2018届河南省百校联盟TOP20一月联考数学理卷（全国Ⅰ卷） 11页

www.ks5u.com 百校联盟2018届TOP20一月联考（全国Ⅰ卷）‎ 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设全集为实数集，已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）‎ A． B．或 C． D． ‎ ‎2.若，则（ ）‎ A． B． C．16 D．8‎ ‎3.某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客侯车时间超过 7分钟的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.命题，命题函数在上有零点，则是的（ ）‎ A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.如图所示，程序输出的结果为，则判断框中应填（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知，则函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ ‎ ‎ C． D．‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B．‎61 C．62 D．73‎ ‎8.根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆.地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点.已知月球的近地点约为36万千米，月球轨道上点与椭圆两焦点构成的三角形面积约为(万千米)2，，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.函数，则下面 4 个结论:‎ ‎①函数图象的对称轴为 ‎②将图象向右平移1个单位后，得到的函数为奇函数 ‎③函数的单调递增区间为 ‎④经过点的直线和图象一定有交点 正确结论的个数是（ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4 ‎ ‎10.如图所示，四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等边三角形且垂直于底面，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.双曲线，，方向向量为的直线过点且与双曲线交于两点，,，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.函数满足，，若存在，使得成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 向量，且，则的坐标为 ．‎ ‎14. 若满足约束条件则的最小值为 ．‎ ‎15.若，则 ‎ ．‎ ‎16.中，角的对边分别为，若，，则外接圆面积的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 正项数列满足，，数列为等差数列，，.‎ ‎（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎18.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位：克）分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过‎20克的为合格.‎ ‎（1）从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；‎ ‎（2）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；‎ ‎（3）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用表示乙车间的零件个数，求的分布列与数学期望.‎ ‎19.如图所示，在底面为正方形的四棱柱中，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.已知点，过点且与轴垂直的直线为，轴，交于点，直线垂直平分，交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点，且（为常数），直线与平行，且与曲线相切，切点为，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.‎ ‎21.函数在处的切线斜率为.‎ ‎（1）讨论函数的单调性； ‎ ‎（2）设，，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求经过椭圆右焦点且与直线垂直的直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若为椭圆上任意-点，当点到直线距离最小时，求点的直角坐标.‎ ‎23.选修4一5:不等式选讲 函数，，函数的最小值为. ‎ ‎（1）求不等式组的解集；‎ ‎（2），求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CADCB 6-10: ACBAB 11、12：AA 二、填空题 ‎13. 或 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. （1）由题可得，∵，∴，‎ ‎∴，∴是首项为，公比为3的等比数列. ‎ ‎∴，.∴，‎ ‎∴∴∴.‎ ‎（2）由（1）得，，则，‎ 所以，‎ 令 ①，②，‎ 一、 ‎②得.‎ 所以. .‎ ‎18.（1）甲车间合格零件数为4，乙车间合格的零件数为2，‎ ‎∴.‎ ‎（2）设事件表示“2件合格，2件不合格”；事件表示“3件合格，1件不合格”；事件表示“4件全合格”； 事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.‎ ‎∴,‎ ‎∴.故所求概率为.‎ ‎（3）可能取值为0，1，2.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 分别列为 ‎∴.‎ ‎19.（1）证明：连接交于，∴为中点，‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,为公共边.‎ ‎∴,∴.‎ 又,∴平面. ‎ ‎∵,∴为平行四边形.‎ ‎∴,∴平面，‎ 又在平面内，∴平面平面. ‎ ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵,∴为等边三角形，∴.‎ 又,∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴，，‎ ‎.‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎∴ 即 ∴.‎ 令，∴.‎ 设与平面所成角为.‎ ‎∴.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.（1）由题意得，即动点到点的距离和到直线的距离相等，‎ 根据抛物线定义可知点轨迹方程为.‎ ‎（2）设直线方程为，‎ 联立得 .‎ ‎∴.‎ 设中点为,∴.‎ 设切线方程为，‎ 联立得 .‎ ‎∴，∴，∴切点的横坐标为，∴ .‎ ‎∴轴.‎ ‎∵，∴，∴.‎ ‎∴，‎ ‎∵为常数，∴的面积为定值. ‎ ‎21.（1）的定义域为，‎ ‎，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴，.‎ ‎（ⅰ）当时，，在上单调递增；‎ ‎（ⅱ）当时，令，，‎ ‎，，时，，‎ 则在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（ⅲ）当时，，时，值大于0，则在上单调递增.‎ 综上所述，时，上单调递增区间为；时，的单调递增区间为，单调递 减区间为 .‎ ‎（2），由题意得，‎ ‎，‎ 设 ，，‎ 设，，‎ 当时，，∴，∴单调递减，‎ 则当时，，∴，∴单调递减，∴，∴，∴单调递减，‎ ‎∴，，‎ 令，∴，∴，∴，‎ ‎∴，∴，∴或，‎ 又因为，所以的取值范围为. ‎ ‎22.（1）椭圆方程，，‎ 直线的直角坐标方程为，‎ ‎∴与垂直的直线斜率为，‎ ‎∴直线方程为，即，‎ 则极坐标方程为. ‎ ‎（2）设，点到直线的距离，‎ 此时，‎ 当时，取最小值，此时，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴点坐标为.‎ ‎23.（1），∴。‎ 解，得，∴.‎ 设.‎ ‎∴的解集为.‎ ‎（2） 所以的最小值为 4.‎ ‎ (当且仅当时，等号成立），‎ ‎∴，∴. ‎