山东省淄博市沂源一中2013届高三上学期第二次月考数学（理）试题 9页

数学试题（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设全集则下图中 阴影部分表示的集合为 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎2. 已知命题“，如果，则”，则它的否命题是 ‎ A、，如果，则 ‎ ‎ B、，如果，则 ‎ C、，如果，则 ‎ D、，如果，则 ‎3.已知两条直线，且，则= ‎ A. B． C． -3 D．3‎ ‎4.在等比数列{}中，若，，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知两条不同直线和及平面，则直线的一个充分条件是 （ ）‎ ‎ A．且 B．且 ‎ ‎ C．且 D．且 ‎6．已知函数的图象的一段圆弧（如图所示），则（ ）‎ xX y OxX ‎1‎ A． B．‎ ‎ C． D．前三个判断都不正确 ‎7.函数的零点所在的大致区间是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知，且，则下列不等式中，正确的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若且，在定义域上满足，则的取值范围是（ ） ‎ ‎ A．（0,1） B．[，1） C．（0，] D．（0，]‎ ‎10.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像 （ ） ‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎（11）已知函数的图象如图①所示，则图②是下列哪个函数的图象 c ‎ ‎ A． B. C. D.‎ ‎12. 对于非空集合A、B,定义运算，且.已知两个开区间M=(a,b),N=(c,d)，其中a、b、c、d满足，则= ‎ A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在答题纸上。‎ ‎13. 设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是 .‎ ‎14．已知为坐标原点，点，点满足条件，则的最大值为_____________。‎ ‎15．设曲线与轴、轴、直线围成的封闭图形的面积为，若在上单调递减，则实数的取值范围是 。‎ 图2‎ ‎16 已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ‎ （1）求的大小；‎ ‎ （2）设且的最小正周期为，求的最大值。‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且 ．‎ ‎ （1）求与；‎ ‎ （2）求数列的前项和。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥中，，，，，， 点，分别在棱上，且，‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面PAC ‎ （Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；‎ ‎ （Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由．‎ ‎[来源:学,科,网]‎ ‎20．（本小题满分12分）[来源:学科网ZXXK]‎ 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.已知甲、乙两地相距100千米。‎ ‎（1）当汽车以‎40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？‎ ‎（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎.已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. ‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎ （1）求的单调区间；‎ ‎ （2）若在内恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3），求证：‎ 数学理科答案 ABCCB,CADBD,CB 13. 14． 15． 16 ‎ ‎18．（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，‎ ‎， ‎ 依题意有，即，‎ 解得或者（舍去），‎ 故。‎ ‎ （2）。‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎，‎ 所以。‎ ‎19．解：（法1）（Ⅰ）∵，，，∴PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.‎ ‎ （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，‎ 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，‎ ‎∴，∴在Rt△ABC中，，∴.‎ ‎∴在Rt△ADE中，，‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎ （Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，‎ 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，‎ ‎∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，‎ 这时，故存在点E使得二面角是直二面角.‎ ‎ （法2）如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，‎ 由已知可得，，，.‎ ‎ （Ⅰ）∵，，∴，‎ ‎∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎ （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，‎ ‎∴，，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴与平面所成的角的大小。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ （Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，[来源:Zxxk.Com]‎ 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，‎ ‎∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，‎ 使得AE⊥PC，这时，‎ 故存在点E使得二面角是直二面角.‎ ‎20. (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时, 要耗油(. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油‎17.5升. (2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，依题意得h (x)=()·,‎ h’(x)=(0＜x≤120）‎ 令h’(x)=0，得x=80. 当x∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时，h’(x)＞0,h(x)是增函数. ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以‎80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为‎11.25升. ‎ ‎21.（Ⅰ）解：由 ， 得 . ………………‎ 依题意△是等腰直角三角形，从而，故. ………………‎ 所以椭圆的方程是. ………………‎ ‎（Ⅱ）解：设，，直线的方程为. ‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，‎ 消去得 . ………………‎ 所以 ，. ………………‎ 若平分，则直线，的倾斜角互补，‎ 所以. ‎ 设，则有 .‎ 将 ，代入上式，‎ 整理得 ，‎ 所以 . ………………‎ 将 ，代入上式，‎ 整理得 . ………………‎ 由于上式对任意实数都成立，所以 .‎ ‎ 综上，存在定点，使平分.‎ ‎22.‎