- 1018.00 KB
- 2021-06-15 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
7.1 数列
考点一 数列的有关概念及通项公式
1.数列{an}中,a1=1,当n≥2且n∈N*时,an=,则a3+a5= ( )
A. B. C. D.
2.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3 ( )
A.不是数列{an}中的项
B.只是数列{an}中的第2项
C.只是数列{an}中的第6项
D.是数列{an}中的第2项或第6项
3.数列,-,,-,…的一个通项公式为 ( )
A.an=(-1)n· B.an=(-1)n·
C.an=(-1)n+1· D.an=(-1)n+1·
4.若数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则++…+等于 ( )
A. B. C. D.
5.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=( )
- 11 -
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n
C.2+nln n D.1+n+ln n
【解析】1.选D.因为an=(n≥2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.
2.选D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.
3.选D.该数列是分数形式,分子为奇数2n+1,分母是指数2n,各项的符号由(-1)n+1来确定,所以D选项正确.
4.选D.由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,则a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,
an-an-1=(n-1)+1,以上等式相加,得an-a1=2+3+…+(n-1)+n,把a1=1代入上式得an=1+2+3+…+(n-1)+n=,
所以==2,
则++…+=2=2=
.
5.选A.因为an+1=an+ln,
- 11 -
所以an-an-1=ln=ln(n≥2),
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=ln+ln+…+ln+ln 2+2
=2+ln=2+ln n(n≥2).
又a1=2适合上式,故an=2+ln n(n∈N*).
将T3改为已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项公式不可能是
( )
A.an=(-1)n-1+1 B.an=
C.an=2sin D.an=cos(n-1)π+1
【解析】选C.对n=1,2,3,4进行验证,an=2sin不合题意.
1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;
②相邻项的变化特征;
③各项的符号特征和绝对值特征;
④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;
⑤对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.
2.递推公式推导通项公式的方法
- 11 -
(1)累加法:an+1-an=f(n).
(2)累乘法: =f(n).
(3)待定系数法:an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0).把原递推公式转化为:an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解.
【秒杀绝招】
1.代入法解T2根据选项可直接把n=2或n=6代入检验.
2.特值检验法解T3先利用排除法排除A、B,然后可直接把n=3代入检验排除C.
考点二 an与Sn的关系及其应用
【典例】1.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1)(n∈N*),则an= ( )
A.2n B.2n-1 C.2n D.2n-1
2.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,求an.
【解题导思】
序号
联想解题
1
(1)看到an与Sn的关系,想到利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为an与an-1的关系
(2)也可以先检验n=1,n=2,n=3进行排除
2
(1)利用an+1=Sn+1-Sn转化为Sn+1与Sn的关系
(2)求得Sn,代入an=Sn-Sn-1(n≥2)得an,并检验n=1是否成立
【解析】1.选C.当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
2an-2an-1,
所以an=2an-1,
所以数列{an}为首项为2,公比为2的等比数列,
所以an=2n.
【一题多解】选C.利用递推关系求出a1=2,a2=4,a3=8,易确定C.
2.由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1Sn,得-=-1,
- 11 -
故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1-(n-1)=-n,
所以Sn=-.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=,
故an=
【答题模板微课】本例题2的模板化过程:
建模板:当n=1时,a1=S1=-1, …………求首项
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=,…………作差求通项
经检验a1=-1不适合an=, …………检验
故an= …………结论
套模板:已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1,则an=________.
【解析】当n=1时,a1=S1=1+2+1=4, …………求首项
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1, …………作差求通项
经检验a1=4不适合an=2n+1, …………检验
故an= …………结论
答案:
1.已知Sn求an的三个步骤
- 11 -
(1)先利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.
(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.
2.Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.
(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.
(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式是________.
【解析】当n=1时,a1=S1=2-3=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=
2n-2n-1=2n-1.当n=1时不满足,故an=
答案:an=
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= ( )
A.2n-1 B.
C. D.
【解析】选B.由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),
即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,
- 11 -
所以Sn=.
【变式备选】
已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式.
(1)Sn=2n2-3n.(2)Sn=3n+b.
【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-3=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.
由于a1也适合此等式,所以an=4n-5.
(2)a1=S1=3+b,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.
当b=-1时,a1适合此等式;
当b≠-1时,a1不适合此等式.
所以当b=-1时,an=2·3n-1;
当b≠-1时,an=
考点三 数列的性质及其应用
命
题
精
解
读
考什么:考查数列的单调性、周期性、最值问题
怎么考:因为数列可以看作是一类特殊的函数值,所以数列也具备函数应具备的性质,因此常常以数列为载体,考查单调性、周期性以及最值等问题.解题过程中常常渗透逻辑推理的核心素养.
新趋势:由递推关系求通项公式考查求通项公式的方法成为考试的新趋势
学
霸
好
方
法
1.解决数列单调性问题的三种方法
(1)作差比较法
(2)作商比较法
(3)结合相应函数的图象直观判断.
2.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
- 11 -
3.求数列最大项或最小项的方法
(1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项;
(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项.
4.交汇问题
数列的函数特性可利用数形结合、分类讨论进行解题
数列的单调性
【典例】已知递增数列{an},an≥0,a1=0.对于任意的正整数n,不等式t2--
3t-3an≤0恒成立,则正数t的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.6
【解析】选C.因为数列{an}是递增数列,
又t2--3t-3an=(t-an-3)(t+an)≤0,
t+an>0,所以t≤an+3恒成立,
t≤(an+3)min=a1+3=3,所以tmax=3.
在数列的恒成立问题中,若涉及求参数的最值问题时,如何进行合理地转化?
提示:在涉及求参数的最值问题时,常常与已知数列的单调性有关,因此解决这类问题,需要先判断该数列的单调性.
数列的周期性
【典例】若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2 022的值为 ( )
A.2 B.-3 C.- D.
- 11 -
【解析】选B.因为a1=2,an+1=,所以a2==-3,同理可得:a3=-,a4=,
a5=2,a6=-3,a7=-,a8=,…,可得an+4=an,则a2 022=a505×4+2=a2=-3.
在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑如何求解?
提示:在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,利用周期性即可求出该数列中的某一项.
数列中的最值
【典例】数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),若a5是{an}中的最大值,则a的取值范围是________.
【解析】当n≤4时,an=2n-1单调递增,因此n=4时取最大值,a4=24-1=15.
当n≥5时,an=-n2+(a-1)n
=-+.
因为a5是{an}中的最大值,
所以
解得9≤a≤12.所以a的取值范围是[9,12].
答案:[9,12]
当数列涉及最大项或最小项问题时,除了用不等式组求解,还可以考虑什么方法?
提示:解决数列的最值问题,除了用不等式组求解,还可以将数列看作某个函数,利用求函数的最值的方法求数列的最值.
- 11 -
1.已知数列{an}满足an=(n∈N*),则数列{an}的最小项是第______项.
【解析】因为an=,所以数列{an}的最小项必为an<0,即<0,3n-16<0,从而n<.又n∈N*,所以当n=5时,an的值最小.
答案:5
2.已知数列{an}中,an=n2+λn,且{an}为递增数列,求实数λ的取值范围.
【解析】因为an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+λ+1,所以由{an}为递增数列可得2n+λ+1>0,即λ>-2n-1对一切n∈N*恒成立.因为n=1时,-2n-1取得最大值-3,所以λ>-3,即λ∈(-3,+∞).
【一题多解】函数f(n)=n2+λn的图象的对称轴是n=-,如图,只需要-<,则λ>-3,即λ∈(-3,+∞).
1.已知在正项等比数列中,a2 020=4a2 018,a2+a4=20,则a2 020的个位数字是
( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选C.设公比为q(q>0),
依题意得
解得a1=q=2,故a2 020=2×22 019=22 020,注意到21个位数字是2,22个位数字是4,23个位数字是8,24的个位数字是6,25的个位数字是2,26的个位数字是4,…,故2n的个位数字的周期为4,而22 020=2505×4,故其个位数字为6.
- 11 -
2.数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}中的最大项是 ( )
A.3 B.19 C. D.
【解析】选C.令f(x)=x+(x>0),运用基本不等式得f(x)≥2,当且仅当x=3时,等号成立.因为an=,所以≤,由于n∈N*,故当n=9或n=10时,an=最大.
- 11 -
相关文档
- 2020_2021学年高中数学第二章数列2021-06-1521页
- 高考数学【理科】真题分类详细解析2021-06-1573页
- 2020届二轮复习利用函数证明数列不2021-06-1518页
- 2013届高考数学一轮复习 数列的综2021-06-158页
- 高中数学第二章数列2-5等比数列的2021-06-156页
- 2018届二轮复习(文)专题四数列22021-06-1511页
- 【数学】2019届一轮复习人教A版数2021-06-1513页
- 2020届高考理科数学二轮专题复习课2021-06-1537页
- 2020届二轮复习数列、不等式学案(全2021-06-1515页
- 2020届二轮复习(文)第2部分专题2第2021-06-1513页