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- 2021-06-15 发布
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三角恒等变换与三角函数
知识精讲·
·
一、三角函数的概念
1. 任意角的三角函数的定义
一全正、二正弦、三正切、四余弦
2. 同角三角函数的关系式
(1)平方关系:
(2) 商数关系:
3. 诱导公式
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.
二、三角函数的图像和性质
函数
性质
定义域
图象
值域
对称性
对称轴:;
对称中心:
对称轴:;
对称中心:
,
对称中心:
,
周期
单调性
单调增区间:
单调减区间:
单调增区间:
单调减区间:
单调增区间:
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
三、三角函数的图形变换
1.图像的变换
2.根据函数图像求解析式
:
:据最高点和最低点求;
: 由周期,通过求;
: 带入图像中的一个点求.
四、三角恒等变换
1.两角和差公式:
2.二倍角公式:
3.降幂公式:
五、三角函数式的化简和求解
1、辅助角公式:
,
2、三角函数的求解
设函数
(1)求单调性(方法:脱衣服)
单调递增区间的求法,设,解得的范围即为的单调递增区间;
单调递减区间的求法,设,解得的范围即为的单调递减区间.
(2)求值域(方法:穿衣服)
已知的取值范围,求得的范围,根据三角函数图像求出的范围,进而求得的范围,即为的值域.
·三点剖析·
·
考试内容
要求层次
三角函数图像性质
三角函数的定义域,值域,周期性,奇偶性
理解
解答题中求最值和单调性
理解
三角函数的图形变换
三角函数的图像的平移和变换
掌握
根据三角函数图像求解析式
掌握
三角恒等变换
三角恒等变换公式
掌握
辅助角公式
掌握
·题模精选·
·
题模一:根据图象求解析式
例1.1.1 函数 的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的函数图象的解析式为( )
A. y=sin2x
B.
C.
D. y=cos2x
【答案】C
【解析】 由函数的图象可得A=1,T=•=-,
∴ω=2.
再根据五点法作图可得 2×+φ=,
∴φ=,
∴函数f(x)=sin(2x+).
∴将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的函数图象的解析式为y=sin[2(x-)+ =sin(2x-).
例1.1.2 为了得到函数的图象,只需把函数的图象( )
A. 向左平移个长度单位
B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位
D. 向右平移个长度单位
【答案】B
【解析】 A.将函数向左平移个单位得,
B.将函数向右平移个单位得,
C.将函数向左平移个单位得,
D.将函数向右平移个单位得.
综上,选B.
题模二:三角函数的定义域和值域(或最值)
例1.2.1 已知函数f(x)=.
(Ⅰ)求的值和f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在[0,π 上的取值范围.
【答案】 (Ⅰ)T=π(Ⅱ)[﹣1,3
【解析】 (Ⅰ)∵f(x)==sinx+cosx+1
=2sin(x+)+1,
∴=2,
f(x)的最小正周期是T=π.
(Ⅱ)当x∈[0,π 时,
2x+∈[,2π+ ,
∴2sin(2x+)∈[﹣2,2 ,
∴f(x)∈[﹣1,3 .
例1.2.2 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)写出函数f(x)的最小正周期T及ω、φ的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[-, 上的最大值与最小值.
【答案】 (Ⅰ)ω=2,T==π,φ=(Ⅱ)最小值为-,最大值为1
【解析】 (Ⅰ)根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象,
可得,求得ω=2,∴最小正周期T==π.
再根据五点法作图可得2•+φ=π,求得φ=.
(Ⅱ)由以上可得,f(x)=sin(2x+),在区间[-, 上,
2x+Î[-, ,sin(2x+)Î[-,1 ,
当2x+=-时,即x=-,函数f(x)取得最小值为-.
当2x+=时,即x=,函数f(x)取得最大值为1.
题模三:三角函数的单调性
例1.3.1 已知函数
如果点 是角α终边上一点,求的值;
设,求的单调增区间.
【答案】 (Ⅰ)f(α)=
(Ⅱ)g(x)的单调增区间为[2 π-,2 π+ , Î
【解析】 (Ⅰ)由已知:sinα=,cosα=
则f(α)=sin(α+)=sinαcos+cosαsin=sinα+cosα=×+×=
(Ⅱ)g(x)=f(x)+sinx=(sinx+cosx)+sinx=sinx+cosx=sin(x+)
由-+2 π≤x+≤2 π+, Î ,
得:2 π-≤x≤2 π+, Î
则g(x)的单调增区间为[2 π-,2 π+ , Î
例1.3.2 已知函数.
(1)求的定义域及最小正周期;
(2)求的单调递增区间.
【答案】 见解析.
【解析】 (1)由得.故的定义域为.
因为
所以的最小正周期.
(2)函数的单调递增区间为.
由,.得,.所以的单调递增区间为和.
题模四:三角恒等变换公式
例1.4.1 已知向量与互相垂直,其中.
(1)求和的值;
(2)若,,求的值.
【答案】 (1),(2)
【解析】 (1)与互相垂直,
∴,即,
代入得,,
又,
,.
(2),
,
由,结合同角三角函数关系得,
.
例1.4.2 已知向量,.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若,,求的值.
【答案】 (Ⅰ)(Ⅱ)或
【解析】 (Ⅰ)因为,
所以,即,
所以.
(Ⅱ)因为,
所以,
即化简得.
故有.
又因为,
所以,
所以或,
所以或.
·随堂练习·
·
随练1.1 函数,(其中)的图象.如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象( )
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】 如图可以看出,则,
即向右平移个单位,选A.
随练1.2 已知函数f(x)=2sin(ωx)•cos(ωx)+2cos2(ωx)(ω>0),且函数f(x)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【答案】 (Ⅰ)2(Ⅱ)最大值为3,最小值为0
【解析】 (Ⅰ)因为函数f(x)=2sin(ωx)•cos(ωx)+2cos2(ωx),
所以,
又f(x)的最小正周期为,所以=,即=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
因为,所以.
由正弦函数的性质可知,当,即时,函数f(x)取得最大值,最大值为f()=3;
当 时,即时,函数f(x)取得最小值,最小值为f()=0.
随练1.3 已知函数.
(Ⅰ)求函数的定义域;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间.
【答案】 见解析
【解析】 (I)因为,所以.所以函数的定义域为.
(II)因为,
又的单调递增区间为,.令,解得.又注意到,所以的单调递增区间为,.
随练1.4 已知中,.
(Ⅰ)求角的大小;
20070316
(Ⅱ)设向量,,求当取最小值时,值.
【答案】 见解析.
【解析】 (Ⅰ)因为,所以
.因为,所以.
所以.因为,所以.
(Ⅱ)因为,所以
.所以当时,取得最
小值.此时(),于是.所以.
·自我总结·
·
·课后作业·
·
作业1 要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点( )
A. 先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C. 先将横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
D. 先将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
【答案】C
作业2 函数f(x)=3sin(2x+)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-,- 上的最大值和最小值.
【答案】 (1)T=π,y0=3,x0=;(2)最大值0,最小值-3;
【解析】
(Ⅰ)∵f(x)=3sin(2x+),
∴f(x)的最小正周期T==π,
可知y0为函数的最大值3,x0=;
(Ⅱ)∵x∈[-,- ,
∴2x+∈[-,0 ,
∴当2x+=0,即x=-时,f(x)取最大值0,
当2x+=-,即x=-时,f(x)取最小值-3
作业3 已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间.
【答案】 (1)定义域为{x|x≠ π, ∈ },最小正周期为π(2)[ π-, π), ∈ ,( π, π+ , ∈
【解析】 f(x)===2(sinx-cosx)cosx
=sin2x-1-cos2x=sin(2x-)-1 ∈ ,{x|x≠ π, ∈ }
(1)原函数的定义域为{x|x≠ π, ∈ },最小正周期为π.
(2)由2 π-≤2x-≤2 π+, ∈ ,
解得 π-≤x≤ π+, ∈ ,又{x|x≠ π, ∈ },
原函数的单调递增区间为[ π-, π), ∈ ,( π, π+ , ∈
作业4 已知:向量,,,
(1)若,求证:;
(2)若a与垂直,求的值;
(3)求的最大值.
【答案】 (1)见解析(2)2(3)
【解析】
(1)∵,
∴,
∴,
∴.
(2)∵与垂直,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
(3)∵,
∴
,
∴,
∴.