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  • 2021-06-15 发布

江苏省南通市海安县2021届高三上学期期中调研考试数学答案(扫描版)

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高三数学参考答案与评分建议第1页 2021 届高三期中学业质量监测 数学参考答案与评分建议 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知公比 q 大于 1 的等比数列 3〃 }满足丹+ % = 10, (1)求{〃〃}的通项公式; ,求数列{8〃}的前〃项和嵐. (2F)(2f )这三个条件中选择一个' 补充在上面的 横线上,并完成解答. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 解:(1)因为% + % = 10 , %=4,所以; + 4q = 10,即 202_5q + 2 = O. 因为 g>l,所以 g = 2,此时%=2.所以 an=2n. (2)若选①:bn =n-an = H• 2n . 则 g = lx2 + 2x2?+ 3x2’+..・ + 〃.2〃, 故= lx22 + 2x23 +... + (〃一 1).2〃 +〃.2”+i.② ①一②得,-Sn = (2 + 22 + 23 + …+ 2〃)_〃.2"+i 2020.1 1 DBBC AACB 二、选择题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) AC ABC ABD BCD 三、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 3 14. 8.2 16.睁+縉 四、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分) 请在①n-an;②| 21og2an -9 | ;③ 高三数学参考答案与评分建议第 2 页 18 ・(本小题满分 12 分) 在△如 C 中,设角 A,B, C 所对的边长分别为 a,b,c,且(c-b)sinC = (a -b)(sin^4 + sinB). (1)求 (2)若 b = 2,且^ABC 为锐角三角形,求△砧 C 的面积 S 的取值范围. 解:(1)因 sin C = (a - 6) (sin J + sin B), 由正弦定理知,(C2)C = (G-Z?)(G + Z>),即 c2 -bc = a2 -b2. 则由余弦定理知,cos^4 = b +f -疽=二, 2bc 2 在△如 C 中,0<1V7l,所以 N =专. =(1 一〃)2'中一 2, 所以&=(〃- 1)2 心'+2. 10 分 若选②:bn =| 21og2 an-9 | = | 2n-9 | = 9-2M, 〃W4, 2«-9, nN 5. S 产〃 (7+了地= _/+8〃; § =0 +奶 +么 +4) + 05 + 4 + …+ 如) 4x(7 + l) (H-4)(1 +2M-9) -2- + =一 8〃 + 32 ・ 综上,S,= —+ 8〃 ,〃< 4, n2 -8/1 + 32, 5. 2"若选③:b =------------—=-------------------------- ?— n (2"+1)(2 心 1+1) 2”+l 2〃袒+1 -J_______ ) + (____________I 2 + 1 22+l / 22+l 则& = 23+1 + ・・• + 1 1 2”+l 2^+1 =------3 2*+l 10 分 高三数学参考答案与评分建议第 3 页 设平面 DCE 的法向量为〃 =3 , y, z),则 9 「厂 2sin(弩- ....... (2)由正弦定理知,4 = 今,得。=荟坦 g = 一 12- . ……8 分 sin 8 smC sin 5 sinB 故 S = §bcsii" = gc = ....... =1+近. .......[0 分 2 tan B 2 sin B cosB + ^sinB sin 8 由左 ABC%锐角三角形,得 0<腿 3, 0〈弩-腿多 所^6<5<2 * 从而 tan B > g,所以#<0 +芸 1 +沁=1.y y 9 则 X 的概率分布为 3 分户("】) =弩携蓦,心=2)=弩 X 0 1 2 P 2 5 2 1 9 9 9 高三数学参考答案与评分建议第6页 (2)设通过试验痊愈的人数为 H 则 r〜8(10, 1 记“通过试验却认定新药无效”为事件 X,事件 N 发生等价于{FV2}. 则 p=p(y<2) = p(y=o)+p(r = i)=c?o(l)[l),c;o(l),x(l)9 10 分 由题意,实际上新药是有效的;当痊愈人数低于 2 人时,认定新药无 效,此时 做出了错误的判断;因为 pa0.01v0.05,这个概率很小,故试验方案是合理的・ 12 分 21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xQ 中,已知椭圆 C:矣+ W = l(“>5>0)的离心率为丰,且经过 a b2 点』(1,專)• (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设 F 为椭圆 C 的右焦点,直线,与椭圆。相切于点 F (点 P 在第一象限),过原点。 作直线/的平行线与直线所相交于点。,问:线段 PQ 的长是否为定值?若是,求 出 定值;若不是,说明理由. 1 , 1 1 万+梦 i 。2=屏+凌. 解得 Q =也,b = l,所以椭圆 C 的方程为苓+寸=1. (2)设直线/的方程为 y = ibc + /n , 因为直线/与椭圆以相切,所以△ =(4 饥)2_4(2 冰-2)(2 砂+1) = 0 化简得, m2 = 2k2 +1 . 1024 解:(1)记椭圆的半焦距为。,由题意知, 由, y = kx + mf 专+「=1, 得(2® +1)/ + 4kmx + 2m2 -2 = 0 . 高三数学参考答案与评分建议 第7页 设 P""则'/耕=一斧 5 当点 P 为(1,乎)时’。(1,一乎),PQ=”; 时,直线 PF 方程为》=-次而 3 一 1) 于是 PQ=(^-^)2+(^ - yQ )2 = 综上,线段 PQ 的长为定值 VI. 22. (本小题满分 12 分) 己知函数/(x) = aex+1, g(x) = ln《一 1,其中。>0. (1) 若 a = l,在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点。分别作函数 y = /(x)与 y = g(x) 的图象的 切线 I】,小 求",厶的斜率之积; (2) 若/(x)Ng(x)在区间(0, +8)上恒成立,求。的最小值. 解:(1)设直线 4,A 的斜率分别为佑,与,切点分别为”也,/】),5( x2 , lnx2-l). 则 r(x)=坤,g,(x) = * .由]:二得玉=1. ……2 分 k2x2 = In x2 -1, 同理,由义=丄 得 x2=e2. 、[一若 于是^2=/ViW2) = e2x4 = b 所以«,A 的斜率之积为 1. ……5 分 e =1m 由, y = ~2k^i y = kx9 '得 r +品所以 10 分 1+ -(2"弑 + 2k = 1 + 2 矽 + 2km | + I J 4 号 + 4/m + m2 + I 2k + m I yj 2k2 + Ahn + 2m2 • | 2k + m | m2 +2km m(m + k) 12 分 高三数学参考答案与评分建议第8页 ⑵由 _y(x)3g(x)在(0,+8)上恒成立,知 Vx>0, flcI+'-ln^ + 1^0. a 令「(x) = GW -血五 + 1, KC(0,+OO),则 F'(x) = aer+, - — = — (xex+1 -丄)・ G x x a) 令 A(x) = xe)(+1-1)则”(*) = 0+1)并>0,所以机 x)为单调增函数. 又/i(0)= --^<0 , /?(丄卜丄 e;+‘ - 丄=丄(e;" -1 )> 0 , 所以/7(0).碓)<0 ,则存在唯一的实数 X。可 0,土),使心)=0,即矿(易)=0. 当 0x0 时,F'(XQ)>0, F(x)单调 递增,所以尸(x)在 x = x0 处取极小值即最小值• 则卩 3 扁=F(x()) = ae"-ln 迪+ l = ae"-lnx()+ lna + lN0 . •… 又 x()e4+i=丄,故 ae%+i=丄,于是 lna + x0 +l = -lnx0 . a 玉) 所以_F(Xo) =丄一 21nXo-气 NO . ..... xo 令(p(x) = }-21nx-x ,则(p'(x) = -- 一*一 1 v0 ,故(p(x)为单调减函数. 又0,于是所以 a 的最小值为丄.……12 分 Q e e 10 分