高中数学第二章数列2-5等比数列的前n项和第2课时等差等比数列的综合应用达标检测含解析新人教A版必修5 6页

等差、等比数列的综合应用 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)‎ A.或5 B.或5‎ C. D. 解析：设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得＝，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.‎ 答案：C ‎2．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)‎ A．150 B．－200‎ C．150或－200 D．400‎ 解析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．‎ 即(S20－10)2＝10(70－S20)，‎ 解得S20＝－20或S20＝30，‎ 又S20>0，‎ 因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，‎ 故S40－S30＝80，S40＝150.‎ 答案：A ‎3．(多选)已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设cn＝abn，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn<2 019时，n的取值可以是下面选项中的(　　)‎ A．8 B．9 ‎ - 6 -‎ C．10 D．11‎ 解析：由题意，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝2n－1，‎ cn＝abn＝2·2n－1－1＝2n－1，则数列{cn}为递增数列，‎ 其前n项和Tn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.‎ 当n＝9时，Tn＝1 013<2 019；‎ 当n＝10时，Tn＝2 036>2 019.‎ 所以n的取值可以是8，9.故选A、B项．‎ 答案：AB ‎4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　)‎ A．12 B．10 C．8 D．6‎ 解析：设该等比数列的项数为2n，‎ 依题意得S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，‎ S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n ‎＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝q·S奇．‎ 因为S偶＝2S奇，所以q＝2.‎ 又an＋an＋1＝a1qn－1＋a1qn＝2n－1＋2n＝3×2n－1＝24，‎ 所以2n－1＝8＝23，所以n－1＝3，‎ 解得n＝4，所以2n＝8.‎ 答案：C ‎5．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　)‎ A．(3n－1)2 B．(9n－1)‎ C．9n－1 D．(3n－1)‎ 解析：因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，‎ 当n≥2时，有a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，‎ 所以当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，‎ 又n＝1时，a1＝2适合上式，所以an＝2·3n－1，‎ 故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．‎ 因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．‎ 答案：B - 6 -‎ 二、填空题 ‎6．数列{an}中，an＝则它的前n项和Sn＝________．‎ 解析：易知数列{an}的奇数项为以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．‎ ‎(1)当n为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，‎ 所以Sn＝＋＋·4＝＋；‎ ‎(2)当n为偶数时，奇数项、偶数项各有项，‎ 所以Sn＝＋×3＋×4＝＋.‎ 答案： ‎7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝40，S20＝120，则S30＝________．‎ 解析：由等比数列的性质，知S10，S20－S10，S30－S20也成等比数列，所以S30－S20＝＝＝160，‎ 所以S30＝280.‎ 答案：280‎ ‎8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝a－3n＋1，则a的值为________．‎ 解析：若数列{an}是等比数列，则它的前n项和公式为Sn＝A－Aqn，其中A＝，而此数列Sn＝a－3×3n，故a＝3.‎ 答案：3‎ 三、解答题 ‎9．已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N*)，求{bn}的通项公式bn.‎ 解：(1)由题意，得2a2＝a1＋a3－1，‎ 即2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得2q＝q2.‎ 又q≠0，解得q＝2，所以an＝2n－1.‎ - 6 -‎ ‎(2)当n＝1时，b1＝a1＝1；‎ 当n≥2时，nbn＝an－an－1＝2n－2，‎ 即bn＝，‎ 所以bn＝ ‎10．已知{an}为公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝2an，cn＝an＋(－1)nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.‎ 解：(1)设数列{an}的公差为d，d≠0，‎ 所以a1，a3，a9成等比数列，所以a＝a1a9，‎ 即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，即a1d＝d2，‎ 因为d≠0，所以d＝a1＝2，‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.‎ ‎(2)由题意得，bn＝22n＝4n，‎ 则cn＝2n＋(－1)n4n＝2n＋(－4)n，‎ 所以Sn＝＋＝n(n＋1)－.‎ B级　能力提升 ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)‎ A．440 B．330 C．220 D．110‎ 解析：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.‎ 由题意知，N>100，令＞100⇒n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．‎ 第n组的各项和为＝2n－1，前n组所有项的和为－n＝2n＋1－2－n.‎ 设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)⇒n最小为29‎ - 6 -‎ ‎，此时k＝5，则N＝＋5＝440.‎ 答案：A ‎2．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________．‎ 解析：因为{an}为等比数列，且a1＝，a4＝－4，‎ 所以q3＝＝－8，所以q＝－2，所以an＝(－2)n－1，‎ 所以|an|＝2n－2，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝＝.‎ 答案： ‎3．(2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解析：(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝11，‎ 所以an＝6n＋5.‎ 设数列{bn}的公差为d，‎ 由 即 可解得b1＝4，d＝3，‎ 所以bn＝3n＋1.‎ ‎(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，‎ 又Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，‎ 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)×2n＋1]，‎ ‎2Tn＝3×[2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n＋1)×2n＋2]，‎ 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×＝－3n·2n＋2‎ 所以Tn＝3n·2n＋2.‎ - 6 -‎ - 6 -‎