【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第二章　第5讲　指数与指数函数学案 15页

第 5 讲 指数与指数函数 一、知识梳理 1．根式 (1)根式的概念 ①若 xn＝a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N＋..式子n a叫做根式，这里 n 叫 做根指数，a 叫做被开方数． ②a 的 n 次方根的表示： xn＝a⇒ x＝n a，当 n 为奇数且 n∈N＋.，n>1 时， x＝±n a，当 n 为偶数且 n∈N＋.时. (2)根式的性质 ①(n a)n＝a(n∈N＋.，且 n>1)； ②n an＝ a，n 为奇数， |a|＝ a，a≥0， －a，a<0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a m n＝n am(a>0，m，n∈N＋.，且 n>1)； ②负分数指数幂：a－m n＝ 1 a m n ＝ 1 n am (a>0，m，n∈N＋.，且 n>1)； ③0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax (a>0 且 a≠1) a>1 00 时，y>1；当 x<0 时，00 时，01 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 常用结论 1．指数函数图象的画法 画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， －1，1 a . 2. 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 y＝ ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大． 3．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a>1 与 00 且 a≠1)的图象恒过定点 A，则 A 的坐标为________． 解析：令 x－2＝0，则 x＝2，f(2)＝3，即 A 的坐标为(2，3)． 答案：(2，3) 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n an＝(n a)n＝a.( ) (2)(－1) 2 4＝(－1) 1 2＝ －1.( ) (3)函数 y＝a－x 是 R 上的增函数．( ) (4)函数 y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( ) (5)函数 y＝2x－1 是指数函数．( ) (6)若 am0，且 a≠1)，则 m1 时，a＝2；当 00 且 2 1 x－1≠1. 答案：(0，1)∪(1，＋∞) 指数幂的化简与求值(自主练透) 1．化简 1 4 －1 2· （ 4ab－1）3 （0.1）－1·（a3·b－3） 1 2 (a>0，b>0)＝________． 解析：原式＝2×23·a 3 2·b－3 2 10·a 3 2·b－3 2 ＝21＋3×10－1＝8 5. 答案：8 5 2．计算： －27 8 －2 3＋0.002－1 2－10( 5－2)－1＋π0＝________． 解析：原式＝ －3 2 －2 ＋500 1 2－ 10（ 5＋2） （ 5－2）（ 5＋2） ＋1＝4 9 ＋10 5－10 5－20＋1＝－ 167 9 . 答案：－167 9 3．化简： a 4 3－8a 1 3b 4b 2 3＋23 ab＋a 2 3 ÷ a－2 3－23 b a × a·3 a2 5 a·3 a ＝________(a>0)． 解 析 ： 原 式 ＝ a 1 3[（a 1 3）3－（2b 1 3）3] （a 1 3）2＋a 1 3·（2b 1 3）＋（2b 1 3）2 ÷ a 1 3－2b 1 3 a × （a·a 2 3） 1 2 （a 1 2·a 1 3） 1 5 ＝ a 1 3 (a 1 3 － 2b 1 3)× a a 1 3－2b 1 3 ×a 5 6 a 1 6 ＝a2. 答案：a2 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来 解答． [提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形 式力求统一． 指数函数的图象及应用(典例迁移) (1)函数 f(x)＝21－x 的大致图象为( ) (2)若函数 y＝|3x－1|在(－∞，k]上递减，则 k 的取值范围为________． 【解析】 (1)函数 f(x)＝21－x＝2× 1 2 x ，递减且过点(0，2)，选项 A 中的图象符合要求． (2)函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下 方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0]． 【答案】 (1)A (2)(－∞，0] 【迁移探究 1】 (变条件)本例(2)变为：若函数 f(x)＝|3x－1|－k 有一个零点，则 k 的取 值范围为________． 解析： 函数 f(x)有一个零点，即 y＝|3x－1|与 y＝k 有一个交点．由本例(2)得 y＝|3x－1|的图象如 图所示， 故当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数 f(x) 有一个零点． 答案：{0}∪[1，＋∞) 【迁移探究 2】 (变条件)若本例(2)的条件变为：函数 y＝|3x－1|＋m 的图象不经过第二 象限，则实数 m 的取值范围是________． 解析：作出函数 y＝|3x－1|＋m 的图象如图所示． 由图象知 m≤－1，即 m∈(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1] 应用指数函数图象的 4 个技巧 (1)画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1 a . (2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不 满足则排除． (3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平 移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论． (4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求 解． 1. 函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．00 的解集为________． 解析：因为 f(x)为偶函数， 当 x<0 时，－x>0，则 f(x)＝f(－x)＝2－x－4. 所以 f(x)＝ 2x－4，x≥0， 2－x－4，x<0 当 f(x－2)>0 时，有 x－2≥0， 2x－2－4>0 或 x－2<0， 2－x＋2－4>0， 解得 x>4 或 x<0. 所以不等式的解集为{x|x>4 或 x<0}． 答案：{x|x>4 或 x<0} 3．已知函数 f(x)＝ax－1 ax＋1 (a>0 且 a≠1)． (1)求 f(x)的定义域和值域； (2)讨论 f(x)的奇偶性； (3)讨论 f(x)的单调性． 解：(1)f(x)的定义域是 R，令 y＝ax－1 ax＋1 ，得 ax＝－y＋1 y－1 ，因为ax－1 ax＋1 ≠1 在定义域内恒成 立，所以 y≠1. 因为 ax>0，所以－y＋1 y－1 >0， 解得－11 时，a x2>ax1>0， 从而 ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)a x2>0， 从而 ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2>0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，f(x)为 R 上的减函数． [基础题组练] 1．函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( ) 解析：选 A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－ ∞，0]，只有 A 满足上述两个性质． 2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( ) A．a1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以 a0 时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则 f(－ x)＝2－x－1＝－f(x)；当 x<0 时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则 f(－x)＝1－2－(－ x)＝1－2x＝－f(x)．即函数 f(x)是奇函数，且单调递增，故选 C. 5．设 x>0，且 10，所以 b>1， 因为 bx1， 因为 x>0，所以a b>1， 所以 a>b，所以 10，且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则 ab 的取值范围是 ________． 解析：因为函数 y＝ax－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数 y＝ax－b 递减且其 图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上．令 x＝0，则 y＝a0－b＝1－b，由题意得 01. 故 ab∈(0，1)． 答案：(0，1) 7．不等式 1 2 x2＋ax < 1 2 2x＋a－2 恒成立，则 a 的取值范围是________． 解析：由题意，y＝ 1 2 x 是减函数， 因为 1 2 x2＋ax < 1 2 2x＋a－2 恒成立， 所以 x2＋ax>2x＋a－2 恒成立， 所以 x2＋(a－2)x－a＋2>0 恒成立， 所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0， 即(a－2)(a－2＋4)<0， 即(a－2)(a＋2)<0， 故有－20， 等价于方程 2am2－m－1＝0 在(0，＋∞)上有解， 记 g(m)＝2am2－m－1， 当 a＝0 时，解为 m＝－1<0，不成立． 当 a<0 时，开口向下，对称轴 m＝ 1 4a<0， 过点(0，－1)，不成立． 当 a>0 时，开口向上， 对称轴 m＝ 1 4a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得 a>0. [综合题组练] 1．已知 0aa，babb，所以在 ab，ba，aa，bb 中最大的是 ab.故选 C. 2．已知函数 f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 解析：选 D. 作出函数 f(x)＝|2x－1|的图象，如图， 因为 af(c)>f(b)， 结合图象知，00， 所以 0<2a<1. 所以 f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1， 所以 f(c)<1，所以 0f(c)， 所以 1－2a>2c－1， 所以 2a＋2c<2，故选 D. 3．设 y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数 K，定义 fK(x)＝ f（x），f（x）≤K， K，f（x）>K. 给出函数 f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意 x∈(－∞，1]，恒有 fK(x)＝f(x)，则( ) A．K 的最大值为 0 B．K 的最小值为 0 C．K 的最大值为 1 D．K 的最小值为 1 解析：选 D.根据题意可知，对于任意 x∈(－∞，1]，若恒有 fK(x)＝f(x)，则 f(x)≤K 在 x≤1 上恒成立，即 f(x)的最大值小于或等于 K 即可． 令 2x＝t，则 t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得 f(t)的最大值为 1，所以 K≥1， 故选 D. 4．设 a>0，且 a≠1，函数 y＝a2x＋2ax－1 在[－1，1]上的最大值是 14，则实数 a 的值 为________． 解析：令 t＝ax(a>0，且 a≠1)， 则原函数化为 y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)． ①当 01 时，x∈[－1，1]，t＝ax∈ 1 a ，a ， 此时 f(t)在 1 a ，a 上是增函数．所以 f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得 a＝3 或 a＝－5(舍 去)．综上得 a＝1 3 或 3. 答案：1 3 或 3 5．已知定义域为 R 的函数 f(x)＝－2x＋b 2x＋1＋a 是奇函数． (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围． 解：(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，解得 b＝1， 所以 f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋a . 又由 f(1)＝－f(－1)知－2＋1 4＋a ＝－ －1 2 ＋1 1＋a ，解得 a＝2. (2)由(1)知 f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋2 ＝－1 2 ＋ 1 2x＋1 ， 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数， 又因为 f(x)是奇函数， 从而不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 等价于 f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因为 f(x)是 R 上的减函数，由上式推得 t2－2t>－2t2＋k. 即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0， 从而Δ＝4＋12k<0， 解得 k<－1 3. 故 k 的取值范围为 －∞，－1 3 .