【数学】2018届一轮复习北师大版两角和与差及二倍角的三角函数教案 9页

第五节　两角和与差及二倍角的三角函数 ‎ [考纲传真]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin2α＝2sinαcosα；‎ ‎(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan2α＝.‎ ‎3．有关公式的变形和逆用 ‎(1)公式T(α±β)的变形：‎ ‎①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；‎ ‎②tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．‎ ‎(2)公式C2α的变形：‎ ‎①sin2α＝(1－cos2α)；‎ ‎②cos2α＝(1＋cos2α)．‎ ‎(3)公式的逆用：‎ ‎①1±sin2α＝(sinα±cosα)2；‎ ‎②sinα±cosα＝sin.‎ ‎4．辅助角公式 asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)‎ ‎(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(　　)‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(　　)‎ ‎(4)公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(　　)‎ A．－　　 B．　　‎ C．－　　 D． D　[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝，故选D.]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－，则cos2θ＝(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C． D． D　[∵cos2θ＝＝.‎ 又∵tanθ＝－，∴cos2θ＝＝.]‎ ‎4．(2017·云南二次统一检测)函数 f (x)＝sinx＋cosx的最小值为________.‎ ‎【导学号：66482165】‎ ‎－2　[函数f (x)＝2sin的最小值是－2.]‎ ‎5．若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________.‎ ‎【导学号：66482166】‎ 　[由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，‎ 可得＝，即tan(α＋β)＝.‎ ‎ 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]‎ 三角函数式的化简 ‎　(1)化简：＝________.‎ ‎(2)化简：.‎ ‎(1)2cos α　[原式＝＝2cosα.]‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝＝cos2x.‎ ‎[规律方法]　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．‎ ‎(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．‎ ‎(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．‎ ‎2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．‎ ‎[变式训练1]　化简sin2＋sin2－sin2α＝________.‎ 　[法一：原式＝＋－sin2α ‎＝1－－sin2α＝1－cos2α·cos－sin2α＝1－－＝.‎ 法二：令α＝0，则原式＝＋＝.]‎ 三角函数式的求值 ‎☞角度1　给角求值 ‎　(1)＝(　　)‎ A. B． ‎ C． D． ‎(2)sin50°(1＋tan10°)＝________.‎ ‎(1)C　(2)1　[(1)原式＝＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)sin50°(1＋tan10°)‎ ‎＝sin50° ‎＝sin50°× ‎＝sin50°× ‎＝＝＝＝1.]‎ ‎☞角度2　给值求值 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin2α＝(　　)‎ A. B． ‎ C．－ D．－ ‎(2)(2016·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sinα＝2cos2α，则sin＝(　　)‎ ‎【导学号：66482167】‎ A. B． ‎ C． D． ‎(1)D　(2)A　[(1)∵cos＝，‎ ‎∴sin2α＝cos＝cos2＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎(2)由7sinα＝2cos2α得7sinα＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sinα－2＝0，∴sinα＝－2(舍去)或sinα＝.∵α为锐角，∴cosα＝，∴sin＝×＋×＝，故选A.]‎ ‎☞角度3　给值求角 ‎　已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)‎ A. B． ‎ C． D． C　[∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.‎ 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.‎ 又sinα＝，∴cosα＝，‎ ‎∴sinβ＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.‎ ‎∴β＝.]‎ ‎[规律方法]　1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．‎ ‎2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．‎ ‎3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.‎ 三角变换的简单应用 ‎　已知函数f (x)＝sin2x－sin2，x∈R.‎ ‎(1)求f (x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f (x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)由已知，有 f (x)＝－ ‎＝－cos2x ‎＝sin2x－cos2x＝sin.‎ 所以f (x)的最小正周期T＝＝π. 5分 ‎(2)因为f (x)在区间上是减函数，‎ 在区间上是增函数，‎ 且f ＝－，f ＝－，f ＝，‎ 所以f (x)在区间上的最大值为，最小值为－. 12分 ‎[规律方法]　1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎2．把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．‎ ‎[变式训练2]　(1)(2016·山东高考)函数f (x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是(　　)‎ A. B．π ‎ C． D．2π ‎(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为________．‎ ‎(1)B　(2)1　[(1)法一：∵f (x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)‎ ‎＝4 ‎＝4sincos＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π.‎ 法二：∵f (x)＝(sinx＋cos x)(cosx－sinx)‎ ‎＝3sinxcosx＋cos2x－sin2x－sinxcosx ‎＝sin2x＋cos2x ‎＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π.故选B.‎ ‎(2)f (x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx ‎＝sinxcosφ＋cosxsinφ－2sinφcosx ‎＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)．‎ ‎∴f (x)max＝1.]‎ ‎[思想与方法]‎ 三角恒等变换的三种变换角度 ‎(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，＝－.‎ ‎(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“‎ 升幂与降幂”“‎1”‎的代换等．‎ ‎(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．‎ ‎ 2．计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．‎