2014福州5月份质检文数试卷 12页

‎2014届福州市高三综合练习 数学(文科)试卷 ‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合A={x|x2－(a+3)x+‎3a=0},B={x|x2－5x+4=0},集合A∪B中所有元素之和为8,则实数a的取值集合为( )‎ ‎ A.{0} B.{0,3} C.{1,3,4} D.{0,1,3,4}‎ ‎2.抛物线y=2x2的准线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知a∈R,且a≠0,则是“a>‎1”‎的( ).‎ ‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 ‎ C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎4.函数y=ln(x+1)与的图像交点的横坐标所在区间为( )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) ‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为,‎ 则判断框内应填入的条件是( )‎ ‎ A.k<3 B.k>3‎ ‎ C.k<4 D.k>4‎ ‎6.某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是( )‎ ‎7.函数(0≤x≤9)的最大值与最小值的和为( ).‎ ‎ A. B‎.0 C.－1 D.‎ ‎8.如图,半径为R的圆C中,已知弦AB的长为5,则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知直线a,b异面, ,给出以下命题:①一定存在平行于a的平面 使;②一定存在平行于a的平面使∥;③一定存在平行于a的平面使;④一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点.则其中论断正确的是( )‎ A.①④ B.②③ C.①②③ D.②③④‎ ‎10.已知P(x,y)为椭圆上一点,F为椭圆C的右焦点,若点M满足且,则的最小值为( )‎ A. B‎.3 C. D.1‎ ‎11.在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos(A－C)=1,则有( ).‎ ‎ A.a、c、b 成等比数列 B.a、c、b 成等差数列 ‎ C.a、b、c 成等差数列 D.a、b、c成等比数列 ‎12.已知都是定义在R上的函数，,,且（）,,对于数列(n=1,2,…,10),任取正整数k(1≤k≤10),则其前k项和大于的概率是( ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.‎ ‎13.一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下,2;,3;,4;‎ ‎,5;,4;,2.则样本在上的频率是 ． ‎ ‎14.已知函数(其中,,‎ ‎)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式 是 .‎ ‎15. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值 为 .‎ ‎16.已知 且,现给出如下结论:‎ ‎①;②;‎ ‎③;④;;‎ ‎⑤的极值为1和3.其中正确命题的序号为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知是一个公差大于0的等差数列,且满足.‎ ‎(I)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列和数列满足等式:(n为正整数) 求数列的前n项和. ‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据 规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公 路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PM＝PN＝MN ‎＝2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 把一颗骰子投掷两次,观察掷出的点数,并记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为.试就方程组(※) 解答下列问题:‎ ‎(Ⅰ)求方程组没有解的概率;‎ ‎(Ⅱ) 求以方程组(※)的解为坐标的点落在第四象限的概率..‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知正△ABC的边长为, CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图所示. ‎ ‎(Ⅰ)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关 系,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若棱锥E-DFC的体积为,求a的值;‎ ‎(Ⅲ)在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF？如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知焦点在y轴,顶点在原点的抛物线C1经过点P(2,2),以C1上一点C2为圆心的圆过定点A(0,1),记为圆与轴的两个交点.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)当圆心在抛物线上运动时,试判断是否为一定值？请证明你的结论;‎ ‎(3)当圆心在抛物线上运动时,记,,求的最大值．‎ ‎22.(本题满分14分)‎ 已知函数 ().‎ ‎(Ⅰ)若,求函数的极值;‎ ‎(Ⅱ)设．‎ ‎① 当时,对任意,都有成立,求的最大值;‎ ‎② 设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.‎ ‎2014届福州市高三综合练习数学(文科)‎ 参考答案 ‎1-6 DBBBCC 7-12 ABDADD ‎13. 14. 15 . 1/2 16 . ②③‎ ‎17. (I) {an}是一个公差大于0的等差数列,且满足.‎ an=2n－1----------------------4分 ‎(Ⅱ)n≥2时,‎ ‎∴------------------8分 n≥2时,Sn=(4+8+…+2n+1)－2=‎ n=1时也符合,故Sn=2n+2－6----------------------------12分 ‎18.解法一:设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．‎ 因为MN＝2,所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分 在△APM中,cos∠AMP＝cos(60°＋θ).…………………4分 AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°θ) cos(60°＋θ) ………………………………6分 ‎＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4‎ ‎＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4‎ ‎＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋ ‎＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． ………………………10分 ‎ 当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.‎ 答:设计∠AMN为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分 A P M N B C 第17题图 D 解法二(构造直角三角形):‎ 设∠PMD＝θ,在△PMD中,‎ ‎∵PM＝2,∴PD＝2sinθ,MD＝2cosθ.……………2分 在△AMN中,∠ANM＝∠PMD＝θ,∴＝,‎ AM＝sinθ,∴AD＝sinθ＋2cosθ,(θ≥时,结论也正确).……………4分 AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2‎ ‎＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………6分 ‎＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋ ‎＝＋sin(2θ－),θ∈(0,).…………………………10分 当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．‎ ‎ 此时AM＝AN＝2,∠PAB＝30° …………………………12分 解法三:设AM＝x,AN＝y,∠AMN＝α.‎ 在△AMN中,因为MN＝2,∠MAN＝60°,‎ 所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN,‎ 即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4.…………………………2分 因为＝,即＝,‎ 所以sinα＝y,cosα＝＝＝.………………………4分 cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝.…6分 在△AMP中,AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP,‎ 即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy.……………………10分 因为x2＋y2－xy＝4,4＋xy＝x2＋y2≥2xy,即xy≤4.‎ 所以AP2≤12,即AP≤2.‎ 当且仅当x＝y＝2时,AP取得最大值2. ‎ ‎ 答:设计AM＝AN＝‎2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………… 12分 ‎ 解法四(坐标法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.‎ 设M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).∵MN＝2,‎ ‎∴(x1－x2)2＋3x＝4.…………………………2分 MN的中点K(,x2)． ‎ ‎∵△MNP为正三角形,且MN＝2,∴PK＝,PK⊥MN,‎ ‎∴PK2＝(x0－)2＋(y0－x2)2＝3,‎ ‎ kMN·kPK＝－1,即·＝－1,………………4分 ‎ ∴y0－x2＝(x0－),∴(y0－x2)2＝(x0－)2‎ ‎∴(1＋)(x0－)2＝3,即(x0－)2＝3,∴(x0－)2＝x．‎ ‎∵x0－＞0 ∴x0－＝x2,‎ ‎∴x0＝x1＋2x2,∴y0＝x1． …………………6分 ‎∴AP2＝x＋y＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2‎ ‎＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12,……………………10分 即AP≤2. ‎ ‎ 答:设计AM＝AN＝‎2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．……… 12分 解法五(几何法):由运动的相对性,可使△PMN不动,点A在运动.‎ A P M N B C F E 由于∠MAN＝60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上,………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，‎ 由图形的几何性质知:AP的最大值为PF＋R.……6分 在△AMN中,由正弦定理知:＝2R,‎ ‎∴R＝,…………8分 ‎∴FM＝FN＝R＝,又PM＝PN,∴PF是线段MN的垂直平分线.‎ 设PF与MN交于E，则FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．‎ 即FE＝，又PE＝.………10‎ ‎∴PF＝,∴AP的最大值为PF＋R＝2. ‎ 答:设计AM＝AN＝‎2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分 ‎19.解:(Ⅰ)由题意知,总的样本空间有组 ……1分 方法1:若方程没有解,则,即 ……3分 ‎(方法2:带入消元得,因为,所以当 时方程组无解)‎ ‎ 所以符合条件的数组为, ……4分 ‎ 所以,故方程组没有解的概率为 ……5分 ‎(Ⅱ)由方程组得 ……6分 若,则有 即符合条件的数组有共有个 ……8分 若,则有 即符合条件的数组有共个 ……10分 ‎∴所以概率为 ,‎ 即点P落在第四象限且P的坐标满足方程组(※)的概率为. ……12分 ‎20.解(1)AB//平面DEF,‎ 如图.在△ABC中,∵E,F分别是AC,BC的中点,故EF//AB,‎ 又AB平面DEF,∴AB//平面DEF, ……4分 ‎(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD, 将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B ‎∴AD⊥BD,AD⊥平面BCD,取CD中点M,则EM//AD,∴EM⊥平面BCD,且EM=a/2‎ ‎,a=2. ……8分 ‎(3)存在满足条件的点P.‎ 做法:因为三角形BDF为正三角形,过B做BK⊥DF,延长BK交DC于K,过K做KP//DA,交AC于P.则点P即为所求.‎ 证明:∵AD⊥平面BCD , KP//DA,∴PK⊥平面BCD,PK⊥DF,又 BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面PKB,DF⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2.‎ 故AP:OC=1:2,AP:AC=1:3 ……12分 ‎21.(1)由已知,设抛物线方程为x2=2py,22=2p×2,解得p=1.‎ 所求抛物线C1的方程为x2=2y.-------3分 ‎(2)法1:设圆心C2(a,a2/2),则圆C2的半径r=‎ 圆C2的方程为.‎ 令y=0,得x2－2ax+a2－1=0,得x1=a－1,x2=a+1.‎ ‎|MN|=|x1－x2|=2(定值).------7分 法2:设圆心C2(a,b),因为圆过A(0,1),所以半径r=,‎ ‎,因为C2在抛物线上,a2=2b,且圆被x轴截得的弦长 ‎|MN|=(定值)---7分 ‎(3)由(2)知,不妨设M(a-1,0),N(a+1,0),‎ ‎----------------------12分 ‎22.解: (Ⅰ)当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)ex,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).‎ 所以f ′(x)＝ex.…………………2分 令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表 x ‎(－∞,－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,0)‎ ‎(0,)‎ ‎(,＋∞)‎ f ′(x)‎ ‎－‎ ‎－‎ f (x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝4.………4分 ‎(Ⅱ)① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－‎2a)ex,‎ 当a＝1时,g (x)＝(x－－2)ex.‎ 因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,‎ 所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． ………………7分 记h(x)＝x2－2x－(x＞0),则h′(x)＝.‎ 当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;‎ 当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;‎ 所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1; ‎ 所以b的最大值为－1－e－1. …………9分 解法二:因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－‎2a)ex,‎ 当a＝1时,g (x)＝(x－－2)ex.‎ 因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，‎ 所以g(2)＝－e2＞0,因此b＜0.………………5分 g′(x)＝(1＋)ex＋(x－－2)ex＝．‎ 因为b＜0,所以:当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；‎ 当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．‎ 所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1 ………………………………7分 因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，‎ 所以(－1－b)e－1≥1,解得b≤－1－e－1‎ 因此b的最大值为－1－e－1.…………………9分 ‎②解法一:因为g (x)＝(ax－－‎2a)ex,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex.‎ 由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－‎2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0,‎ 整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.‎ 存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.‎ 等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． ……………………11分 因为a＞0,所以＝.‎ 设u(x)＝(x＞1),则u′(x)＝．‎ 因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,‎ 所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞).…………………14分 解法二:因为g (x)＝(ax－－‎2a)ex,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex.‎ 由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－‎2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0,‎ 整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.‎ 存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.‎ 等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立.……11分 设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)‎ u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x) ≥0‎ 此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a－b 因为存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立 所以只要－a－b＜0即可,此时－1＜≤0 ………………………………12分 当b＞0时,令x0＝＞＝＞1,得u(x0)＝b＞0,‎ 又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0,在(1,x0)上必有零点 即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此时＞0…………………………13分 综上有的取值范围为(－1,+∞)------14分