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- 2021-06-15 发布
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天津市军粮城第二中学2019—2020学年高三年级上12月数学考试题
一、选择题:共9小题,每小题5分,共45分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在四边形中,,,,,,点在线段的延长线上,且,点在边所在直线上,则的最大值为( )
A. B. C. D.
2.设集合,则( )
A. B.
C. D.
3.过点作圆的切线L,则L的方程为( )
A. B.或
C. D.或
4.已知数列是等比数列,数列是等差数列,若,,则的值是( )
A.1 B. C. D.
5.设正实数分别满足,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知函数,则下列说法中,正确的是( )
A.的最小值为;
B.在区间上单调递增;
C.的图像关于点对称
D.将的纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的,可得到.
7.抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合,且相交于两点,直线AF交抛物线与另一点C,且与双曲线的一条渐近线平行,若,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.3 y
x
O
B
F
C
A
8.设函数在上可导,,有且;对,有恒成立,则的解集为( )
A. B.
C. D.
9.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
10.复数,则 ▲ .
11.曲线在点处的切线方程为 ▲ .
12.在的二项展开式中,含项的系数是 ▲ .(用数字作答)
13.已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上,若,底面,且六边形是边长为1的正六边形,则球的体积为 ▲ .
14.若,则的最小值为 ▲ .
15.已知定义在上的函数满足,且当时,,若函数在上有四个零点,则实数的取值范围为 ▲ .
三、解答题:本大题共5个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.(本小题满分14分)
在中,内角所对的边分别为.已知,.
(I)求的值;
(II)求的值.
17.(本小题满分15分)
菱形中,平面,,,
(Ⅰ)证明:直线平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
F
E
D
C
B
A
(Ⅲ)线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,求;若不存在,说明理由.
18.(本小题满分14分)
已知点分别是椭圆()的左顶点和上顶点,为其右焦点,,且该椭圆的离心率为;
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设点为椭圆上的一动点,且不与椭圆顶点重合,点为直线与轴的交点,线段的中垂线与轴交于点,若直线斜率为,直线的斜率为,且(为坐标原点),求直线的方程.
19.(本小题满分16分)
已知数列是公比大于1的等比数列,为数列的前项和,,且,,成等差数列.数列的前项和为,满足,且,
(I)求数列和的通项公式;
(II)令,求数列的前项和为;
(III)将数列的项按照“当为奇数时,放在前面;当为偶数时,放在前面”的要求进行排列,得到一个新的数列:,求这个新数列的前项和.
20.(本小题满分16分)
已知,
(Ⅰ)求在处的切线方程以及的单调性;
(Ⅱ)对,有恒成立,求的最大整数解;
(Ⅲ)令,若有两个零点分别为且为的唯一的极值点,求证:.
参考答案
一、选择题:共9小题,每小题5分,共45分.
1—5:AACDB 6—9:BDCA
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
10.1 11. 12.70
13. 14.4 15.
三、解答题:本大题共5个小题,共75分.
16.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由,及,得.(2分)
由及余弦定理,得.
(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ),可得,(7分)
代入,得.(8分)
由(Ⅰ)知,A为钝角,所以.(9分)
于是,(10分)
,(11分)故
.
(14分)
17.(本小题满分15分)
F
E
D
C
B
A
x
y
z
解:建立以为原点,分别以,(为中点),的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系(如图),(1分)
则,,,
,,.(2分)
(Ⅰ)证明:,,
设为平面的法向量,
则,即,
可得,(3分)
又,可得,(4分)
又因为直线平面,所以直线平面;(5分)
(Ⅱ),,,
设为平面的法向量,
则,即,可得,(6分)
设为平面的法向量,
则,即,可得,(7分)
所以,(8分)
所以二面角的正弦值为;(9分)
(Ⅲ)设,则,(10分)
则,,(11分)
设为平面的法向量,
则,即,
可得,(12分)
由,得,
(13分)
解得或(舍),(14分) 所以.(15分)
18.(本小题满分14分)
解:(I)依题意知:,,,,,(1分)
则,(2分)又,∴,(3分)
∴椭圆的标准方程为:.(4分)
(II)由题意,设直线的斜率为,直线方程为
所以,设,中点为,
由消去得(5分)
∴ ∴(7分)
∴(9分)
∴中垂线方程为:令得
∴(10分)
∴,(11分) (12分)
解得 ∴(13分)
∴直线的方程为,即(14分)
19.(本小题满分16分)
(I)由已知,得 ,
即, 也即解得 (1分)
故数列的通项为.(2分)
,是首项为1,公差为的等差数列,(3分)
(4分)
,(5分)
(II)(5分)
(9分)
(10分)
(III)数列前项和,数列的前项和;
①当,(11分)
②当
⑴当时,
⑵当时,
(13分)
③当
(15分)
综上………(16分)
20.(本小题满分16分)
解:(Ⅰ);(1分)
;(2分)
所以切线方程为;(3分)
,所以的单调递减区间为,单调递增区间为.(5分)
(Ⅱ)等价于;(6分)
,(7分)
记,所以为上的递增函数,
(8分)
且,所以
即,(9分)
所以在上递减,在上递增,
且;(10分)
所以的最大整数解为3.(11分)
(Ⅲ),得,
(12分)
当,,,;所以在上单调递减,上单调递增,而要使有两个零点,要满足,
即;(13分)
因为,,令,
由,
即:,
而
即:由,只需证:,
(14分)
令,则
令,则
故在上递增,;(15分)
故在上递增,;∴.(16分)
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