高中数学人教a版必修四模块综合检测（c） word版含答案 8页

模块综合检测(C) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．若角 600°的终边上有一点(－4，a)，则 a 的值是( ) A．4 3 B．－4 3 C.4 3 3 D．－4 3 3 2．若向量 a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数 m 的值为( ) A．－3 2 B.3 2 C．2 D．6 3．设向量 a＝(cos α，1 2)，若 a 的模长为 2 2 ，则 cos 2α等于( ) A．－1 2 B．－1 4 C.1 2 D. 3 2 4．平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( ) A. 3 B．2 3 C．4 D．12 5．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( ) A．－ 2 2 B. 2 2 C．－1 D．1 6．若向量 a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则 x 等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3 7．要得到函数 y＝sin x 的图象，只需将函数 y＝cos(x－π 3)的图象( ) A．向右平移π 6 个单位 B．向右平移π 3 个单位 C．向左平移π 3 个单位 D．向左平移π 6 个单位 8．设函数 f(x)＝sin(2x＋π 3)，则下列结论正确的是( ) A．f(x)的图象关于直线 x＝π 3 对称 B．f(x)的图象关于点(π 4 ，0)对称 C．把 f(x)的图象向左平移 π 12 个单位，得到一个偶函数的图象 D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，π 6 ]上为增函数 9．已知 A，B，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量 p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则 p 与 q 的夹角是( ) A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 10．已知函数 f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x，x∈R，则 f(x)是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π 2 的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π 2 的偶函数 11．设 0≤θ≤2π，向量OP1 → ＝(cos θ，sin θ)，OP2 → ＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P1P2 → 的模长 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C．2 3 D．3 2 12．若将函数 y＝tan(ωx＋π 4)(ω>0)的图象向右平移π 6 个单位长度后，与函数 y＝tan(ωx＋π 6)的图 象重合，则ω的最小值为( ) A.1 6 B.1 4 C.1 3 D.1 2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．已知α、β为锐角，且 a＝(sin α，cos β)，b＝(cos α，sin β)，当 a∥b 时，α＋β＝________. 14．已知 cos4α－sin4α＝2 3 ，α∈(0，π 2)，则 cos(2α＋π 3)＝________. 15．若向量AB→＝(3，－1)，n＝(2,1)，且 n·AC→＝7，那么 n·BC→＝________. 16．若θ∈[0，π 2 ]，且 sin θ＝4 5 ，则 tan θ 2 ＝________. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)已知向量 a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)，－π 2<θ<π 2. (1)若 a⊥b，求θ； (2)求|a＋b|的最大值． 18．(12 分)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之 间的距离为 2π. (1)求 f(x)的解析式； (2)若α∈(－π 3 ，π 2)，f(α＋π 3)＝1 3 ，求 sin(2α＋5π 3 )的值． 19．(12 分)设函数 f(x)＝a·b，其中向量 a＝(2cos x,1)，b＝(cos x， 3sin 2x)，x∈R. (1)若函数 f(x)＝1－ 3，且 x∈[－π 3 ，π 3 ]，求 x； (2)求函数 y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出 y＝f(x)在[0，π]上的图象． 20．(12 分)已知 x∈R，向量OA→ ＝(acos2x,1)，OB→ ＝(2， 3asin 2x－a)，f(x)＝OA→ ·OB→ ，a≠0. (1)求函数 f(x)的解析式，并求当 a>0 时，f(x)的单调增区间； (2)当 x∈[0，π 2 ]时，f(x)的最大值为 5，求 a 的值． 21．(12 分)已知函数 f(x)＝ 3sin2(x＋π 4)－cos2x－1＋ 3 2 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期； (2)若 A 为锐角，且向量 m＝(1,5)与向量 n＝(1，f(π 4 －A))垂直，求 cos 2A 的值． 22．(12 分)已知向量 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)， 其中 0<απ 2.∴π 2>A>π 2 －B>0. ∵函数 y＝sin x，x∈(0，π 2)是递增函数，∴sin A>sin(π 2 －B)．即 sin A>cos B. ∴p·q＝sin A－cos B>0. ∴p 与 q 所成的角是锐角．] 10．D [f(x)＝(1＋cos 2x)1－cos 2x 2 ＝1 2(1－cos22x)＝1 2 －1 2 ×1＋cos 4x 2 ＝1 4 －1 4cos 4x，∴T＝2π 4 ＝π 2 ，f(－x)＝f(x)，故选 D.] 11．D [|P1P2 → |＝ 2＋sin θ－cos θ2＋2－cos θ－sin θ2＝ 10－8cos θ≤ 18＝3 2.] 12．D [由题意知 tan[ω(x－π 6)＋π 4]＝tan(ωx＋π 6)，即 tan(ωx＋π 4 －πω 6 )＝tan(ωx＋π 6)． ∴π 4 －π 6ω＝kπ＋π 6 ，得ω＝－6k＋1 2 ，则ωmin＝1 2(ω>0)．] 13.π 2 解析 ∵a∥b， ∴sin αsinβ－cos αcos β＝0 即 cos(α＋β)＝0. ∵0<α＋β<π.∴α＋β＝π 2. 14.1 3 － 15 6 解析 ∵cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝2 3. 又 2α∈(0，π)．∴sin 2α＝ 5 3 . ∴cos(2α＋π 3)＝1 2cos 2α－ 3 2 sin 2α＝1 3 － 15 6 . 15．2 解析 n·BC→＝n·(AC→－AB→)＝n·AC→－n·AB→＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2. 16.1 2 解析 ∵sin θ＝2sin θ 2cos θ 2 ＝ 2sin θ 2cos θ 2 sin2θ 2 ＋cos2θ 2 ＝ 2tan θ 2 1＋tan2θ 2 ＝4 5. ∴2tan2θ 2 －5tan θ 2 ＋2＝0， ∴tan θ 2 ＝1 2 或 tan θ 2 ＝2. ∵θ∈[0，π 2]，∴θ 2 ∈[0，π 4]． ∴tan θ 2 ∈[0,1]，∴tan θ 2 ＝1 2. 17．解 (1)若 a⊥b，则 sin θ＋cos θ＝0. 由此得 tan θ＝－1(－π 2<θ<π 2)，∴θ＝－π 4. (2)由 a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)得 a＋b＝(sin θ＋1,1＋cos θ)， |a＋b|＝ sin θ＋12＋1＋cos θ2＝ 3＋2sin θ＋cos θ＝ 3＋2 2sinθ＋π 4 ， 当 sin(θ＋π 4)＝1 时，|a＋b|取得最大值， 即当θ＝π 4 时，|a＋b|的最大值为 2＋1. 18．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2π， ∴T＝2π，则ω＝2π T ＝1.∴f(x)＝sin(x＋φ)． ∵f(x)是偶函数，∴φ＝kπ＋π 2(k∈Z)． 又 0≤φ≤π，∴φ＝π 2 ，∴f(x)＝cos x. (2)由已知得 cos(α＋π 3)＝1 3. ∵α∈(－π 3 ，π 2)．∴α＋π 3 ∈(0，5π 6 )． ∴sin(α＋π 3)＝2 2 3 . ∴sin(2α＋5π 3 )＝－sin(2α＋2π 3 )＝－2sin(α＋π 3)cos(α＋π 3)＝－4 2 9 . 19．解 (1)依题设得 f(x)＝2cos2x＋ 3sin 2x ＝1＋cos 2x＋ 3sin 2x＝2sin(2x＋π 6)＋1. 由 2sin(2x＋π 6)＋1＝1－ 3得 sin(2x＋π 6)＝－ 3 2 . ∵－π 3 ≤x≤π 3 ，∴－π 2 ≤2x＋π 6 ≤5π 6 ， ∴2x＋π 6 ＝－π 3 ，即 x＝－π 4. (2)－π 2 ＋2kπ≤2x＋π 6 ≤π 2 ＋2kπ(k∈Z)，即－π 3 ＋kπ≤x≤π 6 ＋kπ(k∈Z) 得函数单调增区间为[－π 3 ＋kπ，π 6 ＋kπ](k∈Z). x 0 π 6 π 3 π 2 2π 3 5π 6 π y 2 3 2 0 －1 0 2 20．解 (1)f(x)＝2acos2x＋ 3asin 2x－a＝ 3asin 2x＋acos 2x＝2asin(2x＋π 6)． 当 a>0 时，由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 6 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)， 得 kπ－π 3 ≤x≤kπ＋π 6(k∈Z)． 故函数 f(x)的单调增区间为[kπ－π 3 ，kπ＋π 6](k∈Z)． (2)由(1)知 f(x)＝2asin(2x＋π 6)． 当 x∈[0，π 2]时，2x＋π 6 ∈[π 6 ，7π 6 ]． 若 a>0，当 2x＋π 6 ＝π 2 时， f(x)max＝2a＝5，则 a＝5 2 ； 若 a<0，当 2x＋π 6 ＝7π 6 时， f(x)max＝－a＝5，则 a＝－5. 所以 a＝5 2 或－5. 21．解 (1)f(x)＝ 3sin2(x＋π 4)－cos2x－1＋ 3 2 ＝ 3[ 2 2 (sin x＋cos x)]2－cos2x－1＋ 3 2 ＝ 3sin xcos x－cos2x－1 2 ＝ 3 2 sin 2x－1＋cos 2x 2 －1 2 ＝sin(2x－π 6)－1， 所以 f(x)的最小正周期为π，最小值为－2. (2)由 m＝(1,5)与 n＝(1，f(π 4 －A))垂直， 得 5f(π 4 －A)＋1＝0， ∴5sin[2(π 4 －A)－π 6]－4＝0，即 sin(2A－π 3)＝－4 5. ∵A∈(0，π 2)，∴2A－π 3 ∈(－π 3 ，2π 3 )， ∵sin(2A－π 3)＝－4 5<0， ∴2A－π 3 ∈(－π 3 ，0)， ∴cos(2A－π 3)＝3 5. ∴cos 2A＝cos[(2A－π 3)＋π 3]＝3 5 ×1 2 ＋4 5 × 3 2 ＝4 3＋3 10 . 22．解 (1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝π 4 ， ∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋ 2(sin x＋cos x)． 令 t＝sin x＋cos x(0