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  • 2021-06-15 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版三角恒等变换与三角函数学案

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‎ 三角恒等变换与三角函数 知识精讲·‎ ‎·‎ 一、三角函数的概念 ‎1. 任意角的三角函数的定义 一全正、二正弦、三正切、四余弦 ‎ ‎2. 同角三角函数的关系式 ‎(1)平方关系:‎ ‎(2) 商数关系:‎ ‎3. 诱导公式 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 ‎ 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. ‎ 二、三角函数的图像和性质 函数 性质 定义域 图象 ‎ 值域 对称性 对称轴:;‎ 对称中心: ‎ 对称轴:;‎ 对称中心:‎ ‎,‎ 对称中心:‎ ‎,‎ 周期 单调性 单调增区间:‎ 单调减区间:‎ 单调增区间:‎ 单调减区间:‎ 单调增区间:‎ ‎ ‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 三、三角函数的图形变换 ‎1.图像的变换 ‎2.根据函数图像求解析式 ‎: ‎ ‎:据最高点和最低点求;‎ ‎: 由周期,通过求;‎ ‎: 带入图像中的一个点求.‎ 四、三角恒等变换 ‎1.两角和差公式:‎ ‎ ‎ ‎2.二倍角公式:‎ ‎3.降幂公式:‎ 五、三角函数式的化简和求解 ‎1、辅助角公式:‎ ‎,‎ ‎2、三角函数的求解 设函数 ‎(1)求单调性(方法:脱衣服)‎ 单调递增区间的求法,设,解得的范围即为的单调递增区间;‎ 单调递减区间的求法,设,解得的范围即为的单调递减区间.‎ ‎(2)求值域(方法:穿衣服)‎ 已知的取值范围,求得的范围,根据三角函数图像求出的范围,进而求得的范围,即为的值域.‎ ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 考试内容 要求层次 三角函数图像性质 三角函数的定义域,值域,周期性,奇偶性 理解 解答题中求最值和单调性 理解 三角函数的图形变换 三角函数的图像的平移和变换 掌握 根据三角函数图像求解析式 掌握 三角恒等变换 三角恒等变换公式 掌握 辅助角公式 掌握 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一:根据图象求解析式 例1.1.1 函数 的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的函数图象的解析式为(  )‎ A. y=sin2x B. ‎ C. ‎ D. y=cos2x ‎【答案】C ‎【解析】 由函数的图象可得A=1,T=•=-,‎ ‎∴ω=2.‎ 再根据五点法作图可得 2×+φ=,‎ ‎∴φ=,‎ ‎∴函数f(x)=sin(2x+).‎ ‎∴将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的函数图象的解析式为y=sin[2(x-)+ =sin(2x-).‎ 例1.1.2 为了得到函数的图象,只需把函数的图象( )‎ A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 ‎【答案】B ‎【解析】 A.将函数向左平移个单位得,‎ B.将函数向右平移个单位得,‎ C.将函数向左平移个单位得,‎ D.将函数向右平移个单位得.‎ 综上,选B.‎ 题模二:三角函数的定义域和值域(或最值)‎ 例1.2.1 已知函数f(x)=.‎ ‎(Ⅰ)求的值和f(x)的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)在[0,π 上的取值范围.‎ ‎【答案】 (Ⅰ)T=π(Ⅱ)[﹣1,3 ‎ ‎【解析】 (Ⅰ)∵f(x)==sinx+cosx+1‎ ‎=2sin(x+)+1,‎ ‎∴=2,‎ f(x)的最小正周期是T=π.‎ ‎(Ⅱ)当x∈[0,π 时,‎ ‎2x+∈[,2π+ ,‎ ‎∴2sin(2x+)∈[﹣2,2 ,‎ ‎∴f(x)∈[﹣1,3 .‎ 例1.2.2 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.‎ ‎(Ⅰ)写出函数f(x)的最小正周期T及ω、φ的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数f(x)在区间[-, 上的最大值与最小值.‎ ‎【答案】 (Ⅰ)ω=2,T==π,φ=(Ⅱ)最小值为-,最大值为1‎ ‎【解析】 (Ⅰ)根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象,‎ 可得,求得ω=2,∴最小正周期T==π.‎ 再根据五点法作图可得2•+φ=π,求得φ=.‎ ‎(Ⅱ)由以上可得,f(x)=sin(2x+),在区间[-, 上,‎ ‎2x+Î[-, ,sin(2x+)Î[-,1 ,‎ 当2x+=-时,即x=-,函数f(x)取得最小值为-.‎ 当2x+=时,即x=,函数f(x)取得最大值为1.‎ 题模三:三角函数的单调性 例1.3.1 已知函数 ‎ 如果点 是角α终边上一点,求的值;‎ 设,求的单调增区间.‎ ‎【答案】 (Ⅰ)f(α)=‎ ‎(Ⅱ)g(x)的单调增区间为[2 π-,2 π+ , Î ‎ ‎【解析】 (Ⅰ)由已知:sinα=,cosα=‎ 则f(α)=sin(α+)=sinαcos+cosαsin=sinα+cosα=×+×= ‎ ‎(Ⅱ)g(x)=f(x)+sinx=(sinx+cosx)+sinx=sinx+cosx=sin(x+)‎ 由-+2 π≤x+≤2 π+, Î ,‎ 得:2 π-≤x≤2 π+, Î ‎ 则g(x)的单调增区间为[2 π-,2 π+ , Î ‎ 例1.3.2 已知函数.‎ ‎(1)求的定义域及最小正周期;‎ ‎(2)求的单调递增区间.‎ ‎【答案】 见解析.‎ ‎【解析】 (1)由得.故的定义域为.‎ 因为 所以的最小正周期.‎ ‎(2)函数的单调递增区间为.‎ 由,.得,.所以的单调递增区间为和.‎ 题模四:三角恒等变换公式 例1.4.1 已知向量与互相垂直,其中.‎ ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)若,,求的值.‎ ‎【答案】 (1),(2)‎ ‎【解析】 (1)与互相垂直,‎ ‎∴,即,‎ 代入得,,‎ 又,‎ ‎,.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 由,结合同角三角函数关系得,‎ ‎.‎ 例1.4.2 已知向量,.‎ ‎(Ⅰ)若,求的值;‎ ‎(Ⅱ)若,,求的值.‎ ‎【答案】 (Ⅰ)(Ⅱ)或 ‎【解析】 (Ⅰ)因为,‎ 所以,即,‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)因为,‎ 所以,‎ 即化简得.‎ 故有.‎ 又因为,‎ 所以,‎ 所以或,‎ 所以或.‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1 函数,(其中)的图象.如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象( )‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】 如图可以看出,则,‎ 即向右平移个单位,选A.‎ 随练1.2 已知函数f(x)=2sin(ωx)•cos(ωx)+2cos2(ωx)(ω>0),且函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(Ⅰ)求ω的值;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】 (Ⅰ)2(Ⅱ)最大值为3,最小值为0‎ ‎【解析】 (Ⅰ)因为函数f(x)=2sin(ωx)•cos(ωx)+2cos2(ωx),‎ 所以,‎ 又f(x)的最小正周期为,所以=,即=2. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,‎ 因为,所以.‎ 由正弦函数的性质可知,当,即时,函数f(x)取得最大值,最大值为f()=3;‎ 当 时,即时,函数f(x)取得最小值,最小值为f()=0.‎ 随练1.3 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的定义域;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调递增区间.‎ ‎【答案】 见解析 ‎【解析】 (I)因为,所以.所以函数的定义域为.‎ ‎(II)因为,‎ 又的单调递增区间为,.令,解得.又注意到,所以的单调递增区间为,.‎ 随练1.4 已知中,.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎20070316‎ ‎(Ⅱ)设向量,,求当取最小值时,值.‎ ‎【答案】 见解析.‎ ‎【解析】 (Ⅰ)因为,所以 ‎.因为,所以.‎ 所以.因为,所以.‎ ‎(Ⅱ)因为,所以 ‎.所以当时,取得最 小值.此时(),于是.所以.‎ ‎·自我总结·‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1 要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点( )‎ A. 先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 C. 先将横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度 D. 先将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度 ‎【答案】C 作业2 函数f(x)=3sin(2x+)的部分图象如图所示.‎ ‎(Ⅰ)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)在区间[-,- 上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】 (1)T=π,y0=3,x0=;(2)最大值0,最小值-3;‎ ‎【解析】 ‎ ‎(Ⅰ)∵f(x)=3sin(2x+),‎ ‎∴f(x)的最小正周期T==π,‎ 可知y0为函数的最大值3,x0=;‎ ‎(Ⅱ)∵x∈[-,- ,‎ ‎∴2x+∈[-,0 ,‎ ‎∴当2x+=0,即x=-时,f(x)取最大值0,‎ 当2x+=-,即x=-时,f(x)取最小值-3‎ 作业3 已知函数f(x)=.‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间.‎ ‎【答案】 (1)定义域为{x|x≠ π, ∈ },最小正周期为π(2)[ π-, π), ∈ ,( π, π+ , ∈ ‎ ‎【解析】 f(x)===2(sinx-cosx)cosx ‎=sin2x-1-cos2x=sin(2x-)-1 ∈ ,{x|x≠ π, ∈ }‎ ‎(1)原函数的定义域为{x|x≠ π, ∈ },最小正周期为π.‎ ‎(2)由2 π-≤2x-≤2 π+, ∈ ,‎ 解得 π-≤x≤ π+, ∈ ,又{x|x≠ π, ∈ },‎ 原函数的单调递增区间为[ π-, π), ∈ ,( π, π+ , ∈ ‎ 作业4 已知:向量,,,‎ ‎(1)若,求证:;‎ ‎(2)若a与垂直,求的值;‎ ‎(3)求的最大值.‎ ‎【答案】 (1)见解析(2)2(3)‎ ‎【解析】 ‎ ‎(1)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵与垂直,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(3)∵,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎