2012年湖北省高考数学试卷（理科） 28页

‎2012年湖北省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（5分）方程x2+6x+13=0的一个根是（　　）‎ A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i ‎2．（5分）命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是（　　）‎ A．∃x0∉∁RQ，x03∈Q B．∃x0∈∁RQ，x03∉Q C．∀x0∉∁RQ，x03∈Q D．∀x0∈∁RQ，x03∉Q ‎3．（5分）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B．3π C． D．6π ‎5．（5分）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（　　）‎ A．0 B．1 C．11 D．12‎ ‎6．（5分）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（　　）‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ ‎8．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）‎ A．1﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎9．（5分）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎10．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（　　）‎ A．d≈ B．d≈ C．d≈ D．d≈‎ ‎　‎ 二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．（5分）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=　　．‎ ‎12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=　　．‎ ‎13．（5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：‎ ‎（Ⅰ）4位回文数有　　个；‎ ‎（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有　　个．‎ ‎14．（5分）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：‎ ‎（Ⅰ）双曲线的离心率e=　　；‎ ‎（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=　　．‎ ‎　‎ 二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）‎ ‎15．（5分）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为　　．‎ ‎16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：‎ 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．‎ ‎（1）求等差数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．‎ ‎19．（12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），‎ ‎（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；‎ ‎（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．‎ ‎20．（12分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：‎ 降水量X X＜300‎ ‎300≤X＜700‎ ‎700≤X＜900‎ X≥900‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：‎ ‎（I）工期延误天数Y的均值与方差；‎ ‎（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．‎ ‎21．（13分）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．‎ ‎（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（14分）（I）已知函数f（x）=rx﹣xr+（1﹣r）（x＞‎ ‎0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；‎ ‎（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；‎ ‎（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．‎ ‎　‎ ‎2012年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（5分）（2012•湖北）方程x2+6x+13=0的一个根是（　　）‎ A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i ‎【分析】由方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，知=﹣3±2i，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+6x+13=0中，‎ ‎△=36﹣52=﹣16＜0，‎ ‎∴=﹣3±2i，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•湖北）命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是（　　）‎ A．∃x0∉∁RQ，x03∈Q B．∃x0∈∁RQ，x03∉Q C．∀x0∉∁RQ，x03∈Q D．∀x0∈∁RQ，x03∉Q ‎【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵命题“∃x0∈CRQ，∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，‎ ‎∴“∃x0∈CRQ，∈Q”的否定是∀x0∈CRQ，∉Q 故选D ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．‎ ‎【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）‎ 从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1‎ ‎∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B．3π C． D．6π ‎【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图 所求几何体的体积为：=3π．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•湖北）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（　　）‎ A．0 B．1 C．11 D．12‎ ‎【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求 ‎【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a ‎=+…++a 由于含有因数52，故能被52整除 要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13‎ 则可得a+1=13‎ ‎∴a=12‎ 故选D ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．‎ ‎【解答】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）‎ ‎2，‎ 当且仅当时等号成立 ‎∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，‎ ‎∴等号成立 ‎∴‎ ‎∴=‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（　　）‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ ‎【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由等比数列性质知，‎ ‎①=f2（an+1），故正确；‎ ‎②≠=f2（an+1），故不正确；‎ ‎③==f2（an+1），故正确；‎ ‎④f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠=f2（an+1），故不正确；‎ 故选C ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）‎ A．1﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．‎ ‎【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，‎ 连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，‎ ‎∴此点取自阴影部分的概率是．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数 ‎【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0‎ ‎∴x=0或x2=，k∈Z ‎∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，‎ ‎∴k可取的值有0，1，2，3，4，‎ ‎∴方程共有6个解 ‎∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个 故选C ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（　　）‎ A．d≈ B．d≈ C．d≈ D．d≈‎ ‎【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．‎ ‎【解答】解：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=‎ 选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；‎ 选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857‎ 由于D的值最接近π的真实值 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=　　．‎ ‎【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．‎ ‎【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab 即a2+b2﹣c2=﹣ab 由余弦定理得：cosC==‎ 又因为0＜C＜π，所以C=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=　9　．‎ ‎【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．‎ ‎【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，‎ 第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，‎ 输出S=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：‎ ‎（Ⅰ）4位回文数有　90　个；‎ ‎（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有　9×10n　个．‎ ‎【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；‎ ‎（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N+）位回文数的个数 ‎【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；‎ 故4位回文数有9×10=90个 故答案为 90‎ ‎（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；‎ 第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n种选法，‎ 故2n+1（n∈N+）位回文数有9×10n个 故答案为9×10n ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：‎ ‎（Ⅰ）双曲线的离心率e=　　；‎ ‎（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=　　．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，可得，由此可求双曲线的离心率；‎ ‎（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn=，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为 ‎∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，‎ ‎∴‎ ‎∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2‎ ‎∴c4﹣3a2c2+a4=0‎ ‎∴e4﹣3e2+1=0‎ ‎∵e＞1‎ ‎∴e=‎ ‎（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc 设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴‎ ‎∵m2+n2=a2，∴，‎ ‎∴面积S2=4mn=‎ ‎∴==‎ ‎∵bc=a2=c2﹣b2‎ ‎∴‎ ‎∴=‎ 故答案为：，‎ ‎　‎ 二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）‎ ‎15．（5分）（2012•湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为　2　．‎ ‎【分析】由题意可得 CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值，故当AB为直径、且D为AB的中点时，‎ CD取得最大值，为AB的一半．‎ ‎【解答】解：由题意可得△OCD为直角三角形，故有CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值．‎ 故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半，由于AB=4，故CD的最大值为2，‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎16．（2012•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：‎ 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为　（2.5，2.5）　．‎ ‎【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，联立可求线段AB的中点的直角坐标．‎ ‎【解答】解：射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），曲线（t为参数）化为普通方程为y=（x﹣2）2，‎ 联立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的两个根分别为1，4‎ ‎∴线段AB的中点的横坐标为2.5，纵坐标为2.5‎ ‎∴线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）‎ 故答案为：（2.5，2.5）‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2012•湖北）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈‎ R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．‎ ‎【分析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；‎ ‎（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2cosωx+λ ‎=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ ‎=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ ‎∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z ‎∴ω=+，又ω∈（，1）‎ ‎∴k=1时，ω=‎ ‎∴函数f（x）的最小正周期为=‎ ‎（2）∵f（）=0‎ ‎∴2sin（2××﹣）+λ=0‎ ‎∴λ=﹣‎ ‎∴f（x）=2sin（x﹣）﹣‎ 由x∈[0，]‎ ‎∴x﹣∈[﹣，]‎ ‎∴sin（x﹣）∈[﹣，1]‎ ‎∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]‎ 故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•湖北）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．‎ ‎（1）求等差数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．‎ ‎【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项 ‎（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为an=3n﹣7，则|an|=|3n﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求 ‎【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d 由题意可得，‎ 解得或 由等差数列的通项公式可得，an=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或an=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7‎ ‎（II）当an=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比 当an=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件 故|an|=|3n﹣7|=‎ 设数列{|an|}的前n项和为Sn 当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5‎ 当n≥3时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）‎ ‎=5+=，当n=2时，满足此式 综上可得 ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），‎ ‎（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；‎ ‎（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．‎ ‎【分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；‎ ‎（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角 ‎【解答】解：（1）设BD=x，则CD=3﹣x ‎∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x ‎∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D ‎∴AD⊥平面BCD ‎∴VA﹣BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）‎ 设f（x）=（x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），‎ ‎∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数 ‎∴当x=1时，函数f（x）取最大值 ‎∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；‎ ‎（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，‎ 由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2‎ ‎∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（，1，0），且=（﹣1，1，1）‎ 设N（0，λ，0），则=（﹣，λ﹣1，0）‎ ‎∵EN⊥BM，∴•=0‎ 即（﹣1，1，1）•（﹣，λ﹣1，0）=+λ﹣1=0，∴λ=，∴N（0，，0）‎ ‎∴当DN=时，EN⊥BM 设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），由及=（﹣1，，0）‎ 得，取=（1，2，﹣1）‎ 设EN与平面BMN所成角为θ，则=（﹣，﹣，0）‎ sinθ=|cos＜，＞|=||==‎ ‎∴θ=60°‎ ‎∴EN与平面BMN所成角的大小为60°‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2012•湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：‎ 降水量X X＜300‎ ‎300≤X＜700‎ ‎700≤X＜900‎ X≥900‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：‎ ‎（I）工期延误天数Y的均值与方差；‎ ‎（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．‎ ‎【分析】（I）由题意，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，结合某程施工期间的降水量对工期的影响，可求相应的概率，进而可得期延误天数Y的均值与方差；‎ ‎（Ⅱ）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6，利用条件概率，即可得到结论 ‎【解答】（I）由题意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）﹣P（X＜300）=0.7﹣0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜700）=0.9﹣0.7=0.2，P（X≥900）=1﹣0.9=0.1‎ Y的分布列为 ‎ Y ‎ 0‎ ‎ 2‎ ‎ 6‎ ‎ 10‎ ‎ P ‎ 0.3‎ ‎ 0.4‎ ‎ 0.2‎ ‎ 0.1‎ ‎∴E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3‎ D（Y）=（0﹣3）2×0.3+（2﹣3）2×0.4+（6﹣3）2×0.2+（10﹣3）2×0.1=9.8‎ ‎∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8；‎ ‎（Ⅱ）P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6‎ 由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）=．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．‎ ‎（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（I）设M（x，y），A（x0，y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|=|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得，从而可得可得．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）‎ ‎∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|‎ ‎∴x0=x，|y0|=|y|①‎ ‎∵点A在圆上运动，∴②‎ ‎①代入②即得所求曲线C的方程为 ‎∵m∈（0，1）∪（1，+∞），‎ ‎∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），‎ m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），‎ ‎（Ⅱ）如图2、3，∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），‎ ‎∵P，H两点在椭圆C上，∴‎ ‎①﹣②可得③‎ ‎∵Q，N，H三点共线，∴kQN=kQH，∴‎ ‎∴kPQ•kPH=‎ ‎∵PQ⊥PH，∴kPQ•kPH=﹣1‎ ‎∴‎ ‎∵m＞0，∴‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH ‎　‎ ‎22．（14分）（2012•湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣xr+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；‎ ‎（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；‎ ‎（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．‎ ‎【分析】（I）求导函数，令f′（x）=0，解得x=1；确定函数在（0，1）上是减函数；在（0，1）上是增函数，从而可求f（x）的最小值；‎ ‎（II）由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即xr≤rx+（1﹣r），分类讨论：若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立 ‎（III）（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1，b2，…，bn为正有理数，若b1+b2+…+bn=1，则a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn；‎ 用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，推广命题成立；（2）假设当n=k时，推广命题成立，证明当n=k+1时，利用a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=（a1b1a2b2…akbk）ak+1bk+1=ak+1bk+1，结合归纳假设，即可得到结论．‎ ‎【解答】（I）解：求导函数可得：f′（x）=r（1﹣xr﹣1），令f′（x）=0，解得x=1；‎ 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是减函数；‎ 当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数 所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0；‎ ‎（II）解：由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即xr≤rx+（1﹣r）①‎ 若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；‎ 若a1，a2均不为0，∵b1+b2=1，∴b2=1﹣b1，‎ ‎∴①中令，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立 综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；②‎ ‎（III）解：（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1，b2，…，bn为正有理数，若b1+b2+…+bn=1，则a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn；③‎ 用数学归纳法证明 ‎（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，③成立 ‎（2）假设当n=k时，③成立，即a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，b1，b2，…，bk为正有理数，若b1+b2+…+bk=1，则a1b1a2b2…akbk≤a1b1+a2b2+…akbk．‎ 当n=k+1时，a1≥0，a2≥0，…，ak+1≥0，b1，b2，…，bk+1为正有理数，若b1+b2+…+bk+1=1，则1﹣bk+1＞0‎ 于是a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=（a1b1a2b2…akbk）ak+1bk+1=ak+1bk+1‎ ‎∵++…+=1‎ ‎∴…≤++…+‎ ‎=‎ ‎∴ak+1bk+1≤•（1﹣bk+1）+ak+1bk+1，‎ ‎∴a1b1a2b2…akbkak+1bk+1≤a1b1+a2b2+…akbk+ak+1bk+1．‎ ‎∴当n=k+1时，③成立 由（1）（2）可知，对一切正整数，推广的命题成立．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；吕静；minqi5；qiss；刘长柏；xize；caoqz（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日