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- 2021-06-15 发布
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2020届东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高三第二次联合模拟数学(理)试题
一、单选题
1.设集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先化简集合,再进行交集运算
【详解】
,
故选:B
【点睛】
本题考查集合的运算,熟练解二次不等式是关键,是基础题
2.设则的实部为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】利用复数的除法运算化简的形式,进而确定实部
【详解】
,实部为
故选:D
【点睛】
本题考查复数的运算,意在考查计算能力,是基础题
3.若则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】利用函数单调性判断A,特值法排除
【详解】
函数是减函数,由得,取,可知不成立
故选:A
【点睛】
本题考查不等式性质,考查函数单调性,特值排除是常见方法
4.函数的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】利用奇偶性排除,利用函数值排除
【详解】
为偶函数,从而排除,而当时时,,排除,
故选:
【点睛】
本题考查函数图像的识别,结合奇偶性及特值排除是常见方法,是基础题
5.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用特殊元素及捆绑法得“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,利用古典概型求解即可
【详解】
“仁义礼智信”排成一排,任意排有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,故概率
故选:A
【点睛】
本题考查排列问题及古典概型,特殊元素优先考虑,捆绑插空是常见方法,是基础题
6.两个单位向量满足:,则的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用数量积运算求得再利用夹角公式运算
【详解】
故选:B
【点睛】
本题考查向量的数量积运算,意在考查计算能力,是基础题
7.已知的面积为,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用二倍角公式及平方关系求得,由面积公式求出,再由余弦定理求解即可
【详解】
因为,的面积为,又,所以,由余弦定理,得,,
故选:C
【点睛】
本题考查正余弦定理,考查面积公式,意在考查计算能力,是基础题
8.在三棱柱中,平面,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先证明平面再将棱柱可以补成长方体,连接,则是与所成角或其补角,利用余弦定理求解即可
【详解】
平面,
平面三棱柱可以补成长方体,连接,则是与所成角或其补角,
令,则,在中,由余弦定理得
故选:D
【点睛】
本题考查线面垂直的判定及性质,考查异面直线所成角,三棱柱补成四棱柱是常见方法
9.已知双曲线的右焦点为,渐近线为,过点的直线与的交点分别为.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将直线方程联立求得,利用两点间距离公式计算
【详解】
由题的方程为,过与垂直的直线的方程为,由联立得,由
联立得
故选:A
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线方程,考查直线交点及两点间距离,考查计算能力,是基础题
10.若在上是减函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】化简,求得单调减区间,利用集合的包含关系求解
【详解】
,令,解得函数的单调减区间为,由题意知
故选:C
【点睛】
本题考查余弦函数的单调性,考查计算能力,是基础题
11.已知函数的定义域为,且满足,当时,则函数在区间上的零点个数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分别求出函数在,, ,的最值,进而由交点个数确定的范围
【详解】
当时,最大值为,
当时,
其最大值为,
当时,,在上是增函数,在上是减函数,,
当时,,最大值为,
当时, ,在上是增函数,在上是减函数,
又当时,的图像与直线有个交点,函数在区间上有个零点
故选:C
【点睛】
本题考查函数的单调性与最值,考查函数与方程的零点,考查数形结合思想,是中档题,逐段分析函数最值是关键
12.已知过点的直线与抛物线交于点,线段AB的垂直平分线过点是抛物线的焦点,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设方程为与抛物线联立利用韦达定理得中点为,利用垂直斜率乘积为-1,求得 再利用面积公式求解
【详解】
设方程为,显然,联立与
中点为,由条件知
,,,,又的面积为:
故选:A
【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系,考查垂直的应用,利用韦达定理得直线方程是关键,是中档题
二、填空题
13.某班有男生人,女生24人,现用分层抽样方法,从该班抽出人,则从女生中抽出的人数为_______.
【答案】
【解析】利用分层抽样成比例求解
【详解】
由分层抽样的性质得
故答案为:6
【点睛】
本题考查分层抽样的定义与性质,意在考查对定义的理解,是基础题
14.若曲线,在点处的切线过点,则实数的值为__________.
【答案】
【解析】求导得直线的斜率,利用点斜式求方程得a值
【详解】
切线方程为,切线过点
故答案为:
【点睛】
本题考查导数的运算及几何意义,考查计算能力,是基础题
15.已知,则__________.
【答案】
【解析】切化弦结合平方关系得,再利用两角差的正切公式求解
【详解】
由得
故答案为:
【点睛】
本题考查切化弦及同角三角函数基本关系,考查两角差的正切公式,意在考查计算能力,是中档题
16.已知正方体的各棱长为,圆锥的底面圆是正方形的内切圆,顶点是正方形的中心,则圆锥的体积为 ____________,侧面积为___________.
【答案】
【解析】由题意得底面半径及母线长,,再利用体积与表面积公式求解
【详解】
圆锥的高为,底面半径为 ,母线长为, 所以体积为
,侧面积为
故答案为:;
【点睛】
本题考查圆锥的性质,考查体积与表面积公式,考查计算能力,是基础题
三、解答题
17.如图,三棱锥中,是中点,
求证:平面
求二面角的正弦值
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)推导平面得,由得即可证明;
(2))以为原点,方向为轴的正方向,过平行于的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,求得两个平面的法向量得二面角
【详解】
证明:是中点,
平面平面
平面
是边上中线,
平面,平面;
(2)以为原点,方向为轴的正方向,过平行于的直线为
轴,建立如图所示空间直角坐标系,则
设平面的一个法向量为,则
取,得
同样可求得平面的- -个法向量
面角的正弦值为
【点睛】
本题考查线面垂直的判定,考查二面角的向量求法,考查推理能力及空间想象能力,是中档题
18.“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出份,统计得分绘出频率分布直方图如图.
(1)求出图中的值,并求样本中,答卷成绩在上的人数;
(2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取名,记成绩在
分以上(含分)的人数为,求的分布列和期望.
【答案】(1);60
(2)的分布列为
的数学期望为
【解析】(1)利用面积和为1求得进而求得频率则人数可求
(2)建立二项分布求得分布列及期望
【详解】
解:依题意,故
故成绩在上的频率为
答卷成绩在上的人数为
由样本的频率分布直方图知成绩在分以上(含分)的频率为
依题意,
故,
所以的分布列为
的数学期望为
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用,考查二项分布,熟练掌握二项分布是关键,是中档题
19.已知数列和满足
求证:是等比数列,是等差数列
求数列和的通项公式
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)解方程组得,并构造,即可证明
(2)利用(1)得,解方程组求得通项公式
【详解】
证明:
是首项为,公比为的等比数列,
······
是首项为,公差为的等差数列.
由知,
【点睛】
本题考查利用递推关系证明等差与等比数列,考查变形求解能力,熟记等差与等比的定义与性质是关键,是中档题
20.已知椭圆的右焦点为,离心率为,直线被椭圆截得的弦长为
求椭圆的标准方程
若是椭圆上一点,是坐标原点,过点与直线平行的直线与椭圆的两个交点为,且,求的最大值
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)利用,得,设椭圆方程,与直线联立由弦长公式得c=1,方程可求
(2)过与直线平行的直线方程,与椭圆联立韦达定理得,向量坐标化得,代入椭圆方程,利用点在椭圆上整体代入得,结合基本不等式求最值即可
【详解】
设椭圆的焦距为,则
椭圆的方程化为
由得
由条件知
椭圆的方程为.
由知,过与直线平行的直线方程
由得
设,则
由点是椭圆上一点,得
,当且仅当时,取等号,
的最大值为
【点睛】
本题考查椭圆方程,考查弦长公式,考查向量坐标化及点在曲线上的综合运用,考查计算能力及整体代入思想,是难题
21.已知函数
若在处取得极值,求函数的单调区间
若是函数的两个极值点,且,求证:
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为
(2)见解析
【解析】(1)求导,由得,进而确定单调区间
(2)由,有两个极值点,得,利用根与系数的关系即可证明
【详解】
(1)的定义域为, ,
在处取得极值,
.
时,;时,
的单调增区间为,单调减区间为
,有两个极值点,
,
故得证
【点睛】
本题考查函数的极值与单调性,考查利用极值证明不等式,考查转化与化归能力,是中档题
22.
在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),过点且倾斜角为的直线与圆交于两点
当时,求的取值范围
若的中点为点,求点的轨迹的参数方程.
【答案】(1)
(2)()
【解析】(1)讨论直线倾斜角,当时,利用圆心到直线的距离小于半径列不等式求解
(2)利用,得的轨迹是以为直径的圆,去掉点,进而得参数方程
【详解】
圆的圆心为,半径为,
当时,直线的方程为到距离为,圆与相切,不合题意;
当时,设直线方程为即,
设到距离为,则,
又
即,
由及与圆相交知
过点与圆交于两点中点满足,
的轨迹是以为直径的圆,去掉点,
中点为,点的轨迹方程为(参数).
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系,考查圆的中点弦的几何性质,熟记几何性质是关键,是基础题
23.已知函数
当时,求不等式的解集
当时,不等式成立,求实数的取值范围
【答案】(1);(2)
【解析】(1)分类讨论去绝对值解不等式
(2)去绝对值分离参数求最值即可
【详解】
时,,
当时,不成立,
当时,,
当时,不等式成立,
的解集为
(2)当时,化为,,
,
,
在上是减函数,故;在上是增函数,故
,的取值范围是.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法,考查恒成立问题求参数,注意分离参数是常见方法,是中档题
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