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  • 2021-06-15 发布

高考数学热点难点突破技巧第10讲数列不等式的证明方法

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第 10 讲 数列不等式的证明方法 【知识要点】 证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法. 一、数学归纳法 一般地,证明一个与自然数 有关的命题 ,有如下步骤: (1)证明当 取第一个值 时命题成立. 对于一般数列取值为 0 或 1,但也有特殊情况; (2)假设当 ( , 为自然数)时命题成立,证明当 时命题也成立. 综合(1)(2),对一切自然数 ( ),命题 都成立. 二、放缩法 证明不等式时,有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小,使其化繁为简,化难 为易,达到证明的目的,这种方法称为放缩法. 放缩的技巧: ①添加或舍去一些项,如: ②将分子或分母放大或缩小,如: ③利用基本不等式等,如: 三、分析法 证明不等式时,从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐 步探索,最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件,这 种证明的方法称为分析法,它是执果索因的方法. 用分析法证明时,要注意格式,一般格式是“要证明,只需证明……”. 对于较难的题目,一般用分析法寻找思路,用综合法写出证明过程. 【方法点评】 方法一 数学归纳法 解题步骤 一般按照数学归纳法的“两步一结论”步骤来证明. 【例 1】用数学归纳法证明: 【证明】(1)当 时, , 命题成立. (2)假设当 时, 成立 当 时, + 当 时命题成立. 所以对于任意 都成立. 【点评】(1)利用数学归纳法证明不等式时,关键在于第二步,证明这一步时,一定要利用 前面的假设和已知条件. 否则是“伪数学归纳法”(2)利用数学归纳法证明时,为了利用 前面的假设,所以在证明 时,一般要配凑出 时的结论,再运用. 【反馈检测 1】已知 ,(其中 ) (1)求 及 ; (2)试比较 与 的大小,并说明理由. 方法二 放缩法 解题步骤 一般放缩数列通项,得到一个不等式通项,再求和. 或先求和再放缩求和的结 果. 【例 2】已知函数 (1)当 时,求函数 在 上的极值; (2)证明:当 时, ; (3)证明: . 【解析】(1)当 变化如下表 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ , (2)令 则 上为增函数. (3)由(2)知 ,令 得, 【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式,是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不 等式,有时需要先放缩通项,得到一个不等式通项,再求和. 有时是需要先求和再放缩求和 的结果,本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当,所以放的度很重要,有时需要把每一项都 放缩,有时需要把前面两项不放缩,后面的都放缩,有时需要把后面的项不放缩,所以要灵 活调整,以达到证明的目的 【反馈检测 2】已知数列 满足 . (1)求 及通项公式 ;(2)求证: . 【反馈检测 3】将正整数按如图的规律排列,把第一行数 1,2,5,10,17, 记为数列 ,第一列数 1,4,9,16,25, 记为数列 (1)写出数列 , 的通项公式; ( 2 ) 若 数 列 , 的 前 n 项 和 分 别 为 , 用 数 学 归 纳 法 证 明 : ; (3)当 时,证明: . 【反馈检测 4】已知函数 (1)当 时,比较 与 1 的大小; (2)当 时,如果函数 仅有一个零点,求实数 的取值范围; (3)求证:对于一切正整数 ,都有 . 【反馈检测 5】已知函数 . (1)讨论 的单调性与极值点; (2)若 ,证明:当 时, 的图象恒在 的图象上方; (3)证明: . 方法三 分析法 解题步骤 从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐步 探索,最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设 的条件. 【例 3】已知函数 是奇函数,且图像在点 处的切线斜率为 3( 为自然对数的底数). (1)求实数 、 的值;(2)若 ,且 对任意 恒成立,求 的最大值; (3)当 时,证明: . 【 解 析 】 ( 1 ) 是 奇 函 数 , 所 以 , 即 所以 ,从而 此时 , . 依题意 ,所以 . (2)当 时,设 ,则 设 ,则 , 在 上是增函数 (3)要证 ,即要证 即证 , 设 , . 则 设 ,则 , 在 上为增函数, , ,从而 , 在 上为增函数 因为 ,所以 , , 所以 【点评】本题的第 3 问,由于结论比较复杂,一下子看不出证明的方向,所以要采用分析法 来证明. 【反馈检测 6】已知函数 . (1)当 时,试确定函数 在其定义域内的单调性; (2)求函数 在 上的最小值; (3)试证明: . 高中数学热点难点突破技巧第 10 讲: 数列不等式的证明方法参考答案 【反馈检测 1 答案】(1) , ;(2)当 或 时, , 当 时, . 【反馈检测 1 详细解析】 ( 1 ) 取 , 则 ; 取 , 则 , . 猜想:当 时, ,下面用数学归纳法证明:由上述过程可知, 时结论成立, 假设当 时结论成立,即 , 两边同乘以 得: = ∵ 时, , ∴ . ∴ .即 时结论也成立, ∴当 时, 成立. 综上得,当 或 时, ;当 时, . 【反馈检测 2 答案】(1) , ;(2)见解析. 【反馈检测 2 详细解析】(1)解: 时,有 ,解得 时,由 得 ,两式相减得 ,解得 , 满足 ,故 (2) 所以 【反馈检测 3 答案】(1) , ;(2)证明见解析;(3)证明见解析. ② 假设 时等式成立,即 , 则 时, , ∴ 时等式也成立. 根据①②, 都成立. (3)当 时, ,∴ . 又 . 综上可知: 成立. 【反馈检测 4 答案】(1) 或 ;(2)见解析. 【反馈检测 4 解析】(1)当 时, ,其定义域为 因为 ,所以 在 上是增函数. 故当 时, ;当 时, ;当 时, . 所以函数 在 上递增,在 上递减,在 上递增 且 的极大值为 ,极小值为 又当 时, ;当 时, 因为函数 仅有一个零点,所以函数 的图象与直线 仅有一个 交点. 所以 或 (3)方法一:根据(1)的结论知当 时, 即当 时, ,即 . 令 ,则有 从而得 , , 故得 即 所以 (3)方法二:用数学归纳法证明:①当 时,不等式左边 ,右边 因为 ,所以 ,即 时,不等式成立 ②假设当 时,不等式成立,即 那么,当 时, 由(1)的结论知,当 时, ,即 所以 即 即当 时,不等式也成立 综合①②知,对于一切正整数 ,都有 【反馈检测 5 详细解析】 (1) , 当 时, 在 上恒成立, 所以 在 单调递增,此时 无极值点. 当 时, , 在 上的变化情况如下表: 1 + - + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知 在 和 上单调递增,在 上单调递减. 为极大值点, 为极小值点. (2)当 时,令 , ,当 时, , 时, , ∴ 在 上递减,在 上递增,∴ ,∴ 时, 恒 成立. 即 时, 恒成立,∴当 时, 的图象恒在 的图象上方. (3)由(2)知 ,即 ,∵ ,∴ , 令 ,则 ,∴ ∴ ∴不等式成立. 【反馈检测 6 答案】(1) 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ;(2) ;(3)见解析. (2) , , 当 时, , ,此时函数 在区间 上单调递减, 函数 在 处取得最小值,即 ; 当 时,令 , 当 时,即当 , , ,此时函数 在区间 上 单调递减, 函数 在 处取得最小值,即 ; 当 ,即当 时,当 , ,当 时, , 此时函数 在 处取得极小值,亦即最小值, 即 , 综上所述, ; 由(1)知,当 时,函数 在区间 上单调递增, 即函数 在区间 上单调递增,故 , 故有 ,因此不等式 在 上恒成立,故原不等式得证, 即对任意 , .