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  • 2021-06-15 发布

天津市军粮城第二中学2020届高三上学期12月月考数学试题 含答案

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天津市军粮城第二中学2019—2020学年高三年级上12月数学考试题 ‎ 一、选择题:共9小题,每小题5分,共45分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.在四边形中,,,,,,点在线段的延长线上,且,点在边所在直线上,则的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设集合,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.过点作圆的切线L,则L的方程为( )‎ A. B.或 C. D.或 ‎4.已知数列是等比数列,数列是等差数列,若,,则的值是( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎5.设正实数分别满足,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知函数,则下列说法中,正确的是( )‎ A.的最小值为;‎ B.在区间上单调递增;‎ C.的图像关于点对称 D.将的纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的,可得到.‎ ‎7.抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合,且相交于两点,直线AF交抛物线与另一点C,且与双曲线的一条渐近线平行,若,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C.2 D.3 ‎y x O B F C A ‎8.设函数在上可导,,有且;对,有恒成立,则的解集为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎10.复数,则 ▲ .‎ ‎11.曲线在点处的切线方程为 ▲ .‎ ‎12.在的二项展开式中,含项的系数是 ▲ .(用数字作答)‎ ‎13.已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上,若,底面,且六边形是边长为1的正六边形,则球的体积为 ▲ .‎ ‎14.若,则的最小值为 ▲ .‎ ‎15.已知定义在上的函数满足,且当时,,若函数在上有四个零点,则实数的取值范围为 ▲ .‎ 三、解答题:本大题共5个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎16.(本小题满分14分)‎ 在中,内角所对的边分别为.已知,.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)求的值.‎ ‎17.(本小题满分15分)‎ 菱形中,平面,,,‎ ‎(Ⅰ)证明:直线平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的正弦值;‎ F E D C B A ‎(Ⅲ)线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,求;若不存在,说明理由.‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 已知点分别是椭圆()的左顶点和上顶点,为其右焦点,,且该椭圆的离心率为;‎ ‎(I)求椭圆的标准方程;‎ ‎(II)设点为椭圆上的一动点,且不与椭圆顶点重合,点为直线与轴的交点,线段的中垂线与轴交于点,若直线斜率为,直线的斜率为,且(为坐标原点),求直线的方程.‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知数列是公比大于1的等比数列,为数列的前项和,,且,,成等差数列.数列的前项和为,满足,且,‎ ‎(I)求数列和的通项公式;‎ ‎(II)令,求数列的前项和为;‎ ‎(III)将数列的项按照“当为奇数时,放在前面;当为偶数时,放在前面”的要求进行排列,得到一个新的数列:,求这个新数列的前项和.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知,‎ ‎(Ⅰ)求在处的切线方程以及的单调性;‎ ‎(Ⅱ)对,有恒成立,求的最大整数解;‎ ‎(Ⅲ)令,若有两个零点分别为且为的唯一的极值点,求证:.‎ 参考答案 一、选择题:共9小题,每小题5分,共45分.‎ ‎1—5:AACDB 6—9:BDCA 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎10.1 11. 12.70‎ ‎13. 14.4 15.‎ 三、解答题:本大题共5个小题,共75分.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 解:‎ ‎(Ⅰ)由,及,得.(2分)‎ 由及余弦定理,得.‎ ‎(6分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ),可得,(7分)‎ 代入,得.(8分)‎ 由(Ⅰ)知,A为钝角,所以.(9分)‎ 于是,(10分)‎ ‎,(11分)故 ‎.‎ ‎(14分)‎ ‎17.(本小题满分15分)‎ F E D C B A x y z 解:建立以为原点,分别以,(为中点),的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系(如图),(1分)‎ 则,,,‎ ‎,,.(2分)‎ ‎(Ⅰ)证明:,,‎ 设为平面的法向量,‎ 则,即,‎ 可得,(3分)‎ 又,可得,(4分)‎ 又因为直线平面,所以直线平面;(5分)‎ ‎(Ⅱ),,,‎ 设为平面的法向量,‎ 则,即,可得,(6分)‎ 设为平面的法向量,‎ 则,即,可得,(7分)‎ 所以,(8分)‎ 所以二面角的正弦值为;(9分)‎ ‎(Ⅲ)设,则,(10分)‎ 则,,(11分)‎ 设为平面的法向量,‎ 则,即,‎ 可得,(12分)‎ 由,得,‎ ‎(13分)‎ 解得或(舍),(14分) 所以.(15分)‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 解:(I)依题意知:,,,,,(1分)‎ 则,(2分)又,∴,(3分)‎ ‎∴椭圆的标准方程为:.(4分)‎ ‎(II)由题意,设直线的斜率为,直线方程为 所以,设,中点为,‎ 由消去得(5分)‎ ‎∴ ∴(7分)‎ ‎∴(9分)‎ ‎∴中垂线方程为:令得 ‎ ‎∴(10分) ‎ ‎∴,(11分) (12分)‎ ‎ 解得 ∴(13分)‎ ‎∴直线的方程为,即(14分)‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ ‎(I)由已知,得 ,‎ 即, 也即解得 (1分)‎ ‎ 故数列的通项为.(2分)‎ ‎,是首项为1,公差为的等差数列,(3分)‎ ‎(4分)‎ ‎,(5分)‎ ‎(II)(5分)‎ ‎ (9分)‎ ‎(10分)‎ ‎(III)数列前项和,数列的前项和;‎ ①当,(11分)‎ ②当 ⑴当时,‎ ⑵当时,‎ ‎(13分)‎ ③当 ‎(15分)‎ 综上………(16分)‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 解:(Ⅰ);(1分)‎ ‎;(2分)‎ 所以切线方程为;(3分)‎ ‎,所以的单调递减区间为,单调递增区间为.(5分)‎ ‎(Ⅱ)等价于;(6分)‎ ‎,(7分)‎ 记,所以为上的递增函数,‎ ‎(8分)‎ 且,所以 即,(9分)‎ 所以在上递减,在上递增,‎ 且;(10分)‎ 所以的最大整数解为3.(11分)‎ ‎(Ⅲ),得,‎ ‎(12分)‎ 当,,,;所以在上单调递减,上单调递增,而要使有两个零点,要满足,‎ 即;(13分)‎ 因为,,令,‎ 由,‎ 即:,‎ 而 即:由,只需证:,‎ ‎(14分)‎ 令,则 令,则 故在上递增,;(15分)‎ 故在上递增,;∴.(16分)‎