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- 2021-06-15 发布
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丰台区2017~2018学年度第一学期期末练习
高三数学(理科)
第Ⅰ卷(共40分)
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在极坐标系中,方程表示的曲线是( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
4.若满足则的最大值是( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5.执行如图所示的程序框图,如果输入的的值在区间内,那么输出的属于( )
A. B. C. D.
6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长的棱的棱长为( )
A.2 B. C. D.3
7.过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线,垂足为为坐标原点,若,则此双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
8.全集,非空集合,且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题:
①若,则;
②若,则中至少有8个元素;
③若,则中元素的个数一定为偶数;
④若,则.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)
9.已知单位向量的夹角为120°,则 .
10.若复数在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数 .
11.在的展开式中,项的系数是 (用数字作答).
12.等差数列的公差为2,且成等比数列,那么 ,数列
的前9项和 .
13.能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是 .
14.已知函数.
①当时,函数有 个零点;
②若函数有三个零点,则的取值范围是 .
三、解答题 (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.在中,.
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若,,求的值.
16.某校为了鼓励学生热心公益,服务社会,成立了“慈善义工社”.2017年12月,该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会,学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况,该校随机抽取100名学生进行调查,数据统计如下表,其中“√”表示参加,“×”表示未参加.
根据表中数据估计,该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)从该校4000名学生中任取一人,试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率;
(Ⅲ
)已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分,任取该校一名学生,记该生2017年12月获得的公益积分为,求随机变量的分布列和数学期望.
17.在四棱锥中,底面是矩形,侧棱底面,分别是的中点,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
18.已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若恒成立,求实数的取值范围.
19.在平面直角坐标系中,动点到点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为.
(Ⅰ)求得方程;
(Ⅱ)设点在曲线上,轴上一点(在点右侧)满足.平行于的直线与曲线相切于点,试判断直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
20.在数列中,若是整数,且(,且).
(Ⅰ)若,,写出的值;
(Ⅱ)若在数列的前2018项中,奇数的个数为,求得最大值;
(Ⅲ)若数列中,是奇数,,证明:对任意,不是4的倍数.
丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习2018.01
高三数学(理科)答案及评分参考
一、选择题
1-4:CABD 5-8:ADCC
二、填空题
9. 10.1 11.-40
12.2,90 13.中任取一值即为正确答案 14.1,
三、解答题
15.解:(Ⅰ)因为,
所以.
因为,所以,
所以,
所以.
(Ⅱ)由,,,
得.
解得.
由余弦定理可得,
解得.
16.解:(Ⅰ)依题意,所以.
因为,
所以,.
(Ⅱ)设“从该校所有学生中任取一人,其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”
为事件,
则.
所以从该校所有学生中任取一人,其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为.
(Ⅲ)可取0,10,20,30,40.
;;
;;
.
所以随机变量的分布列为:
所以.
17.解:(Ⅰ)证明:取中点,连接.
因为分别是的中点,
所以,且.
因为是矩形,是中点,
所以,.
所以为平行四边形.
所以.
又因为平面,平面,
所以平面.
(Ⅱ)因为平面,
所以,.
因为四边形是矩形,所以.
如图建立直角坐标系,
所以,,,
所以,.
设平面的法向量为,
因为,所以.
令,所以,所以.
又因为,
设与平面所成角为,
所以.
所以与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)因为侧棱底面,
所以只要在上找到一点,使得,
即可证明平面平面.
设上存在一点,则,
所以.
因为,
所以令,即,所以.
所以在存在一点,使得平面平面,且.
18.解:(Ⅰ)函数的定义域为,
.
由,可得或,
当时,在上恒成立,
所以的单调递增区间是,没有单调递减区间;
当时,的变化情况如下表:
所以的单调递减区间是,单调递增区间是.
当时,的变化情况如下表:
所以的单调递减区间是,单调递增区间是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,,符合题意.
当时,的单调递减区间是,单调递增区间是,
所以恒成立等价于,即,
所以,所以.
当时,的单调递减区间是,单调递增区间是,
所以恒成立等价于,即.
所以,所以.
综上所述,实数的取值范围是.
19.解:(Ⅰ)因为动点到点的距离和它到直线的距离相等,
所以动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线.
设的方程为,
则,即.
所以的轨迹方程为.
(Ⅱ)设,则,
所以直线的斜率为.
设与平行,且与抛物线相切的直线为,
由得,
由得,
所以,所以点.
当,即时,直线的方程为,
整理得,
所以直线过点.
当,即时,直线的方程为,过点,
综上所述,直线过定点.
20.解:(Ⅰ),
,
.
所以,,.
(Ⅱ)(i)当都是偶数时,是偶数,代入得到是偶数;
因为是偶数,代入得到是偶数;
如此下去,可得到数列中项的奇偶情况是偶,偶,偶,偶,…
所以前2018项中共有0个奇数.
(ii)当都是奇数时,是奇数,代入得到是偶数;
因为是偶数,代入得到是奇数;
因为是偶数,代入得到是奇数;
如此下去,可得到数列中项的奇偶情况是奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,…
所以前2018项中共有1346个奇数.
(iii)当是奇数,是偶数时,
理由同(ii),可得数列中项的奇偶情况是奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,…
所以前2018项中共有1345个奇数.
(iv)当是偶数,是奇数时,
理由同(ii),可得数列中项的奇偶情况是偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,…
所以前2018项中共有1345个奇数.
综上所述,前2018项中奇数的个数的最大值是1346.
(Ⅲ)证明:因为是奇数,
所以由(Ⅱ)知,不可能都是偶数,只能是偶奇奇,奇偶奇,奇奇偶三种情况.
因为是奇数,且,所以也是奇数.
所以为偶数,且不是4的倍数.
因为,
所以前4项没有4的倍数,
假设存在最小正整数,使得是4的倍数,
则均为奇数,所以一定是偶数,
由于,且,
将这两个式子作和,可得.
因为是4的倍数,所以也是4的倍数,
与是最小正整数使得是4的倍数矛盾.
所以假设不成立,即对任意,不是4的倍数.
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