【数学】2019届一轮复习北师大版三角函数的概念、三角恒等变换学案 10页

第 9 练　三角函数的概念、三角恒等变换 [明考情] 三角函数的概念和三角恒等变换是研究三角函数图象、性质的基础，常在交汇点处命题，个 别年份单独命题，难度中档偏下. [知考向] 1.任意角的三角函数. 2.三角函数的求值与化简. 3.三角恒等变换的应用. 考点一　任意角的三角函数 要点重组　(1)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成集合 S＝{β|β ＝α＋k·360°，k∈ }. (2)三角函数：角 α 的终边与单位圆交于点 P1(x，y)，则 sinα＝y，cosα＝x，tanα＝y x(x≠0). (3)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 1.已知圆 O：x2＋y2＝4 与 y 轴正半轴的交点为 M，点 M 沿圆 O 顺时针运动π 2弧长到达点 N， 以 ON 为终边的角记为 α，则 tanα 等于(　　) A.－1B.1C.－2D.2 答案　B 解析　圆的周长为 4π，π 2弧长对应的圆心角为π 4，故以 ON 为终边的角为Error!，故 tanα＝ 1. 2.已知点 P(－4，3)是角 α 终边上的一点，则 sin(π－α)等于(　　) A.3 5B.－3 5C.－4 5D.4 5 答案　A 3.(2017·广西南宁适应性考试)已知角 θ 的终边经过点(2sin2π 8－1，a)，若 sin θ＝2 3sin 13π 12 cos π 12，则实数 a 等于(　　) A.－ 6B.－ 6 2 C.± 6D.± 6 2 答案　B 解析　由题意 2sin2π 8－1＝－cosπ 4＝－ 2 2 ， 得 sinθ＝ a 1 2＋a2 ＝－2 3sin π 12cos π 12＝－ 3 2 ，且 a<0，解得 a＝－ 6 2 .故选 B. 4.(2017·北京)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴 对称.若 sinα＝1 3，则 sinβ＝________. 答案　1 3 解析　由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称， 可知 α＋β＝π＋2kπ(k∈ )，所以 β＝2kπ＋π－α(k∈ )，所以 sinβ＝sinα＝1 3. 5.函数 y＝ 2sinx－1的定义域是________. 答案　[2kπ＋π 6，2kπ＋5π 6 ]，k∈ 考点二　三角函数的求值与化简 要点重组　(1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinα cosα＝tanα. (2)诱导公式：角 k 2π±α(k∈ )的三角函数口诀： 奇变偶不变，符号看象限. (3)和差公式. 方法技巧　(1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”；注意角的变形，看函数名 称之间的关系；观察式子的结构特点. (2)公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点，sin 2α＝ 1－cos2α 2 ，cos2α＝ 1＋cos2α 2 . 6.设 α 为锐角，若 cos(α＋π 6 )＝4 5，则 sin (2α＋π 3)的值为(　　) A.12 25B.24 25C.－24 25D.－12 25 答案　B 解析　因为 α 为锐角，且 cos(α＋π 6 )＝4 5， 所以 sin(α＋π 6 )＝ 1－cos2(α＋π 6 )＝3 5， 所以 sin(2α＋π 3)＝sin2(α＋π 6 )＝2sin(α＋π 6 )cos(α＋π 6 )＝2×3 5×4 5＝24 25，故选 B. 7.(2016·全国Ⅲ)若 tanα＝3 4，则 cos2α＋2sin2α 等于(　　) A.64 25B.48 25C.1D.16 25 答案　A 解析　因为 tanα＝3 4，则 cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2α cos2α＋sin2α ＝1＋4tanα 1＋tan2α＝64 25. 8.若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则 tan(α－β)等于(　　) A.1 4B.1 2C.4D.12 答案　C 解析　由已知得 4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17， ∴tanα－tanβ＝4(1＋tanαtanβ)， ∴tan(α－β)＝ tanα－tanβ 1＋tanαtanβ＝4. 9.若 tan(α＋π 4 )＝1 2，且－π 2＜α＜0，则2sin2α＋sin2α cos(α－π 4 ) ＝________. 答案　－2 5 5 解析　由 tan(α＋π 4 )＝tanα＋1 1－tanα＝1 2，得 tanα＝－1 3. 又－π 2＜α＜0，所以 sinα＝－ 10 10 . 故2sin2α＋sin2α cos(α－π 4 ) ＝2sinα(sinα＋cosα) 2 2 (sinα＋cosα) ＝2 2sinα＝－2 5 5 . 10.已知 cos(2α－β)＝－11 14，sin(α－2β)＝4 3 7 ，0＜β＜π 4＜α＜π 2，则 α＋β＝________. 答案　π 3 解析　因为 cos(2α－β)＝－11 14且π 4＜2α－β＜π， 所以 sin(2α－β)＝5 3 14 . 因为 sin(α－2β)＝4 3 7 且－π 4＜α－2β＜π 2， 所以 cos(α－2β)＝1 7. 所以 cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－11 14×1 7＋5 3 14 ×4 3 7 ＝1 2. 因为π 4＜α＋β＜3π 4 ， 所以 α＋β＝π 3. 考点三　三角恒等变换的应用 要点重组　辅助角公式：asinα＋bcosα＝ a2＋b2·sin(α＋φ)， 其中 cosφ＝ a a2＋b2，sinφ＝ b a2＋b2. 11.(2016·山东)函数 f(x)＝( 3sinx＋cosx)·( 3cosx－sinx)的最小正周期是(　　) A.π 2B.πC.3π 2 D.2π 答案　B 解析　∵f(x)＝2sinxcosx＋ 3(cos2x－sin2x) ＝sin2x＋ 3cos2x＝2sin(2x＋π 3)，∴T＝π，故选 B. 12.(2016·全国Ⅱ)函数 f(x)＝cos2x＋6cos (π 2－x )的最大值为(　　) A.4B.5C.6D.7 答案　B 解析　由 f(x)＝cos2x＋6cos(π 2－x )＝1－2sin2x＋6sinx＝－2(sinx－3 2)2＋11 2 ，所以当 sinx＝1 时函数取最大值，最大值为 5，故选 B. 13.已知函数 f(x)＝cos2x－sin2x，下列说法错误的是(　　) A.f(x)的最小正周期为 π B.直线 x＝π 2是 f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在(－π 4，π 4)上单调递增 D.|f(x)|的值域是[0，1] 答案　C 解析　f(x)＝cos2x，f(x)在(－π 4，π 4)上不单调， ∴选项 C 中的结论错误. 14.(2017·湖南十三校联考)函数 f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则 tanθ＝______. 答案　－ 3 解析　因为函数 f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，所以 f(0)＝ 3cosθ＋sinθ＝0， 有 tanθ＝－ 3. 15.函数 f(x)＝sinx－cos (x＋π 6 )的值域为________. 答案　[－ 3， 3] 解析　f(x)＝sinx－cos(x＋π 6 )＝sinx－( 3 2 cosx－1 2sinx)＝3 2sinx－ 3 2 cosx ＝ 3( 3 2 sinx－1 2cosx)＝ 3sin(x－π 6 )∈[－ 3， 3]. 1.设 cos(－80°)＝k，那么 tan100°等于(　　) A. 1－k2 k B.－ 1－k2 k C. k 1－k2D.－ k 1－k2 答案　B 解析　sin80°＝ 1－cos280°＝ 1－cos2(－80°)＝ 1－k2， 所以 tan100°＝－tan80°＝－sin80° cos80°＝－ 1－k2 k . 2.设 α∈(0，π 2 )，β∈(0，π 2 )，且 tanα＝1＋sinβ cosβ ，则(　　) A.3α－β＝π 2B.2α－β＝π 2C.3α＋β＝π 2D.2α＋β＝π 2 答案　B 解析　∵tanα＝sinα cosα＝1＋sinβ cosβ ， ∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ， ∴sin(α－β)＝cosα＝sin(π 2－α ). ① ∵0＜α＜π 2，0＜β＜π 2， ∴－π 2＜α－β＜π 2，0＜π 2－α＜π 2， ∴由①得 α－β＝π 2－α，即 2α－β＝π 2.故选 B. 3.已知 sinθ＋cosθ＝ 7 13，θ∈(0，π)，则 tanθ 的值为________. 答案　－12 5 解析　∵sinθ＋cosθ＝ 7 13，θ∈(0，π)， ∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝ 49 169， ∴sinθcosθ＝－ 60 169， ∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝289 169. 又 θ∈(0，π)， ∴sinθ＞0，cosθ＜0， ∴sinθ－cosθ＝17 13， ∴sinθ＝12 13，cosθ＝－ 5 13， ∴tanθ＝－12 5 . 解题秘籍　(1)使用平方关系求函数值，要注意角的某象限和三角函数值的符号. (2)利用三角函数值求角要解决两个要素：①角的某一个三角函数值；②角的范围(尽量缩 小). 1.点 P 从(1，0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 逆时针方向运动2π 3 弧长到达 Q 点，则点 Q 的坐标 为(　　) A.(－1 2， 3 2 ) B.(－ 3 2 ，－1 2) C.(－1 2，－ 3 2 ) D.(－ 3 2 ，1 2) 答案　A 解析　设点 Q 的坐标为(x，y)， 则 x＝cos2π 3 ＝－1 2，y＝sin2π 3 ＝ 3 2 . ∴点 Q 的坐标为(－1 2， 3 2 ). 2.若 0≤sinα≤ 2 2 ，且 α∈[－2π，0]，则 α 的取值范围是(　　) A.[－2π，－7π 4 ]∪[－5π 4 ，－π] B.[－2π＋2kπ，－7π 4 ＋2kπ]∪[－5π 4 ＋2kπ，－π＋2kπ](k∈ ) C.[0，π 4 ]∪[3π 4 ，π] D.[2kπ，2kπ＋π 4]∪[2kπ＋3π 4 ，2kπ＋π](k∈ ) 答案　A 解析　根据题意并结合正弦线可知， α 满足[2kπ，2kπ＋π 4]∪[2kπ＋3π 4 ，2kπ＋π](k∈ )， ∵α∈[－2π，0]，∴α 的取值范围是[－2π，－7π 4 ]∪[－5π 4 ，－π].故选 A. 3.(2017·贵州七校联考)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 sin (2θ＋π 4)的值为(　　) A.－7 2 10 B.7 2 10 C.－ 2 10 D. 2 10 答案　D 解析　由题意得 tanθ＝2， ∴sin2θ＝2sinθcosθ＝ 2tanθ 1＋tan2θ＝4 5， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1－tan2θ 1＋tan2θ＝－3 5， ∴sin(2θ＋π 4)＝ 2 2 (sin2θ＋cos2θ)＝ 2 10 . 4.(2017·安徽淮北二模)已知 α 满足 sinα＝1 3，则 cos(π 4＋α )cos (π 4－α )等于(　　) A. 7 18B.25 18C.－ 7 18D.－25 18 答案　A 解析　cos(π 4＋α )cos(π 4－α )＝ 2 2 (cosα－sinα)· 2 2 (cosα＋sinα)＝1 2(cos2α－sin2α) ＝1 2(1－2sin2α)＝1 2(1－2 × 1 9)＝ 7 18， 故选 A. 5.2cos10°－sin20° sin70° 的值是(　　) A.1 2B. 3 2 C. 3D. 2 答案　C 解析　原式＝2cos(30°－20°)－sin20° sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20° sin70° ＝ 3cos20° cos20° ＝ 3. 6.已知 sinα＝ 5 5 ，sin(α－β)＝－ 10 10 ，α，β 均为锐角，则角 β 等于(　　) A.5π 12B.π 3C.π 4D.π 6 答案　C 解析　因为 α，β 均为锐角， 所以－π 2＜α－β＜π 2. 又 sin(α－β)＝－ 10 10 ， 所以 cos(α－β)＝3 10 10 . 又 sinα＝ 5 5 ，所以 cosα＝2 5 5 . 所以 sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β) ＝ 5 5 ×3 10 10 －2 5 5 ×(－ 10 10 )＝ 2 2 ，所以 β＝π 4. 7.tan70°＋tan50°－ 3tan70°tan50°的值等于(　　) A. 3B. 3 3 C.－ 3 3 D.－ 3 答案　D 解析　因为 tan120°＝ tan70°＋tan50° 1－tan70°tan50°＝－ 3， 即 tan70°＋tan50°－ 3tan70°tan50°＝－ 3. 8.记 a＝sin(cos2010°)，b＝sin(sin2010°)，c＝cos(sin2010°)，d＝cos(cos2010°)，则 a，b，c， d 中最大的是(　　) A.aB.bC.cD.d 答案　C 解析　注意到 2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此 sin 2 010°＝－sin 30°＝－1 2，cos 2 010°＝－cos 30°＝－ 3 2 ，因为－π 2＜－ 3 2 ＜0，－π 2＜－1 2＜ 0，0＜1 2＜ 3 2 ＜π 2，所以 cos 1 2＞cos 3 2 ＞0，所以 a＝sin (－ 3 2 )＝－sin 3 2 ＜0，b＝sin (－1 2 )＝－sin1 2＜0，c＝cos(－1 2 )＝cos1 2＞d＝cos(－ 3 2 )＝cos 3 2 ＞0，因此 c 最大. 9.已知角 α 终边上一点 P(－4，3)，则 cos(π 2＋α )sin(－π－α) cos(11π 2 －α)sin(9π 2 ＋α)的值为________. 答案　－3 4 解析　原式＝ －sinα·sinα －sinα·cosα＝tanα. 根据三角函数的定义，得 tanα＝y x＝－3 4， 所以原式＝－3 4. 10.已知 sin(x＋π 3 )＝1 3，则 sin(5π 3 －x)－cos (2x－π 3)的值为________. 答案　4 9 解析　sin(5π 3 －x)－cos(2x－π 3)＝sin[2π－(x＋π 3 )]－cos2[(x＋π 3 )－π 2] ＝－sin(x＋π 3 )＋cos2(x＋π 3 )＝－sin(x＋π 3 )＋1－2sin2(x＋π 3 )＝－1 3＋1－2 9＝4 9. 11.若函数 f(x)＝cosωxcos(π 2－ωx)(ω＞0)的最小正周期为 π，则 ω 的值为________. 答案　1 解析　由于 f(x)＝cosωxcos(π 2－ωx)＝1 2sin2ωx，所以 T＝2π 2ω＝π⇒ω＝1. 12.若 α∈(0，π 2 )，则 sin2α sin2α＋4cos2α的最大值为________. 答案　1 2 解析　∵α∈(0，π 2 )， ∴ sin2α sin2α＋4cos2α＝ 2sinαcosα sin2α＋4cos2α＝ 2tanα tan2α＋4，且 tanα>0， ∴ 2tanα tan2α＋4＝ 2 tanα＋ 4 tanα ≤ 2 2 4 ＝1 2， 故 sin2α sin2α＋4cos2α的最大值为1 2.