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数学文科仿真模拟卷二 一、选择题 1、已知 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，对任意 x R ，都有 (2+ )=- ( )f x f x ，且当 [0,1]x 时在 2( ) 1f x x   ，若 2[ ( )] ( ) 3 0a f x bf x   在[ 1,5] 上有 5 个根 ( 1,2,3,4,5)ix i  ，则 1 2 3 4 5x x x x x    的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 2、已知 3 , ,1 x yi i x y ii   其中 是实数， 是虚数单位，则 x y 的值为（ ） A．0 B．6 C．9 D．-6 3、已知命题 :p 对于 ,x R 恒有 2 2 2x x  成立；命题 :q 奇函数 ( )f x 的图像必过原点，则下列结论正 确的是（ ） A． p q 为真 B． p q  为真 C． ( )p q  为真 D． q 为真 4、已知 ,a b   是两个向量，则“ 3a b  ”是“| | 3| |a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5、要得到函数 sin(2 )4y x   的图像，只需将函数 sin 2y x 的图像（ ） A．左移 4  各单位 B．左移 4  各单位 C．右移 4  各单位 D．右移 4  各单位 6、已知数列{ }na 的前 n 项和 n 3 1,nS   则其通项公式 na  （ ） A． 13 2n B． 12 3n C． 2n D．3n A B G C E D F 第7题 K=1 S=S+1/k K=k+1 S=0 开始 结束 输出S K<5? 否 是 第8题 7、如图，三棱锥 A-BCD 的底面是等腰直角三角形，AB  平面 BCD, AB=BC=BD=2，E 是棱 CD 上的任意一点，F、G 分别是 AC、BC 的中点， 则在下面的命题中：①平面 ABE  平面 BCD②平面 EFG 平面 ABD ③四面体 FECG 的体积最大值是 1 3 ，真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8、某程序框图如图所示，该程序运行后输出 S 的结果是（ ） A． 3 2 B． 1 6 C． 25 12 D．137 60 9、已知圆 C: 2 2 12x y  ，直线 : 4 3 25l x y  ， 则圆 C 上任意一点 A 到直线l 的距离小于 2 的概率为（ ） A． 5 6 B． 1 6 C． 1 3 D． 2 3 10、设函数 ( ) sin + sin3f x x x   （ ）+ ( >0)相邻两条对称轴间的距离为 2，则 (1)f 的值为（ ）A．3 2 B． 3 2  C． 3 2 D． 3 2  11、设全集U R ,集合 2{ | 2 0}, { | 1}xA x x x B y y e     集合 ，则 A B  （ ） A．{ |1 2}x x  B．{ | 2}x x  C．{ | 1}x x  D．{ |1 2}x x  12、已知 P 是椭圆 2 2 14 3 x y  上的一点， 1 2F F、 是该椭圆的两个焦点，若 1 2PF F 的内切圆的半径为 1 2 ， 则 1 2tan F PF  （ ） A． 3 4 B． 4 3 C． 4 7 7 D． 3 77 俯视图 左视图主视图 2 11 2 2 二、填空题 13、直线 2y kx  与圆 2 2y 4x   交于 A、B 两点，且 2, | |= ___.OA OB AB    则 14、已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 ______ . 15、已知 O 是坐标原点，点 A(-1，-2),若点 M（x,y）平面区域 2 1 2 x y x y       上的一个动点，使 1( ) 0OA OA MA m       恒成立，则实数 m 的取值范围为_____________. 16、曲线 22y x 在点（1,2）处的切线斜率为__________. 三、解答题 17、 设函数 ( ) | 1| | | ( )f x x x a a R     （1）当 a=4 时，求不等式 ( ) 5f x  的解集 （2）若 ( ) 4f x  对 x R 恒成立，求 a 的取值范围。 18、已知向量 2 -1 sin ,cos( )),2 Am n B C A B C ABC    （ ，）， （ 、 、 为 的内角，其所对的边分别为 , , .a b c A B C D E 'A 'C 'B 第19题 （1）当 m n  取得最大值时，求角 A 的大小； （2）在（1）的条件下，当 3a  时，求 2 2+b c 的取值范围。 19、国家统计局发布最新数据显示，2011 年 11 月份全国副省级城市中 CPI（消费指数）值位于前 15 位的 城市具体情况如下表： 城市 CPI 序号 城市 CPI 序号 济南 105.2 1 青岛 104.7 2 广州 104.6 3 西安 104.4 4 哈尔滨 104.3 5 厦门 104.2 6 杭州 104.1 7 武汉 104.1 8 深圳 104.1 9 南京 103.9 10 长春 103.9 11 沈阳 103.6 12 大连 103.3 13 成都 103.0 14 宁波 102.6 15 （1）求这 15 个城市 CPI 值的平均值及众数 （2）完成下表： CPI [102.5，103.0) [103.0,103.5) [103.5,104.0) [104.0,104.5) [104.5,105.0) [105.0,105. 5) 频率 （3）从【103.0,104.0】区间内随机选取 2 城市，求恰有 1 个城市 CPI 的值在【103.5,104.0】中的概率。 20、如图，三棱柱中， ' ' ' ' ' ', 60 2AC BB C C CC B BC CC AC      面 ， ，点 D、E 分别为棱 AB, ' 'AC 的中点 （1）求证： ' 'DE BB C C 平面 ; （2）求四棱锥 D- 'ACEA 的体积。 21、已知椭圆 C: 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，的离心率为 3 2e  ，A,B 分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M 为 AB 的中点，O 为坐标原点，且 5| | 2OM  . （1）求椭圆的方程； （2）过（-1,0）的直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点，求  POQ 的面积的最大时直线 l 的方程。 22、已知函数 1( ) (2 )ln x+ 2 ( )f x a ax a Rx     ， （1）当 0a  时，求 ( )f x 的极值； （2）当 0a  时，求 ( )f x 的单调区间； （3）对任意的 1 2( 3, 2), [13],a x x   及 、 ， 恒有 1 2ln3) 2ln3 | ( ) ( ) |m a f x f x   （ 成立，求 m 的 取值范围。 23、 如图，⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC，M 为 AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P。 A B OC P N M 第22题 （1）求证：PM2=PA·PC （2）若⊙O 的半径为 2 3 ，OA= 3 OM 求：MN 的长 24、 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 3 (2 4 x t ty t       为参数） 它与曲线 C： 2 2 1x （y-2) 交于 A、B 两点。 （1）求|AB|的长 （2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为 3(2 2, )4  ，求点 P 到线 段 AB 中点 M 的距离。 以下是答案 一、选择题 1、 D 2、 A 3、 C 4、 A 5、 B 6、 B 7、 C 8、 C 9、 B 10、 A 11、 D 12、 B 二、填空题 13、 2 ； 14、 4 3 ； 15、  1,0 ,3     16、 4 ； 三、解答题 17、 解:： (Ⅰ) 541  xx 等价于 1 2 5 5 x x     或 1 4 3 5 x    或 4 2 5 5 x x     ， 解得： 0x  或 5x  ． 故不等式 ( ) 5f x  的解集为{ 0x x  或 5}x  ． (Ⅱ)因为: ( ) 1 ( 1) ( ) 1f x x x a x x a a          （当 1x  时等号成立） 所以： min( ) 1f x a  由题意得： 1 4a   ， 解得 3a 或 5a ． 18、 解： （Ⅰ） m n 2 21 32sin cos( ) 2sin 2sin 1 2(sin )2 2 2 2 2 2           A A A AB C ，  0 A   ， 0 2 2 A   ，当 1sin 2 2 A  ，即 3A  时， m n取得最大值； （Ⅱ）由 3 2, 2sin , 2sinsin sin sin sin 3      a b c b B c CA B C ， 2C A B B3        2 2 2 24sin 4sin 4 2sin(2 )6b c B C B       ， 20 ,3   B  726 6 6      B  1 sin(2 ) 1,2 6    B  2 23 6  b c  2 2b c 的取值范围为 (3,6] . 19、解：（Ⅰ）平均值为 104.0, 众数为 104.1 （Ⅱ） CPI  102.5,103.0  103.0,103.5  103.5,104.0  104.0,104.5  104.5,105.0  105.0,105.5 频数 1 2 3 6 2 1 -------------7 分 （Ⅲ）设＂恰有 1 个城市 CPI 值在 103.5,104.0 中＂为事件Ａ． 在 103.0,103.5 中有２个城市，分别设为 a,b，在 103.5,104.0 中有３个城市，分别设为 c,d,e 则从 103.0,104.0 区间内随机选取 2 个城市构成的基本事件为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d) ， (b,e) ，(c,d)，(c,e)，(d,e)共有１０个， 事件Ａ＂恰有 1 个城市 CPI 值在  103.5,104.0 中＂包括的基本事件为：(a,c)，(a,d)，(a,e)， (b,c)， (b,d) ，(b,e)共有６个 故所求事件Ａ的概率 ( )P A ＝ 6 10 ＝ 3 5 ． 答：恰有 1 个城市 CPI 值在 103.5,104.0 中的概率为 3 5 ． 20、（I）证明：取 BC 的中点 F，连 DF , 'FC ， D 为 AB 的中点，E 为 ' 'A C 的中点  1// 2DF AC ， 1'// 2EC AC ， 所以， //DF EC ，得平行四边形 'C EDF ， 所以， // 'DE FC ， 又因为 DE  平面 ' 'BB C C ， 'FC  平面 ' 'BB C C ， 所以， //DE 平面 ' 'BB C C ． （II）解：取 'CC 的中点G ，连 'B G ，则 ' 'B G CC ， 因为， AC 面 ' 'BB C C ，所以， 'B G  平面 ' 'ACC A ， ' 3B G  ．平行四边形 ' 'BB C C 中，Ｆ为ＢＣ的中 点，所 以Ｆ到 'C C 的距离等于 1 3'2 2B G  ，即Ｆ到平面 ' 'ACC A 的距离为 3 2 ． 梯形 'ACEA 的面积Ｓ＝ 1 (1 2) 22   ＝３ 四棱锥 'D ACEA 的体积 V 1 3 333 2 2     ． 21、 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c ，则 2 2 2 2 2 5 3 2 a b c a b c a          ，解得 2, 1, 3a b c   ，所以椭圆的方程 为 2 2 14 x y  . （Ⅱ）方法一：设交点 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 1x   ， 则易得 3 2S  . G 当直线l 的斜率存在时，设其方程为 ( 1)y k x  （ 0k ），联立椭圆方程 2 2 14 x y  ，得 2 2 2 2(4 1) 8 4( 1) 0k x k x k     ，两个根为 1 2x ,x 0  恒成立， 2 1 2 2 8kx x 4k 1     ， 2 1 2 2 4(k 1)x x 4k 1    则 2 2 2 1 2 2 4 3 1| | 1 | | 1 4 1 kPQ k x x k k       ( 0)k  ， 又原点到直线l 的距离 d = 2 | | 1 k k ， 所以 2 22 2 2 22 (3 1)1 1 4 3 1 | || | 1 22 2 4 1 4 11 k kk kS PQ d k k kk       ( 0)k  4 2 2 4 2 4 2 3k k 3 8k 32 216k 8k 1 16 16(16k 8k 1)        3 32 4 2    所以，当直线l 的方程为 1x   时， POQ 面积最大. 方法二：设交点 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 1x   ， 则易得 3 2S  . 当直线l 的斜率存在时，设其方程为 ( 1)y k x  （ 0k ），联立椭圆方程 2 2 14 x y  ，得 2 2 1 2(4 ) 3 0   y yk k ，两个根为 1 2,y y ， 0  恒成立， 2 1 2 1 22 2 2 3,4 1 4 1      k ky y y yk k ， 4 2 2 1 2 1 2 1 2 4 2 3( ) 4 4 16 8 1         k ky y y y y y k k    1 2 1 2 1 1 2 2           POQ POT QOTS S S OT y y y y = 2 4 2 1 8k 332 16k 8k 1    3 32 4 2    所以，当直线l 的方程为 1x   时， POQ 面积最大. 22、 解：（Ⅰ）依题意，知 ( )f x 的定义域为 (0, ) . 当 0a  时， 1( ) 2lnf x x x   ， 2 2 2 1 2 1( ) xf x x x x     . 令 ( ) 0f x  ，解得 1 2x  当 10 2x  时， ( ) 0f x  ；当 1 2x  时， ( ) 0f x  . ( )f x 在 10, 2      上递减，在 1 ,2     上递增 所以 1 2 x 时， ( )f x 有极小值为 1( ) 2 2ln 22f   ，无极大值 （Ⅱ） 2 2 1( ) 2af x ax x     2 2 2 (2 ) 1ax a x x    2 1(2 1)( ) ( 0)     a x x a ax 当 2a   时， 1 1 2a   ， 令 ( ) 0f x  ，得 1x a   或 1 2x  ，令 ( ) 0f x  ，得 1 1 2xa    ； 当 2 0a   时，得 1 1 2a   ，令 ( ) 0f x  ，得 10 2x  或 1x a   ，令 ( ) 0f x  ，得 1 1 2 x a    ； 当 2a   时， 2 2 (2 1)( ) 0xf x x     . 综上所述，当 2a   时， ( )f x 的递减区间为 1 1(0, ),( , )2a   ；递增区间为 1 1( , )2a  . 当 2a   时， ( )f x 在 (0, ) 单调递减. 当 2 0a   时， ( )f x 的递减区间为 1 1(0, ),( , )2 a   ；递增区间为 1 1( , )2 a  . （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当 ( 3, 2)a   时， ( )f x 在 1,3 单调递减. 当 1x  时， ( )f x 取最大值；当 3x  时， ( )f x 取最小值. 所以 1 2 1( ) ( ) (1) (3) (1 2 ) (2 )ln3 63f x f x f f a a a            2 4 ( 2)ln33 a a    . 因为 1 2( ln3) 2ln3 ( ) ( )m a f x f x    恒成立， 所以 2( ln3) 2ln3 4 ( 2)ln33m a a a      ，整理得 2 43ma a  . 又 0a  所以 2 43m a   ， 又因为 3 2a    ，得 1 2 2 3 3 9a     ， 所以 13 2 3843 3 9a      所以 13 3m   . 23、 解： (Ⅰ) 连结 ON，则 PNON  ，且 OBN 为等腰三角形，则 ONBOBN  ， OBNOMBPMN   90 ， ONBPNM  90 PNMPMN  ， PNPM  ． 由条件，根据切割线定理，有 PCPAPN 2 ，所以 PCPAPM 2 ． (Ⅱ) 2OM ，在 BOMRt 中， 422  OMOBBM ． 延长 BO 交⊙O 于点 D，连结 DN．由条件易知 BOM ∽ BND ，于是 BD BM BN BO  ， 即 34 432  BN ，得 6BN ． 所以 246  BMBNMN . 24、解： (Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 05127 2  tt 设 A ， B 对应的参数分别为 21,tt ，则 7 5,7 12 2121  tttt ． OC M N A P B D 所以 7 71104)(5)4()3( 21 2 2121 22  ttttttAB ． (Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 )2,2( ，根据中点坐标的性质可得 AB 中点 M 对应的参 数为 7 6 2 21  tt ． 所以由t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为 7 30 7 6)4()3( 22 PM ．