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- 2021-06-15 发布
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秘密★启用前 【考试时间:1 月 19 日】
2020年重庆一中高2020级高三上期期末考试
数 学(文科)试 题 卷 2020.1
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题,共分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.复数(其中为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.(原创)设,则的大小顺序是( )
A. B. C. D.
4.(原创)设为实数,直线,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 执行如右图所示的程序框图,输出的结果是( )
A. B. C. D.
6. 一个几何体的三视图如右图所示(单位:m),则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7. 正三角形中,是线段上的点,,,则=( )
A.3 B. 6 C. 9 D.12
8.(原创)已知函数的部分图象如右图所示,则函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
9.(原创)在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为,其焦点到渐近线的距离为,过点的直线与双曲线交于两点. 若是的中点,则直线的斜率为( )
A.2 B. 4 C. 6 D.8
10. 元旦晚会一次猜奖游戏中,四个盒子里摆放了四件奖品(每个盒里仅放一件). 甲同学说:号盒里是,号盒里是;乙同学说:号盒里是,号盒里是;丙同学说:号盒里是,号盒里是;丁同学说:号盒里是,号盒里是.如果他们每人都猜对了一半,那么号盒里是( )
A. B. C. D.
11.(原创)在锐角三角形中,内角的对边分别为.若,且,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
12. 定义在上且周期为4的函数满足:当时, ,若在区间上函数恰有三个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 在等比数列中,已知,,则= .
14. (原创)已知是定义在上的奇函数,若时,,则曲线在点处的切线斜率为______.
15. 设不等式组所表示的平面区域为,函数的图象与轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点不落在内的概率为______.
16. 已知一个圆锥的底面直径为,其母线与底面的夹角的余弦值为. 圆锥内有一个内接正方体,该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上,则这个正方体的外接球表面积为_________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17. 已知数列{}中,.
(1)求证:数列{}是等比数列;
(2)求数列{}的前项和.
18.对某居民最近连续几年的月用水量进行统计,得到该居民月用水量 (单位:吨)的频率分布直方图,如图一.
(1)求的值,并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量;
(2)已知该居民月用水量与月平均气温(单位:)的关系可用回归直线模拟.2019年当地月平均气温统计图如图二,把2019年该居民月用水量高于和低于的月份作为两层,用分层抽样的方法选取个月,再从这个月中随机抽取个月,求这个月中该居民恰有个月用水量超过的概率.
19. 已知四棱锥中,底面是边长为的菱形,,,.点是棱的中点,点在棱上,且, ∥平面.
(1)求实数的值;
(2)求四棱锥的体积.
20. 已知椭圆过圆的圆心,且右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线交椭圆于,两点,若,求直线的方程.
21. 已知函数是的导函数.
(1) 讨论函数的极值点个数;
(2) 若,,若存在,使得,试比较与的大小.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4:坐标系与参数方程]
(原创)在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为 (为参数),以为极点, 轴的非负半轴为极轴,曲线的极坐标方程为: .
(1)求曲线的普通方程和曲线的参数方程;
(2)若点在曲线上运动,求点到曲线距离的最小值及对应的点的坐标.
23. [选修4-5:不等式选讲]
(原创)已知函数.
(1)当时,证明:;
(2)若的值域为,且,解不等式.
2020年重庆一中高2020级高三上期末考试
数 学(文科)试 题 卷 2020.1
一、选择题:
CDBCB ABDCA CB
二、填空题:
13. 14. 15. 16.
三、解答题:
17.(1)证明:因为
所以…………4分
又因为则,……………………………………5分
所以数列{}是首项为2,公比为2的等比数列. …………………………6分
(2)由(Ⅰ)知所以……………………………7分
所以
……………………………9分
………………………………………………………11分
…………………………………………………………12分
18.(1)由图一可知, ……3分
该居民月平均用水量约为……6分
(2)由回归直线方程知, 对应的月平均气温刚好为
,………………………………………………7分
再根据图二可得,该居民2019年月和月的用水量刚好为,且该居民2019年有个月每月用水量超过,有个月每月用水量低于,…………………………………8分
因此,用分层抽样的方法得到的样本中,有个月(记为)每月用水量超过,有个月(记为)每月用水量低于,从中抽取个,有,共种结果, ……………10分
其中恰有一个月用水量超过的有共种结果, ………11分
设“这个月中恰有个月用水量超过”为事件,则…………12分
19.(1)连接,设,则平面平面,…………1分
//平面, // ,…………………2分
∽, ,………4分
,…………………5分
.……………………………………………6分
(2),
又 ,
, , 平面,……………………9分
所以=
…………12分
20.解:(1)因为抛物线的焦点为,所以,…………………………1分
因为在椭圆上, 所以,由,得,,所以椭圆的方程为………………………………………………………5分
(2)由得: ,即,可得,……………………………………6分
①当垂直轴时, ,此时满足题意,所以此时直线的方程为;…………………………………………………7分
②当不垂直轴时,设,,直线的方程为,
由消去得,
所以,,…………………………………………8分
代入可得: ,
代入,,得,
代入化简得: ,……………………………………10分
解得,
经检验满足题意,则直线的方程为………………………………11分
综上所述直线的方程为或………………………………12分
21.解:(1),……………………………………………1分
当时,,在上单调递增,无极值点;……………2分
当时,,故在上单调递增,在上单减,故有1个极小值点,无极大值点. ……………………………………………………4分
综上:当时,有0个极值点;当时,有1个极值点. ………5分
(2),,
,
故
==,…………………………7分
令,,……………………………………8分
则,所以在上单调递增,则,
………………………9分
,……………10分
,又在上单调递增,………………11分
,即……………………………………………12分
22.解:(1);………………………………………………………2分
……………………………………5分
(2) 设点,则
点到曲线的距离
=(其中)
=,…………………………………………………………………7分
当时,,此时即
,所以,,故……………………………………………………………………………10分
23.(1)证明:…………………4分
当且仅当时,取等号………………………………………………………………5分
(2) ,,……………………………6分
又,…………………………7分
由题意可得………………9分
故原不等式的解集为…………………………………………………10分
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