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  • 2021-06-15 发布

数学理卷·2018届北京市丰台区高三上学期期末考试

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丰台区2017~2018学年度第一学期期末练习 高三数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(共40分)‎ 一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.“”是“”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.在极坐标系中,方程表示的曲线是( )‎ A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 ‎4.若满足则的最大值是( )‎ A.-2 B.-1 C.1 D.2‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,如果输入的的值在区间内,那么输出的属于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长的棱的棱长为( )‎ A.2 B. C. D.3‎ ‎7.过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线,垂足为为坐标原点,若,则此双曲线的离心率为( )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎8.全集,非空集合,且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题:‎ ‎①若,则;‎ ‎②若,则中至少有8个元素;‎ ‎③若,则中元素的个数一定为偶数;‎ ‎④若,则.‎ 其中正确命题的个数是( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 第Ⅱ卷(共110分)‎ 二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)‎ ‎9.已知单位向量的夹角为120°,则 .‎ ‎10.若复数在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数 .‎ ‎11.在的展开式中,项的系数是 (用数字作答).‎ ‎12.等差数列的公差为2,且成等比数列,那么 ,数列 的前9项和 .‎ ‎13.能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是 .‎ ‎14.已知函数.‎ ‎①当时,函数有 个零点;‎ ‎②若函数有三个零点,则的取值范围是 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎15.在中,.‎ ‎(Ⅰ)求角;‎ ‎(Ⅱ)若,,求的值.‎ ‎16.某校为了鼓励学生热心公益,服务社会,成立了“慈善义工社”.2017年12月,该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会,学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况,该校随机抽取100名学生进行调查,数据统计如下表,其中“√”表示参加,“×”表示未参加.‎ 根据表中数据估计,该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)从该校4000名学生中任取一人,试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率;‎ ‎(Ⅲ ‎)已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分,任取该校一名学生,记该生2017年12月获得的公益积分为,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎17.在四棱锥中,底面是矩形,侧棱底面,分别是的中点,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎19.在平面直角坐标系中,动点到点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为.‎ ‎(Ⅰ)求得方程;‎ ‎(Ⅱ)设点在曲线上,轴上一点(在点右侧)满足.平行于的直线与曲线相切于点,试判断直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.‎ ‎20.在数列中,若是整数,且(,且).‎ ‎(Ⅰ)若,,写出的值;‎ ‎(Ⅱ)若在数列的前2018项中,奇数的个数为,求得最大值;‎ ‎(Ⅲ)若数列中,是奇数,,证明:对任意,不是4的倍数.‎ 丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习2018.01‎ 高三数学(理科)答案及评分参考 一、选择题 ‎1-4:CABD 5-8:ADCC 二、填空题 ‎9. 10.1 11.-40‎ ‎12.2,90 13.中任取一值即为正确答案 14.1,‎ 三、解答题 ‎15.解:(Ⅰ)因为,‎ 所以.‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)由,,,‎ 得.‎ 解得.‎ 由余弦定理可得,‎ 解得.‎ ‎16.解:(Ⅰ)依题意,所以.‎ 因为,‎ 所以,.‎ ‎(Ⅱ)设“从该校所有学生中任取一人,其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”‎ 为事件,‎ 则.‎ 所以从该校所有学生中任取一人,其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为.‎ ‎(Ⅲ)可取0,10,20,30,40.‎ ‎;;‎ ‎;;‎ ‎.‎ 所以随机变量的分布列为:‎ 所以.‎ ‎17.解:(Ⅰ)证明:取中点,连接.‎ 因为分别是的中点,‎ 所以,且.‎ 因为是矩形,是中点,‎ 所以,.‎ 所以为平行四边形.‎ 所以.‎ 又因为平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎(Ⅱ)因为平面,‎ 所以,.‎ 因为四边形是矩形,所以.‎ 如图建立直角坐标系,‎ 所以,,,‎ 所以,.‎ 设平面的法向量为,‎ 因为,所以.‎ 令,所以,所以.‎ 又因为,‎ 设与平面所成角为,‎ 所以.‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎(Ⅲ)因为侧棱底面,‎ 所以只要在上找到一点,使得,‎ 即可证明平面平面.‎ 设上存在一点,则,‎ 所以.‎ 因为,‎ 所以令,即,所以.‎ 所以在存在一点,使得平面平面,且.‎ ‎18.解:(Ⅰ)函数的定义域为,‎ ‎.‎ 由,可得或,‎ 当时,在上恒成立,‎ 所以的单调递增区间是,没有单调递减区间;‎ 当时,的变化情况如下表:‎ 所以的单调递减区间是,单调递增区间是.‎ 当时,的变化情况如下表:‎ 所以的单调递减区间是,单调递增区间是.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,,符合题意.‎ 当时,的单调递减区间是,单调递增区间是,‎ 所以恒成立等价于,即,‎ 所以,所以.‎ 当时,的单调递减区间是,单调递增区间是,‎ 所以恒成立等价于,即.‎ 所以,所以.‎ 综上所述,实数的取值范围是.‎ ‎19.解:(Ⅰ)因为动点到点的距离和它到直线的距离相等,‎ 所以动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线.‎ 设的方程为,‎ 则,即.‎ 所以的轨迹方程为.‎ ‎(Ⅱ)设,则,‎ 所以直线的斜率为.‎ 设与平行,且与抛物线相切的直线为,‎ 由得,‎ 由得,‎ 所以,所以点.‎ 当,即时,直线的方程为,‎ 整理得,‎ 所以直线过点.‎ 当,即时,直线的方程为,过点,‎ 综上所述,直线过定点.‎ ‎20.解:(Ⅰ),‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以,,.‎ ‎(Ⅱ)(i)当都是偶数时,是偶数,代入得到是偶数;‎ 因为是偶数,代入得到是偶数;‎ 如此下去,可得到数列中项的奇偶情况是偶,偶,偶,偶,…‎ 所以前2018项中共有0个奇数.‎ ‎(ii)当都是奇数时,是奇数,代入得到是偶数;‎ 因为是偶数,代入得到是奇数;‎ 因为是偶数,代入得到是奇数;‎ 如此下去,可得到数列中项的奇偶情况是奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,…‎ 所以前2018项中共有1346个奇数.‎ ‎(iii)当是奇数,是偶数时,‎ 理由同(ii),可得数列中项的奇偶情况是奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,…‎ 所以前2018项中共有1345个奇数.‎ ‎(iv)当是偶数,是奇数时,‎ 理由同(ii),可得数列中项的奇偶情况是偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,…‎ 所以前2018项中共有1345个奇数.‎ 综上所述,前2018项中奇数的个数的最大值是1346.‎ ‎(Ⅲ)证明:因为是奇数,‎ 所以由(Ⅱ)知,不可能都是偶数,只能是偶奇奇,奇偶奇,奇奇偶三种情况.‎ 因为是奇数,且,所以也是奇数.‎ 所以为偶数,且不是4的倍数.‎ 因为,‎ 所以前4项没有4的倍数,‎ 假设存在最小正整数,使得是4的倍数,‎ 则均为奇数,所以一定是偶数,‎ 由于,且,‎ 将这两个式子作和,可得.‎ 因为是4的倍数,所以也是4的倍数,‎ 与是最小正整数使得是4的倍数矛盾.‎ 所以假设不成立,即对任意,不是4的倍数.‎