高考数学专题复习教案： 函数的奇偶性与周期性易错点 2页

函数的奇偶性与周期性易错点 主标题：函数的奇偶性与周期性易错点 副标题：从考点分析函数的奇偶性与周期性易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。‎ 关键词：函数，奇偶性，周期性，易错点 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容：‎ ‎【易错点】‎ ‎1．对奇偶函数的认识及应用 ‎(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)‎ ‎(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)‎ ‎(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)‎ ‎(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)‎ ‎(5)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝－2.(√)‎ ‎(6)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．(×)‎ ‎2．对函数周期性的理解 ‎(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)‎ ‎(8)若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是奇函数．(×)‎ ‎[剖析]‎ ‎1．两个防范　一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；‎ 二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．‎ ‎2．三个结论　一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)；‎ 二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±(f(x)≠0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)；‎ 三是若函数f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是偶函数，如(8)中因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数是周期函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(－x)＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，所以导函数是偶函数.‎