【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）选修4-4第2讲　参数方程学案 14页

第2讲　参数方程 ‎[学生用书P216]‎ ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名称 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝k(x－x0)‎ ‎(t为参数)‎ 圆 ‎(x－x0)2＋(y－y0)2‎ ‎＝R2‎ ‎(θ为参数且0≤θ<2π)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ ‎(t为参数且0≤t<2π)‎ 抛物线 y2＝2px(p>0)‎ (t为参数)‎ ‎ 曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A．在直线y＝2x上　　　 B.在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 解析：选B.由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.‎ 曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，‎ 所以对称中心为(－1，2)，在直线y＝－2x上．‎ ‎ 若直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相切，则实数m为(　　)‎ A．－4或6 B.－6或4‎ C．－1或9 D．－9或1‎ 解析：选A.由(t为参数)，得直线l：2x＋y－1＝0，由(θ为参数)，得曲线C：x2＋(y－m)2＝5，因为直线l与曲线C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝，解得m＝－4或m＝6.故选A.‎ ‎ 在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为____________．‎ 解析：消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.‎ 答案：x－y－1＝0‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．‎ 解析：由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.‎ 法一：由得y2＝8x，‎ 联立得 即交点坐标为(2，－4)．‎ 法二：把代入x＋y＋2＝0，得t2＋2t＋2＝0，解得t＝－，所以 即交点坐标为(2，－4)．‎ 答案：(2，－4)‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 解：椭圆C的普通方程为x2＋＝1.‎ 将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得 ＋＝1，‎ 即7t2＋16t＝0，‎ 解得t1＝0，t2＝－.所以AB＝|t1－t2|＝.‎ ‎　　　　　　参数方程与普通方程的互化 ‎[学生用书P217]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(s为参数)，曲线C的参数方程为(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求|AB|的长．‎ ‎【解】　(1)圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则∠PCx＝2θ，‎ 故xp＝＋cos 2θ＝cos2θ，‎ yp＝sin 2θ＝sin θ cos θ(θ为参数)．‎ 所以圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋y＝2，曲线C的普通方程为y＝(x－2)2(y≥0)，联立两方程得x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1，1)，(2，0)，所以|AB|＝.‎ 将参数方程化为普通方程的方法 ‎(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，‎ 常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．‎ 解：将消去参数t得直线x＋y－1＝0；‎ 将消去参数α得圆x2＋y2＝9.‎ 又圆心(0，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.‎ 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．‎ 解：直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1，‎ 所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，‎ 因为直线l过点(3，0)，‎ 则3－a＝0，所以a＝3.‎ ‎　　　　　　参数方程的应用[学生用书P218]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ ‎【解】 (1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3，0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8；‎ 当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ 应用参数方程解决问题的方法 ‎(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．‎ ‎(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ 过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.‎ ‎①弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2018·石家庄质量检测(一))在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2 θ＋2ρ2sin2θ＝12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若|AP||AQ|＝6，求直线l的普通方程．‎ 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C：x2＋2y2＝12.直线l的普通方程为y＝k(x－2)，‎ 所以直线l恒过的定点为A(2，0)．‎ ‎(2)把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中得：‎ ‎(sin2α＋1)t2＋4tcos α－8＝0.‎ 由t的几何意义知|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|.因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，‎ 所以t1t2＝－，‎ 因为|AP| |AQ|＝|t1t2|＝6，‎ 即＝6，‎ 所以sin2 α＝，因为α∈(0，π)，‎ 所以sin α＝，cos α＝±，‎ 所以直线l的斜率k＝±，‎ 因此，直线l的方程为y＝(x－2)或y＝－(x－2)．‎ ‎2．(2018·长春质量检测(二))已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2(3＋sin2 θ)＝12，曲线C2的参数方程为(t为参数)，α∈.‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；‎ ‎(2)设曲线C2与曲线C1的交点为A、B、P(1，0)，当|PA|＋|PB|＝时，求cos α的值．‎ 解：(1)由ρ2(3＋sin2 θ)＝12得＋＝1，该曲线是椭圆．‎ ‎(2)将代入＋＝1得t2(4－cos2 α)＋6tcos α－9＝0，由直线参数方程的几何意义，设|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，t1＋t2＝，t1t2＝，所以|PA|＋|PB|＝|t1－t2|＝＝＝，所以cos2α＝，因为α∈(0，)，所以cos α＝.‎ ‎　　　　　　极坐标与参数方程的综合问题 ‎[学生用书P218]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎【解】 (1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ 故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.‎ 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 ‎(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4|sin|.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎2．(2018·福州综合质量检测)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，其左焦点F在直线l上．‎ ‎(1)若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；‎ ‎(2)求椭圆C的内接矩形周长的最大值．‎ 解：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2cos2 θ＋3ρ2sin2 θ＝12化为直角坐标方程，得＋＝1，则其左焦点F(－2，0)，则m＝－2.‎ 将直线l的参数方程(t为参数)与曲线C的方程＋＝1联立，‎ 化简可得t2－2t－2＝0，‎ 由直线l的参数方程的几何意义，令|FA|＝|t1|，|FB|＝|t2|，则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝2.‎ ‎(2)由曲线C的方程＋＝1，可设曲线C上的任意一点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，‎ 则以P为顶点的内接矩形的周长为 ‎4×(2cos θ＋2sin θ)＝16sin，‎ 因此当θ＝时，可得该内接矩形周长的最大值为16.‎ ‎ 直线参数方程的应用 已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|| ||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.‎ ‎(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.‎ ‎(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.‎ ‎[注意]　在使用直线参数方程的几何意义时，‎ 要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．‎ ‎ 圆的参数方程的应用 ‎(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．‎ ‎(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．‎ ‎[注意]　把曲线的参数方程化为普通方程或极坐标方程时易忽视参数的范围而导致出错．‎ ‎ 圆与椭圆参数方程的异同 圆 椭圆 不同点 参数的几何意义为圆心角 参数的几何意义为离心角 相同点 利用三角代换可由一般方程化为参数方程 ‎[学生用书P349(单独成册)]‎ ‎1．(2018·宝鸡质量检测(一))极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ ‎(1)求C的直角坐标方程；‎ ‎(2)直线l：(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点E，求|EA|＋|EB|.‎ 解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)得ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)，‎ 得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得t2－t－1＝0，点E对应的参数t＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝1，t1t2＝－1，‎ 所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|‎ ‎＝＝.‎ ‎2．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．‎ 解：(1)由ρ＝4cos θ，得(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将代入圆的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，‎ 化简得t2－2tcos α－3＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ 所以4cos2 α＝2，cos α＝±，α＝或.‎ ‎3．(2016·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎4．(2018·西安八校联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，并求出点D的直角坐标．‎ 解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsin θ.‎ 因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0(或x2＋(y－1)2＝1.)‎ ‎(2)因为直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 消去t得直线l的普通方程为y＝－x＋5.‎ 因为曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)为圆心、1为半径的圆，(易知C，l相离)‎ 设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－x＋5的距离最短，‎ 所以曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－x＋5平行．‎ 即直线CD与l的斜率的乘积等于－1，‎ 即×(－)＝－1，‎ 又x＋(y0－1)2＝1，‎ 可得x0＝－(舍去)或x0＝，‎ 所以y0＝，‎ 即点D的坐标为.‎ ‎1．(2018·成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α(α≠)的直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2 θ－4sin θ＝0.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； ‎ ‎(2)已知点P(1，0)．若点M的极坐标为，直线l经过M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．‎ 解：(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 所以直线l的普通方程为y＝tan α·(x－1)．‎ 由ρcos2 θ－4sin θ＝0得ρ2cos2θ－4ρsin θ＝0，‎ 即x2－4y＝0.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.‎ ‎(2)因为点M的极坐标为，所以点M的直角坐标为(0，1)．‎ 所以tan α＝－1，直线l的倾斜角α＝.‎ 所以直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.‎ 因为Q为线段AB的中点，‎ 所以点Q对应的参数值为＝＝3.‎ 又点P(1，0)，则|PQ|＝＝3.‎ ‎2．(2018·湘中名校联考)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．‎ ‎(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；‎ ‎(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离d的最小值．‎ 解：(1)l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1，‎ 联立 解得l与C1的交点坐标分别为(1，0)，，‎ 所以|AB|＝＝1.‎ ‎(2)C2的参数方程为(θ为参数)，故点P的坐标是，‎ 从而点P到直线l的距离 d＝ ‎＝，‎ 由此当sin ＝－1时，d取得最小值，且最小值为(－1)．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C的参数方程为.‎ ‎(1)写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；‎ ‎(2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝，求点M的轨迹．‎ 解：(1)直线l：y＝x，曲线C：＋y2＝1.‎ ‎(2)设点M(x0，y0)，过点M的直线为l1：(t为参数)，‎ 由直线l1与曲线C相交可得＋tx0＋2ty0＋x＋2y－2＝0.‎ 由|MA|·|MB|＝，‎ 得＝，‎ 即x＋2y＝6，‎ x2＋2y2＝6表示一椭圆，‎ 设直线l1为y＝x＋m，将y＝x＋m代入＋y2＝1得，‎ ‎3x2＋4mx＋2m2－2＝0，‎ 由Δ>0得－