ሺ ൌ ，可得 ൌ 1， 1 ൌ 1 1 ൌ 1െ． 故选 C． 1 ൌ ݔ ݔ 1 1ሺ 1 ，可得ݔ 1 ݔ 1ሺ ൌ ݔ ݔ 1 1ሺ， 1 ݔ 1 ݔ ݔ 1 ൌ 1， 利用等差数列的通项公式即可得出． 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.答案： ൌ ሼ െ 解析：解：由 ݔ ሼ ൌ 得其渐近线方程为 ൌ ሼ， ൌ ， ൌ െ， ൌ െ ． 故答案为： ൌ ሼ； െ ． 由 ݔ ሼ ൌ ，能求出其渐近线方程，再由 ൌ ， ൌ െ，能求出其离心率． 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用． 12.答案： െ 解析：解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱 棱࡫ 底面 ABC； 所以，棱 ൌ 1 ൌ ， 棱࡫ ൌ 棱࡫ ൌ 1 1 1 ൌ െ ， ࡫ ൌ 1 1 ൌ െ； 所以，该三棱锥的表面积为 ൌ െ െ ൌ െ． 故答案为： െ． 根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥， 根据题意画出图形，结合图形求出它的表面积． 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积 和，是基础题 13.答案：1 解析：因为二项式 ሼ ሼ 的展开式中第 െ项或第 项的二项式系数最大，所以展开式共有 1项， 即 ൌ ；则展开式的通项为1 ൌ 棱 ሼ ݔ ሼ ൌ 棱 ሼ െݔ ，令 െݔ ൌ ൌ 1；所以展开式 中含ሼ项为为1棱 1 ൌ 1. 14.答案： 解析：解：由 棱݋ ൌ ݔ ， ൌ ݔ ݔ ，㐱棱݋ 可得 ݔ ൌݔ ，㐱棱݋ ݋ ൌݔ ，㐱棱݋ 由正弦定理：݋㐱棱݋ ൌݔ ，㐱棱݋㐱݋ 㐱棱݋ 可得：݋ ൌݔ ．㐱݋ ȁ ȁ ． ൌ ， 由 㐱݋ ൌ ，㐱棱݋ 可得 㐱棱݋ ൌ 1 ， 棱 ൌ ， 故答案为： ． 利用正余弦定理化简可得答案． 本题考查三角形的正弦弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题． 15.答案：ݔ 1 解析：解：椭圆 ሼ ൌ 1的离心率是 ， ൌ ， ൌ ൌ ， 于是椭圆的方程可化为：ሼ ൌ ． 设 䁪Jሺ，直线ݔ AB的方程为： ൌ ሼ，可设：ݔሼJሼሺ，ݔ ݔ ሼJ ݔ ሼሺ. 则䁪 ൌ ，ሼ ሼ ൌ ， 䁪 ݔ ሼ ൌ ሼ ݔ ． 1 ൌ ሼݔ ሼݔ䁪 ݔሼݔ 䁪ݔሼݔ ൌ ሼݔ 䁪ݔሼ ൌ ሼݔ ሼ ݔ ൌݔ 1 ． 故答案为：ݔ 1 ． 椭圆 ሼ ൌ 1的离心率是 ，则椭圆的方程可化为：ሼ ൌ .设 䁪Jሺ，直线ݔ AB的方程为： ൌ ሼ，可设：ݔሼJሼሺ，ݔ ݔ ሼJ ݔ ሼሺ.代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题． 16.答案： 1 解析：解：由 ൌ 1， 则 ൌ ሺݔ ݔ ሺݔݔ ൌ 1 ݔ ሺݔݔ 1 ， 当且仅当 ൌ ， 即 ൌ 1 时，上式等号成立． 最大值为 1 ． 故答案为： 1 ． 17.答案： 1 J ሺ 解析： 本题考查利用导数研究函数单调性问题，属于基础题． 解：函数 ሼሺݔ ൌ ሼݔሼ ሼ ݔ െ在 ሼ ሼሺݔ1Jሺ上单调递增，െݔ ൌ ሼ ݔ ሼ 1 ，即 ሼ1ݔ ሼ ൌ 1 ݔ ݔ 1 ሼ ሼ ሺmax， 令 ሼሺݔ ൌ 1 ݔ ݔ 1 ሼ ሼ ሺ，ሼ 1Jሺ，则ݔ ሼ ൌݔ 1 ݔ 1 ሼ ݔ 1ሺ 1 ， 1 ሼ ݔ 1 J1ሺ， ሼ ȁ 1 ，所以 1 ． 故答案为 1 J ሺ． 18.答案：解：1ݔሺ tanݔ ሺ ൌݔ ， Jݔ ሺ， ，且 ， 求得 ൌ ． ， ， sinݔ ݔ ሺ ൌ 㐱݋ 1 ݔ ݋ ൌ െ 1 ൌ 1 ． 解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于中档题． 1ሺ由题意利用两角和的正切公式求得ݔ 的值． ሺ由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得ݔ sinݔ ݔ ሺ的值． 19.答案：证明：1ݔሺ取 AB中点 M，连结 MC， 棱是边长为 2的正三角形，F是 BE的中点， 䁡䁡， ൌ 1 ൌ 1 ൌ 棱， 又 䁡䁡棱， 䁡䁡棱，且 ൌ 棱， 四边形 FMCD是平行四边形， 䁡䁡棱， 棱 平面 ABC， 棱 棱， 又 䁡䁡棱， 棱， 棱 ， ， ， ൌ ， 平面 ABE． 解：ݔሺ连结 EM， 棱 平面 ABE， 棱是 CE与平面 EAB所成角， 棱是边长为 2的正三角形，棱 平面 ABC， 䁡䁡棱，EA：AB：棱 ൌ ：2：1， 棱 ൌ ݔ 1 ൌ ，棱 ൌ ൌ ， sin棱 ൌ 棱 棱 ൌ ൌ ． 棱与平面 EAB所成角的正弦值为 ． 解析：1ݔሺ取 AB中点 M，连结 MC，推导出 䁡䁡，从而 䁡䁡棱，且 ൌ 棱，进而四边形 FMCD 是平行四边形，䁡䁡棱，由 棱 平面 ABC，得 棱 棱，从而 棱，求出 ， ， 由此能证明 平面 ABE． ሺ连结ݔ EM，由 棱 平面 ABE，得棱是 CE与平面 EAB所成角，由此能求出 CE与平面 EAB 所成角的正弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20.答案：解：1ݔሺ设 的公差为 d ，则 ൌ 1 ݔ 1 ， ൌ 1 ݔ 1 ， ൌ 1 ， ൌ 1 1 1ݔ ൌ 1 1ݔ ， ൌ 1 ， 1 1 ൌ 1 1 ൌ 1 ， 1 ൌ ， ൌ 1 ， ൌ 1 ݔ 1 ൌ 1 ， െ ൌ 1， െ ൌ 1， ൌ 1， ൌ 1 ， ሺݔ ൌ 1 ൌ 1 ݔ 1 1 ， 1 ൌ 1 ݔ 1 1 ݔ 1 1 ݔ 1 1 ൌ 1 ݔ 1 1 ， 1 ൌ ݔ 1 ൌ 1 ． 解析：本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和、裂项相消、以及方程的思想，属于一般题． 1ሺ用通项公式和前ݔ n 项和的公式，把所有量用1和 d表示，列出方程即可得解； ሺ对于数列的通项公式是ݔ ൌ 1 ൌ 1 ݔ 1 1 这种数列一般用裂项相消求和． 21.答案：解：1ݔሺ依题意可设直线 ：ሼ ൌ 䁪 1 ， 将直线 AB与抛物线联立 ሼ ൌ 䁪 1 ൌ ሼ ݔ 䁪 ݔ 1 ൌ 设 ሼJሺ，由韦达定理得1ݔ，ሼ1J1ሺݔ ൌ 䁪J1 ൌݔ 1 ， ൌ 1 ൌݔ ， 䁪 ൌ 1 ， 斜率为 或ݔ ． ሺ棱ݔ ൌ ൌ 1 1 ݔ ൌ 1 1 ݔ ൌ 1 1ݔ ሺ ݔ 1 ൌ 1 䁪 1 ൌ 1 当 䁪 ൌ 时，四边形 OACB的面积最小，最小值为 1 ． 解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，弦长公式以及二次函数的性质的应用，考查分析 问题解决问题的能力． 1ሺ设直线ݔ ：ሼ ൌ 䁪 1 ，将直线 AB与抛物线联立，设 ሼJሺ，由韦达定理业绩向ݔ，ሼ1J1ሺݔ 量关系，求解直线的斜率即可 ．ሺ利用三角形的面积公式以及弦长公式，结合二次函数的性质求解函数的最小值即可ݔ 22.答案：解：因为 ሼሺݔ ൌ ሼ ݈ሼݔ 1， 所以 െݔሼሺ ൌݔ ሼ 1 ሼ ൌ ሼݔ ሼ ，ሼ .Jݔ 令 െݔሼሺ ൌ ，得 ሼ ൌ ． 由 ȁ ȁ ，则当 ሼ ሼሺݔJሺ时，െݔ ȁ ，函数 ；Jሺ上是减少的ݔሼሺ在区间ݔ 当 ሼ ሼሺݔJ时，െݔ ，函数 ，J上是增加的ݔሼሺ在区间ݔ 所以当 ሼ ൌ 时，函数 ሼሺ取得最小值ݔ lna； 解析：求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值即可． 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，考查计算能力．