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- 2021-06-15 发布
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第 10 讲 数列不等式的证明方法
【知识要点】
证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法.
一、数学归纳法
一般地,证明一个与自然数 有关的命题 ,有如下步骤:
(1)证明当 取第一个值 时命题成立. 对于一般数列取值为 0 或 1,但也有特殊情况;
(2)假设当 ( , 为自然数)时命题成立,证明当 时命题也成立.
综合(1)(2),对一切自然数 ( ),命题 都成立.
二、放缩法
证明不等式时,有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小,使其化繁为简,化难
为易,达到证明的目的,这种方法称为放缩法.
放缩的技巧:
①添加或舍去一些项,如:
②将分子或分母放大或缩小,如:
③利用基本不等式等,如:
三、分析法
证明不等式时,从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐
步探索,最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件,这
种证明的方法称为分析法,它是执果索因的方法.
用分析法证明时,要注意格式,一般格式是“要证明,只需证明……”.
对于较难的题目,一般用分析法寻找思路,用综合法写出证明过程.
【方法点评】
方法一 数学归纳法
解题步骤 一般按照数学归纳法的“两步一结论”步骤来证明.
【例 1】用数学归纳法证明:
【证明】(1)当 时, , 命题成立.
(2)假设当 时, 成立
当 时,
+
当 时命题成立. 所以对于任意 都成立.
【点评】(1)利用数学归纳法证明不等式时,关键在于第二步,证明这一步时,一定要利用
前面的假设和已知条件. 否则是“伪数学归纳法”(2)利用数学归纳法证明时,为了利用
前面的假设,所以在证明 时,一般要配凑出 时的结论,再运用.
【反馈检测 1】已知 ,(其中 )
(1)求 及 ;
(2)试比较 与 的大小,并说明理由.
方法二 放缩法
解题步骤 一般放缩数列通项,得到一个不等式通项,再求和. 或先求和再放缩求和的结
果.
【例 2】已知函数
(1)当 时,求函数 在 上的极值;
(2)证明:当 时, ;
(3)证明: .
【解析】(1)当
变化如下表
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
,
(2)令 则
上为增函数.
(3)由(2)知 ,令 得,
【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式,是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不
等式,有时需要先放缩通项,得到一个不等式通项,再求和. 有时是需要先求和再放缩求和
的结果,本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当,所以放的度很重要,有时需要把每一项都
放缩,有时需要把前面两项不放缩,后面的都放缩,有时需要把后面的项不放缩,所以要灵
活调整,以达到证明的目的
【反馈检测 2】已知数列 满足 .
(1)求 及通项公式 ;(2)求证: .
【反馈检测 3】将正整数按如图的规律排列,把第一行数 1,2,5,10,17, 记为数列
,第一列数 1,4,9,16,25, 记为数列
(1)写出数列 , 的通项公式;
( 2 ) 若 数 列 , 的 前 n 项 和 分 别 为 , 用 数 学 归 纳 法 证 明 :
;
(3)当 时,证明: .
【反馈检测 4】已知函数
(1)当 时,比较 与 1 的大小;
(2)当 时,如果函数 仅有一个零点,求实数 的取值范围;
(3)求证:对于一切正整数 ,都有 .
【反馈检测 5】已知函数 .
(1)讨论 的单调性与极值点;
(2)若 ,证明:当 时, 的图象恒在 的图象上方;
(3)证明: .
方法三 分析法
解题步骤
从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐步
探索,最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设
的条件.
【例 3】已知函数 是奇函数,且图像在点 处的切线斜率为
3( 为自然对数的底数).
(1)求实数 、 的值;(2)若 ,且 对任意 恒成立,求 的最大值;
(3)当 时,证明: .
【 解 析 】 ( 1 ) 是 奇 函 数 , 所 以 , 即
所以 ,从而
此时 , .
依题意 ,所以 .
(2)当 时,设 ,则
设 ,则 , 在 上是增函数
(3)要证 ,即要证
即证 ,
设 , . 则
设 ,则 , 在 上为增函数,
, ,从而 , 在 上为增函数
因为 ,所以 , ,
所以
【点评】本题的第 3 问,由于结论比较复杂,一下子看不出证明的方向,所以要采用分析法
来证明.
【反馈检测 6】已知函数 .
(1)当 时,试确定函数 在其定义域内的单调性;
(2)求函数 在 上的最小值;
(3)试证明: .
高中数学热点难点突破技巧第 10 讲:
数列不等式的证明方法参考答案
【反馈检测 1 答案】(1) , ;(2)当 或 时, ,
当 时, .
【反馈检测 1 详细解析】
( 1 ) 取 , 则 ; 取 , 则 ,
.
猜想:当 时, ,下面用数学归纳法证明:由上述过程可知,
时结论成立,
假设当 时结论成立,即 ,
两边同乘以 得: =
∵ 时, ,
∴ . ∴ .即 时结论也成立,
∴当 时, 成立.
综上得,当 或 时, ;当 时, .
【反馈检测 2 答案】(1) , ;(2)见解析.
【反馈检测 2 详细解析】(1)解: 时,有 ,解得
时,由
得 ,两式相减得
,解得 ,
满足 ,故
(2)
所以
【反馈检测 3 答案】(1) , ;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
② 假设 时等式成立,即 ,
则 时,
,
∴ 时等式也成立.
根据①②, 都成立.
(3)当 时, ,∴ .
又
.
综上可知: 成立.
【反馈检测 4 答案】(1) 或 ;(2)见解析.
【反馈检测 4 解析】(1)当 时, ,其定义域为
因为 ,所以 在 上是增函数.
故当 时, ;当 时, ;当 时, .
所以函数 在 上递增,在 上递减,在 上递增
且 的极大值为 ,极小值为
又当 时, ;当 时,
因为函数 仅有一个零点,所以函数 的图象与直线 仅有一个
交点.
所以 或
(3)方法一:根据(1)的结论知当 时,
即当 时, ,即 . 令 ,则有
从而得 , ,
故得
即
所以
(3)方法二:用数学归纳法证明:①当 时,不等式左边 ,右边
因为 ,所以 ,即 时,不等式成立
②假设当 时,不等式成立,即
那么,当 时,
由(1)的结论知,当 时, ,即
所以
即
即当 时,不等式也成立
综合①②知,对于一切正整数 ,都有
【反馈检测 5 详细解析】
(1) ,
当 时, 在 上恒成立,
所以 在 单调递增,此时 无极值点.
当 时, , 在 上的变化情况如下表:
1
+ - +
递增 极大值 递减 极小值 递增
由此表可知 在 和 上单调递增,在 上单调递减.
为极大值点, 为极小值点.
(2)当 时,令 ,
,当 时, , 时, ,
∴ 在 上递减,在 上递增,∴ ,∴ 时, 恒
成立.
即 时, 恒成立,∴当 时, 的图象恒在 的图象上方.
(3)由(2)知 ,即 ,∵ ,∴ ,
令 ,则 ,∴
∴
∴不等式成立.
【反馈检测 6 答案】(1) 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ;(2)
;(3)见解析.
(2) , ,
当 时, , ,此时函数 在区间 上单调递减,
函数 在 处取得最小值,即 ;
当 时,令 ,
当 时,即当 , , ,此时函数 在区间 上
单调递减,
函数 在 处取得最小值,即 ;
当 ,即当 时,当 , ,当 时, ,
此时函数 在 处取得极小值,亦即最小值,
即 ,
综上所述, ;
由(1)知,当 时,函数 在区间 上单调递增,
即函数 在区间 上单调递增,故 ,
故有 ,因此不等式 在 上恒成立,故原不等式得证,
即对任意 , .
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