【数学】2020届一轮复习北师大版简易逻辑课时作业 7页

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．下列语句中是命题的个数有(　　)‎ ‎①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；‎ ‎②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”；‎ ‎③“一个数不是正数就是负数”；‎ ‎④“x·y为有理数，则x，y也都是有理数”；‎ ‎⑤“作△ABC∽△A′B′C′”．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　根据命题的概念，判断是不是命题．‎ ‎①不是陈述句，不是命题．‎ ‎②疑问句．没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．‎ ‎③是假命题.0既不是正数也不是负数．‎ ‎④是假命题．如x＝，y＝－.‎ ‎⑤是祈使句，不是命题．‎ ‎2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为(　　)‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 答案　C 解析　命题p是一个特称命题，其否定是全称命题“∀n∈N，n2≤2n”．‎ ‎3．命题“若x＋y＝1，则xy≤1”的否命题是(　　)‎ A．若x＋y＝1，则xy>1‎ B．若x＋y≠1，则xy≤1‎ C．若x＋y≠1，则xy>1‎ D．若xy>1，则x＋y≠1‎ 答案　C 解析　命题“若x＋y＝1，则xy≤1”的否命题是“若x＋y≠1，则xy>1”．‎ ‎4．若“p∧q”与“(綈p)∨q”均为假命题，则(　　)‎ A．p真q假 B．p假q真 C．p与q均真 D．p与q均假 答案　A 解析　“p∧q”为假，则p，q中至少有一假；“(綈p)∨q”为假，则綈p，q均为假．∴p真，q假．‎ ‎5．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，下列说法正确的是(　　)‎ A．命题p的逆命题：若xy，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ 答案　C 解析　由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q 为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题．‎ ‎8．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．‎ ‎9．“a>3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当a>3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)<0，即函数f(x)＝ax ‎＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点时，不一定是a>3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a>3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎10．以下判断正确的是(　　)‎ A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题 B．命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，x>x”‎ C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件 D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数”的充要条件 答案　D 解析　“负数的平方是正数”即为“∀x<0，x2>0”，是全称命题，所以A不正确；因为全称命题“∀x∈N，x3>x2”的否定为“∃x0∈N，x≤x”，所以B不正确；因为f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期为π时，有＝π，则|a|＝1⇒a＝±1.故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，所以C不正确，故选D.‎ ‎11．△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC＝(cosA＋sinA)cosB”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若A，B，C成等差数列，则A＋C＝2B，∴B＝60°，若sinC＝(cosA＋sinA)cosB，则sin(A＋B)＝cosAcosB＋sinAcosB，‎ 即sinAcosB＋cosAsinB＝cosAcosB＋sinAcosB.‎ ‎∴cosAsinB＝cosAcosB.∴cosA＝0或tanB＝，即A＝90°或B＝60°，‎ ‎∴角A，B，C成等差数列是sinC＝(cosA＋sinA)·cosB成立的充分不必要条件．‎ ‎12．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若“p或q”为假命题，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．[2，＋∞)‎ B．(－∞，－2]‎ C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ D．[－2,2]‎ 答案　A 解析　依题意，知p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，方程x2＋mx＋1＝0的判别式Δ＝m2－4≥0，即m≤－2或m≥2.由p，q均为假命题，得即m≥2.‎ 第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定是_____________________；它的否命题是____________________．‎ 答案　末位数字是0或5的整数不能被5整除　末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除 解析　命题的否定是只否定结论，而否命题是条件和结论都否定．‎ ‎14．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．‎ 答案　存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3‎ 解析　全称命题的否定是特称命题，因此命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是“存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3”．‎ ‎15．已知命题p：关于x的方程x2＋2x＋a＝0有实数根，命题q：函数f(x)＝(a2－a)x在R上是增函数．若p∧q为真命题，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，0)‎ 解析　当p是真命题时，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.‎ 当q是真命题时，a2－a>0，解得a<0或a>1.‎ 由题意，得p，q都是真命题，所以解得a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．‎ ‎16．所给命题：‎ ‎①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；‎ ‎②{x|x2＋1＝0，x∈R}＝∅或{0}＝∅；‎ ‎③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；‎ ‎④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．‎ 其中为真命题的序号为________．‎ 答案　②③④‎ 解析　对于①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”，对角线互相平分的四边形不一定是菱形，故错．‎ 对于②，{x|x2＋1＝0，x∈R}＝∅正确，{0}中有一个元素0，∅中一个元素都没有，故∅{0}，所以②为真命题．‎ 对于③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假，故正确．‎ 对于④，满足有两条边相等且有一个内角为60°的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°，故正确．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.‎ ‎(1)写出綈p并判断真假；‎ ‎(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．‎ 解　(1)綈p：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．‎ 因为a，b，c，d∈Q，由aπ＋b＝cπ＋d，‎ 所以π(a－c)＝d－b∈Q，则a＝c且b＝d.‎ 故p是真命题，所以綈p是假命题．‎ ‎(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．‎ 否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d.”真命题．‎ 逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．‎ ‎18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：‎ ‎(1)所有自然数的平方是正数；‎ ‎(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；‎ ‎(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；‎ ‎(4)有些质数不是奇数．‎ 解　(1)所有自然数的平方是正数，假命题；‎ 否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．‎ ‎(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；‎ 否定：∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题．‎ ‎(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；‎ 否定：∃x0∈R，x－3x0＋3≤0，假命题．‎ ‎(4)有些质数不是奇数，真命题；‎ 否定：所有的质数都是奇数，假命题．‎ ‎19．(本小题满分12分)求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是00，‎ 且>0，‎ ‎∴方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．‎ ‎(2)必要性：若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，‎ 则有解得00，q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．‎ 解　解不等式x2－8x－33>0，得p：A＝{x|x>11或x<－3}；‎ 解不等式x2－2x＋1－a2>0，得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．‎ 依题意p⇒q但qp，说明AB.‎ 于是有或解得0，x∈R；q：－2