浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式含解析 13页

第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tan__α.‎ ‎2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin__α ‎－sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α ‎－cos__α ‎ cos__α ‎ ‎－cos__α ‎ sin__α ‎－sin__α ‎ 正切 tan α tan__α ‎－tan__α ‎－tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.特殊角的三角函数值 α ‎0‎ π sin α ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ cos α ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ tan α ‎0‎ ‎1‎ 不存在 ‎0‎ 不存在 ‎2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α 中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)‎ ‎(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(　　)‎ ‎(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(　　)‎ ‎(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)‎ 解析　(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立.‎ ‎(4)当k为奇数时，sin α＝，当k为偶数时，sin α＝－.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.sin 600°的值为(　　)‎ A.－ B.－ ‎ C. D. 解析　sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.‎ 答案　B ‎3.已知sin＝－，α∈，则tan α＝(　　)‎ A. B.－ ‎ C.－ D. 解析　sin＝cos α＝－，又α∈，则sin α＝＝，则tan α＝＝－，故选C.‎ 答案　C ‎4.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　)‎ A. B.－ ‎ C. D.－ 解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝.‎ 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，‎ 又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.‎ 答案　B ‎5.(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则的值为________.‎ 解析　原式＝＝＝3.‎ 答案　3‎ ‎6.设a为常数，且a>1，0≤x≤2π，则当x＝________时，函数f(x)＝cos2x＋2asin x－1的最大值为________.‎ 解析　f(x)＝cos2x＋2asin x－1＝1－sin2x＋2asin x－1＝－(sin x－a)2＋a2，因为0≤x≤2π，所以－1≤sin x≤1，‎ 又因为a>1，所以当sin x＝1，即x＝时，f(x)max＝－(1－a)2＋a2＝2a－1.‎ 答案　　2a－1‎ 考点一　同角三角函数基本关系式的应用 ‎【例1】 (1)(2020·浙江教育绿色评价联盟适考)已知α为第二象限角，且3sin α＋cos α＝0，则sin α＝(　　)‎ A. B. C.－ D.－ ‎(2)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)‎ A.－ B. ‎ C.－ D. ‎(3)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A. B. ‎ C.1 D. 解析　(1)由3sin α＝－cos α，两边平方得9sin2α＝1－sin2α，则sin α＝±，又α为第二角限角，所以sin α＞0，则sin α＝，故选A.‎ ‎(2)∵<α<，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，‎ ‎∴cos α－sin α>0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，‎ ‎∴cos α－sin α＝.‎ ‎(3)tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.‎ 答案　(1)A　(2)B　(3)A 规律方法　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎【训练1】 (1)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)‎ A.－1 B.－ ‎ C. D.1‎ ‎(2)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D.－2‎ ‎(3)已知sin α＝，0＜α＜π，则tan α＝__________，‎ sin ＋cos ＝__________.‎ 解析　(1)由得：2cos2α＋2cos α＋1＝0，‎ 即＝0，∴cos α＝－.‎ 又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan ＝－1.‎ ‎(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝＝＝.‎ ‎(3)因为0＜α＜π，所以tan α＝＝±＝‎ ‎±＝±，又0＜＜，所以sin ＞0，‎ cos ＞0，所以sin ＋cos ＝＝＝＝.‎ 答案　(1)A　(2)A　(3)±　 考点二　诱导公式的应用 ‎【例2】 (1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；‎ ‎(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，求f的值.‎ 解　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°‎ ‎＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)‎ ‎＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°‎ ‎＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.‎ ‎(2)∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝＝ ‎＝＝.‎ 规律方法　(1)诱导公式的两个应用 ‎①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.‎ ‎②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.‎ ‎【训练2】 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)‎ A.{1，－1，2，－2} B.{－1，1}‎ C.{2，－2} D.{1，－1，0，2，－2}‎ ‎(2)化简：＝______.‎ 解析　(1)当k为偶数时，A＝＋＝2；‎ k为奇数时，A＝－＝－2.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝＝－1.‎ 答案　(1)C　(2)－1‎ 考点三　诱导公式、同角三角函数关系式的综合 应用 ‎【例3】 (1)已知tan＝，则tan＝________.‎ ‎(2)已知cos＝，且－π<α<－，则cos＝(　　)‎ A. B. ‎ C.－ D.－ ‎(3)若＋＝，则sin αcos α＝(　　)‎ A.－ B. ‎ C.－或1 D.或－1‎ 解析　(1)∵＋＝π，‎ ‎∴tan＝tan＝－tan＝－.‎ ‎(2)因为＋＝，‎ 所以cos＝sin＝sin.‎ 因为－π<α<－，所以－<α＋<－.‎ 又cos＝>0，所以－<α＋<－，‎ 所以sin＝－＝－＝－.‎ ‎(3)由已知得sin α＋cos α＝sin αcos α，∴1＋2sin αcos α＝3sin2αcos2 α，∴(sin αcos α－1)(3sin αcos α＋1)＝0，‎ ‎∵sin αcos α＝sin 2α≤，∴sin αcos α＝－.‎ 答案　(1)－　(2)D　(3)A 规律方法　(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等.‎ ‎(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.‎ ‎【训练3】 (1)已知sin＝，则cos＝________.‎ ‎(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)‎ A. B. ‎ C.0 D.－ ‎(3)(2016·上海卷)设a∈R，b∈[0，2π].若对任意实数x都有sin＝sin(ax＋b ‎)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为(　　)‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ 解析　(1)∵＋＝，‎ ‎∴cos＝cos＝sin＝.‎ ‎(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f＝f＝f＝f＝f＋sinπ.‎ 因为当0≤x<π时，f(x)＝0.所以f＝0＋＝.‎ ‎(3)sin＝sin＝sin，(a，b)＝，又sin＝sin＝sin，(a，b)＝，注意到b∈[0，2π]，只有这两组.故选B.‎ 答案　(1)　(2)A　(3)B 基础巩固题组 一、选择题 ‎1.＝(　　)‎ A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2‎ C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2 ‎ 解析　＝ ‎＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.‎ 答案　A ‎2.cos＝，则sin＝(　　)‎ A. B. C.－ D.－ 解析　sin＝sin＝cos＝.‎ 答案　A ‎3.已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝(　　)‎ A.－ B. ‎ C.－ D. 解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，‎ 所以cos α＝＝，故tan α＝＝－.‎ 答案　C ‎4.已知tan α＝，且α∈，则sin α＝(　　)‎ A.－ B. ‎ C. D.－ 解析　∵tan α＝＞0，且α∈，∴sin α＜0，‎ ‎∴sin2α＝＝＝＝，‎ ‎∴sin α＝－.‎ 答案　A ‎5.已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)‎ A.－ B.－ ‎ C. D. 解析　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.‎ 答案　B ‎6.向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos＝(　　)‎ A.－ B. ‎ C.－ D.－ 解析　∵a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝‎ eq f(1,3)，∴cos＝－sin α＝－.‎ 答案　A ‎7.已知tan α＝3，则的值是(　　)‎ A. B.2 ‎ C.－ D.－2‎ 解析　原式＝ ‎＝＝＝＝＝2.‎ 答案　B ‎8.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 019)的值为(　　)‎ A.－1 B.1 ‎ C.3 D.－3‎ 解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，‎ ‎∴f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)‎ ‎＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin α－bcos β ‎＝－3.‎ 答案　D 二、填空题 ‎9.sin 750°＝________.‎ 解析　sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝.‎ 答案　 ‎10.(2020·上海长宁区质检)已知sin α＝，则cos＝________.‎ 解析　由诱导公式知cos＝－sin α＝－，故填－.‎ 答案　－ ‎11.化简：＝________.‎ 解析　原式＝＝＝1.‎ 答案　1‎ ‎12.已知α为钝角，sin＝，则sin＝________.‎ 解析　因为α为钝角，所以cos＝－，‎ 所以sin＝cos＝cos＝－.‎ 答案　－ ‎13.已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 解析　由题意，得cos＝，∴tan＝.∴tan＝tan＝－＝－.‎ 答案　－ ‎14.若－<α<0，sin α＋cos α＝，则 ‎(1)sin αcos α＝________；‎ ‎(2)sin α－cos α＝________.‎ 解析　(1)将sin α＋cos α＝两边同时平方可得，‎ sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，‎ 即2sin αcos α＝－，∴sin αcos α＝－.‎ ‎(2)由(1)得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.‎ ‎∵－<α<0，∴sin α<0，cos α>0，‎ ‎∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－.‎ 答案　(1)－　(2)－ 能力提升题组 ‎15.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)‎ A.1＋ B.1－ ‎ C.1± D.－1－ 解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝.‎ 又＝1＋2sin θcos θ，‎ ‎∴＝1＋，解得m＝1±.‎ 又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.‎ 答案　B ‎16.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ＝(　　)‎ A.－ B.－ ‎ C. D. 解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－cos θ，‎ ‎∴tan θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.‎ 答案　D ‎17.sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________；cos21°＋cos22°＋…＋cos290°＝________.‎ 解析　sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.∴cos21°＋cos22°＋…＋cos290°＝90－(sin21°＋sin22°＋…＋sin290°)＝.‎ 答案　　 ‎18.(2020·绍兴一中适应性考试)若sin＝，则cos α＝________，cos 2α＋cos α＝________.‎ 解析　由sin＝得cos α＝，故由倍角公式得cos 2α＋cos α＝2cos2α＋cos α－1＝－.‎ 答案　　－ ‎19.已知cos＝a，则cos＋sin＝________.‎ 解析　∵cos＝cos＝－cos＝－a.‎ sin＝sin＝cos＝a，‎ ‎∴cos＋sin＝0.‎ 答案　0‎ ‎20.已知：f(α)＝.‎ ‎(1)化简f(α)的结果为________；‎ ‎(2)若角α的终边在第二象限且sin α＝，则f(α)＝________.‎ 解析　(1)f(α)＝ ‎＝ ‎＝－cos α.‎ ‎(2)由题意知cos α＝－＝－，∴f(α)＝‎ ‎－cos α＝.‎ 答案　(1)－cos α　(2)