【数学】2019届一轮复习北师大版2-7　函数的图象学案 17页

‎§2.7　函数的图象 最新考纲 考情考向分析 ‎1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.‎ ‎2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.‎ 函数图象的辨析；函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度.‎ ‎1．描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．‎ ‎2．图象变换 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)y＝－f(x)；‎ ‎②y＝f(x)y＝f(－x)；‎ ‎③y＝f(x)y＝－f(－x)；‎ ‎④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．‎ ‎(3)伸缩变换 ‎①y＝f(x) y＝f(ax)．‎ ‎②y＝f(x)y＝‎ af(x)．‎ ‎(4)翻折变换 ‎①y＝f(x)y＝|f(x)|.‎ ‎②y＝f(x)y＝f(|x|)．‎ 知识拓展 ‎1．关于对称的三个重要结论 ‎(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．‎ ‎(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎2．函数图象平移变换八字方针 ‎(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．‎ ‎(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)‎ ‎(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　×　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P35例5(3)]函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)‎ A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 答案　C 解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.‎ ‎3．[P23T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是(　　)‎ 答案　C 解析　小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.‎ ‎4．[P75A组T10]如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．‎ 答案　(－1,1]‎ 解析　在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．‎ 题组三　易错自纠 ‎5．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)‎ 答案　C ‎6．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象．‎ 答案　f(－x＋1)‎ 解析　图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.‎ ‎7．设f(x)＝|lg(x－1)|，若02(由于a4.‎ 题型一　作函数的图象 作出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝|x|；‎ ‎(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝x2－2|x|－1.‎ 解　(1)作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分．‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②实线部分．‎ ‎(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③实线部分．‎ 思维升华 图象变换法作函数的图象 ‎(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．‎ ‎(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．‎ 题型二　函数图象的辨识 典例 (1)(2018届东莞外国语学校月考)已知函数f(x)对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为(　　)‎ 答案　A 解析　f(x)为奇函数，图象关于原点对称，将y＝ln x(x>1)的图象向左平移1个单位得到y＝ln(x＋1)(x>0)的图象．‎ ‎(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)‎ 答案　B 解析　方法一　由y＝f(x)的图象知，‎ f(x)＝ 当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，‎ 所以f(2－x)＝ 故y＝－f(2－x)＝图象应为B.‎ 方法二　当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；‎ 当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.‎ 观察各选项，可知应选B.‎ 思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；‎ ‎(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．‎ 跟踪训练 (1)(2018届全国名校联考)函数y＝(a>1)的图象的大致形状是(　　)‎ 答案　C 解析　y＝(a>1)，对照图象选C.‎ ‎(2)(2017·安徽“江南十校”联考)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是(　　)‎ 答案　B 解析　y＝log2(|x|＋1)是偶函数，当x≥0时，y＝log2(x＋1)是增函数，其图象是由y＝log2x的图象向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B满足．‎ 题型三　函数图象的应用 命题点1　研究函数的性质 典例 (1)设函数y＝，关于该函数图象的命题如下：‎ ‎①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；‎ ‎②任意两点的连线都不平行于y轴；‎ ‎③关于直线y＝x对称；‎ ‎④关于原点中心对称．‎ 其中正确的是________．‎ 答案　②③‎ 解析　y＝＝＝2＋，图象如图所示，可知②③正确．‎ ‎(2)(2017·沈阳一模)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足00.‎ 当x∈时，y＝cos x<0.‎ 结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，‎ 当1f(－x)－2x的解集是__________．‎ 答案　(－1,0)∪(1，]‎ 解析　由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.‎ 在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为 ‎(－1,0)∪(1，]．‎ 高考中的函数图象及应用问题 考点分析 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．‎ 一、函数的图象和解析式问题 典例1 (1)(2017·太原二模)函数f(x)＝的图象大致为(　　)‎ ‎(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝－1‎ D．f(x)＝x－ 解析　(1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x＝1对称，排除B，C.取特殊值，当x＝时，f(x)＝2ln <0，故选D.‎ ‎(2)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.‎ 答案　(1)D　(2)A 二、函数图象的变换问题 典例2 若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)‎ 解析　由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．‎ 答案　C 三、函数图象的应用 典例3 (1)若函数f(x)＝的图象如图所示，则m的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1) 　　　　 B．(－1,2)‎ C．(0,2) 　　　　 D．(1,2)‎ 解析　根据图象可知，函数图象过原点，‎ 即f(0)＝0，∴m≠0.‎ 当x>0时，f(x)>0，∴2－m>0，即m<2，‎ 函数f(x)在[－1,1]上是单调递增的，‎ ‎∴f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，‎ f′(x)＝ ‎＝>0，‎ ‎∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1,1]上恒成立，‎ ‎∴(x2－m)max<0，∴m>1，‎ 综上所述，10‎ C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0‎ 答案　D 解析　函数f(x)的图象如图实线部分所示，‎ 且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，‎ 又0<|x1|<|x2|，‎ ‎∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.‎ ‎14．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是__________．‎ 答案　 解析　由题意作出f(x)在[－1,3]上的示意图如图所示，‎ 记y＝k(x＋1)＋1，∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．‎ 记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，‎ 即函数f(x)与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，‎ 故kAB