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- 2021-06-15 发布
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厦门市2013届高三质量检测
数学(文科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分为150分,考试时间120分钟.
参考公式:锥体体积公式 ,其中为底面面积,为高.
第Ⅰ卷(选择题:共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,那么等于
A. B. C. D.
2.如图,在边长为2的正方形内随机取一个点,则此点在正方形的内切圆内部的概率为
(第2题图)
A. B. C. D.
3.若,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.下列命题正确的是
. . . .
开始
输入
输出
结束
是
否
(第7题图)
5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列条件,能得到的是
A. B.
C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象,则它的一个对称中心是
A. B. C. D.
7.定义.右图是求的程序框图,则在判断框内应填的条件是
A. B. C. D.
8.已知是抛物线的焦点,准线与轴的交点为,点在抛物线上,且,则等于
A. B. C. D.
9.函数的零点个数为
.1 .2 .3 .4
10.式子满足,则称为轮换对称式.给出如下三个式子:①;②;
③是的内角).其中,为轮换对称式的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
11.如图,在边长为的菱形中 ,,对角线相交于点,是线段的一个三等分点,则 等于
A. B. C. D.
12.对于函数,若存在区间,使时,,则称区间为函数的“倍区间”.已知函数,则的“5倍区间”的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷(非选择题:共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.设为虚数单位,则复数= .
14.焦点在轴上,渐近线方程为的双曲线的离心率为 .
15.已知△的三个内角所对的边分别为,若△的面积为,则 .
16.给出下列命题:
①的最小值是2;
②;
③若不等式对任意恒成立,则的取值范围为.
真命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答.
17.(本小题满分12分)
为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的7次数学测试成绩(满分100分)进行统计,作出如下的茎叶图,其中处的数字模糊不清.已知甲同学成绩的中位数是83,乙同学成绩的平均分是86分.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)现从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析,求恰抽到一份甲同学试卷的概率.
甲 乙
6 3 7 8
7 1 8 3 3
2 3 9 0 1 6
(第17题图)
18.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求在上的单调递增区间;
(Ⅱ)设函数,求的值域.
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,⊥底面,分别是线段的中点.
(Ⅰ)若, ,求三棱锥的体积;
(Ⅱ)若点在线段上,且,证明:直线∥平面.
20.(本小题满分12分)
设直线是曲线的一条切线,.
(Ⅰ)求切点坐标及的值;
(Ⅱ)当时,存在,求实数的取值范围.
21.(本小题满分12分)
某校高一学生1000人,每周一次同时在两个可容纳600人的会议室,开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程.要求每个学生都参加,要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为,其余的人听“美术鉴赏”课;从第二次起,学生可从两个课中自由选择.据往届经验,凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生,下一次会有20﹪改选“美术鉴赏”,而选“美术鉴赏”的学生,下次会有30﹪改选“音乐欣赏”,用分别表示在第次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数.
(Ⅰ)若,分别求出第二次,第三次选“音乐欣赏”课的人数;
(Ⅱ)(ⅰ)证明数列是等比数列,并用表示;
(ⅱ)若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800,求的取值范围.
22.(本小题满分14分)
已知圆,椭圆.
(Ⅰ)若点在圆上,线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点的横坐标;
(Ⅱ)现有如下真命题:
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直”;
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直”.
据此,写出一般结论,并加以证明.
厦门市2013届高三质量检查
数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1—6:BAADDC 7—12: BCCCBD
12.提示:先证明函数在R上是增函数,再确定方程有三个不等根,得有三个“5倍区间”.
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.
13. 14. 15. 16. ②
三、解答题:本大题共6小题,共74分.
17. 本题主要考查茎叶图,样本的数字特征,古典概型,考查数据处理能力和运算求解能力,考查或然与必然的数学思想.满分12分.
解:(Ⅰ)甲同学成绩的中位数是83,
, ……………………………………………… 3分
乙同学的平均分是86分,
,
. …………………………………………………… 6分
(Ⅱ)甲同学成绩在[90,100]之间的试卷有二份,分别记为,,
乙同学成绩在[90,100]之间的试卷有三份,分别记为,,,
“从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为:
, ,,,,,,,,共有10种情况, …………………………………………… 9分
记“从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份,恰抽到一份甲同学试卷”为事件,则事件包含的基本事件为:
,,,,,共有6种情况……11分
则,
答:从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析,恰抽到一份甲同学试卷的概率为. ……………………………………………………………………12分
18. 本题主要考查三角函数的恒等变换,三角函数的基本性质,考查运算求解的能力,化归与转化的思想.满分12分.
解:(Ⅰ),………………………………………2分
, ………………4分
; ………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,, ………7分
设,当时,,
则, ……………………………………………………9分
由二次函数的单调性可知,,
又, ………………………………………………11分
则函数的值域为. ………………………………………………………12分
19. 本题主要考查直线与平面的位置关系、棱锥体积计算,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想.满分12分.
解:(Ⅰ)在中,,
点是线段的中点 AD⊥
, …………………3分
⊥底面,
.……6分
(Ⅱ)法一:取CD的中点H,连接FH,EH,
∵E为线段PD的中点,∴△PDC中,EH∥PC,
∵EH 平面,PC平面 ,
∴EH∥平面, ……………………8分
∵,∴△ABC中,FH∥AC,
∵FH 平面,AC平面,
∴FH∥平面, ……………………………10分
FHEH=H, 平面EHF∥平面 ,………11分
EF平面EHF,∥平面. ………12分
法二:分别取AD,AB的中点M,N,连结EM,MF,DN,
点、M是分别是线段、AD的中点,EM∥PA,
EM 平面,PA平面 ,
EM∥平面,…………………………………8分
,,点F是线段AN的中点,
在中,AF=FN,AM=MD, MF∥DN,
在中,AN=NB,CD=DB, DN∥AC,MF∥AC,
MF平面,AC平面, MF∥平面, …………10分
EMMF=M ,平面EMF∥平面 , …………………………11分
EF平面EMF,∥平面. ………………………………12分
20.本题主要考查函数的单调性,最值,切线,含参数的不等式成立问题,考查运算求解的能力,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法.满分12分.
(Ⅰ)解:设直线与曲线相切于点,
,
, 解得或,…………………………………2分
当时,,在曲线上,∴,
当时,,在曲线上,∴,
切点,, ……………………………………………4分
切点, . ……………………………………………6分
(Ⅱ)解法一:∵,∴,
设,
若存在,则只要, ……………8分
,
(ⅰ)若即,令,得,
,∴在上是增函数,
令,解得,在上是减函数,
,,
解得,…………………………………………………………………10分
(ⅱ)若即,令,解得,
, ∴在上是增函数,
,不等式无解,不存在, …………11分
综合(ⅰ)(ⅱ)得,实数的取值范围为.………………………12分
解法二:由得,
(ⅰ)当时,,设
若存在,则只要, ……8分
,
令 解得在上是增函数,
令,解得 在上是减函数,
,, ……………………………10分
(ⅱ)当时,不等式 不成立,
∴不存在, ……………………………………………………………11分
综合(ⅰ)(ⅱ)得,实数的取值范围为. ………………12分
21. 本题主要考查数列的概念,等比数列的定义,数列求和,考查运算求解的能力,应用意识,考查特殊与一般的思想,分类与整合的思想. 满分12分.
解:(Ⅰ)由已知,又,, ……………………1分
∴,…………………………………………………2分
∴,
∴.……………………………………4分
(Ⅱ)(ⅰ)由题意得,
,……………………5分
,---------------------------------6分
,,
数列是等比数列,-------------------------------7分
,
得-----------------------------8分
(ⅱ)前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列的前10项和,
,…10分
由已知,,
得,
,,…………………11分
,∴的取值范围是,且.……12分
22. 本题考查直线,圆,椭圆等基础知识,考查运算求解能力,类比、探究归纳能力,考查数形结合思想,化归与转化思想.满分14分.
解法一:
(Ⅰ)设点,则, (1) ……………………1分
设线段的垂直平分线与相交于点,则,……2分
椭圆的右焦点, ………………3分
,, ,
, (2)…………………………4分
由(1),(2),解得 ,点的横坐标为.…5分
(Ⅱ)一般结论为:
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直.”………………………………6分
证明如下:
(ⅰ)当过点与椭圆相切的一条切线的斜率
不存在时,此时切线方程为,
点在圆上 ,,
直线恰好为过点与椭圆相切的另一条切线,
两切线互相垂直.…………………………………………7分
(ⅱ)当过点与椭圆相切的切线的斜率存在时,
可设切线方程为,
由得 ,
整理得,…9分
直线与椭圆相切,
,
整理得,………………………11分
, ……………………………………………… 12分
点在圆上,,……13分
,,两切线互相垂直,
综上所述,命题成立.…………………………………………………14分
解法二:
(Ⅰ)设点,则, (1)……………………………1分
椭圆的右焦点,………………………………2分
点在线段的垂直平分线上, ,
, , (2)……4分
由(1),(2),解得, 点的横坐标为.……………5分
(Ⅱ)同解法一.
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