【数学】2020届一轮复习（理）北师大版1-1集　合学案 12页

第1节　集　合 最新考纲　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；‎ ‎3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.‎ 知 识 梳 理 ‎1.元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.‎ ‎2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 集合间的基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ‎3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁UA 图形表示 集合表示 ‎{x|x∈A，或x∈B}‎ ‎{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎4.集合的运算性质 ‎(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.‎ ‎(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.‎ ‎(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.‎ ‎[微点提醒]‎ ‎1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.‎ ‎2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.‎ ‎3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.‎ ‎4. ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　)‎ ‎(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)‎ ‎(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　)‎ ‎(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.(　　)‎ 解析　(1)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.‎ ‎(2)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.‎ ‎(4)错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2.(必修1P5练习1改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)‎ A.a∈P B.{a}∈P C.{a}⊆P D.a∉P 解析　因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.‎ 答案　D ‎3.(必修1P19A(1)4改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________.‎ 解析　由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个).‎ 答案　64‎ ‎4.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)‎ A.{x|－12}‎ D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}‎ 解析　法一　A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}.‎ 法二　因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}.‎ 答案　B ‎5.(2019·南昌模拟)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则实数a的取值范围为(　　)‎ A.[－1，1] B.[1，＋∞)‎ C.(－∞，－1] D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)‎ 解析　∵P＝{x|－1≤x≤1}，且P∪M＝P，‎ ‎∴M⊆P，∴a∈P，因此－1≤a≤1.‎ 答案　A ‎6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.‎ 解析　集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.‎ 答案　2‎ 考点一　集合的基本概念 ‎【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则(　　)‎ A.M＝N B.M⊆N C.M∩N＝∅ D.N⊆M ‎(2)若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝‎ 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)‎ A.1 B.3 C.7 D.31‎ 解析　(1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.‎ ‎(2)具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.‎ 答案　(1)D　(2)B 规律方法　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.‎ ‎2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.‎ ‎【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)‎ A.9 B.8 C.5 D.4‎ ‎(2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________.‎ 解析　(1)由题意知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9个元素.‎ ‎(2)由题意得解得 所以10}，N＝，则(　　)‎ A.MN B.NM C.M＝N D.M∪N＝R ‎(2)若将本例(2)的集合A改为A＝{x|x2－5x－14>0}.其它条件不变，则m的取值范围是________.‎ 解析　(1)集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.‎ ‎(2)A＝{x|x2－5x－14>0}＝{x|x<－2或x>7}.‎ 当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.‎ 当B≠∅时，若B⊆A，‎ 则或 解之得m≥6.‎ 综上可知，实数m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞).‎ 答案　(1)C　(2)(－∞，2]∪[6，＋∞)‎ 考点三　集合的运算　多维探究 角度1　集合的基本运算 ‎【例3－1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)‎ A.A∩B＝ B.A∩B＝∅‎ C.A∪B＝ D.A∪B＝R ‎(2)(2018·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|00}＝，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}.‎ ‎(2)因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<1}，因为A＝{x|02}，∁RB＝{x|x≥0}，‎ ‎∴(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}，A项不正确.‎ A∩B＝{x|－10}，若A⊆B，则实数c的取值范围为(　　)‎ A.(0，1] B.[1，＋∞)‎ C.(0，1) D.(1，＋∞)‎ 解析　法一　由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝{x|00}＝{x|00}＝{x|00}，则(∁RS)∩T＝________.‎ 解析　易知S＝{x|x≤2或x≥3}，‎ ‎∴∁RS＝{x|20}＝{x|x<－1或x>0}，则A－B＝{x|－1≤x＜0}.‎ 答案　{x|－1≤x＜0}‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：10分钟)‎ ‎13.(2018·河南百校联盟联考)若集合A＝{x|y＝lg(3x－x2)}，B＝，则A∩(∁RB)等于(　　)‎ A.(0，2] B.(2，3) C.(3，5) D.(－2，－1)‎ 解析　由3x－x2>0，得0